Właściwości, przykłady i ćwiczenia podstaw ortonormalnych

ZA podstawa ortonormalna Tworzą go wektory prostopadłe do siebie, których moduł również wynosi 1 (wektory jednostkowe). Pamiętajmy, że baza b w przestrzeni wektorowej V, definiuje się jako zbiór liniowo niezależnych wektorów zdolnych do generowania wspomnianej przestrzeni.

Z kolei przestrzeń wektorowa jest abstrakcyjnym bytem matematycznym, wśród którego elementami są wektory, zwykle związane z wielkościami fizycznymi, takimi jak prędkość, siła i przemieszczenie, lub też z macierzami, wielomianami i funkcjami..

Wektory mają trzy charakterystyczne elementy: wielkość lub moduł, kierunek i zwrot. Baza ortonormalna jest szczególnie przydatna do reprezentowania ich i operowania nimi, ponieważ każdy wektor należący do określonej przestrzeni wektorowej V, można zapisać jako liniową kombinację wektorów tworzących bazę ortonormalną.

W ten sposób operacje między wektorami są wykonywane analitycznie, takie jak dodawanie, odejmowanie i różne typy iloczynów zdefiniowane w tej przestrzeni..

Jedną z najczęściej używanych podstaw w fizyce jest baza utworzona przez wektory jednostkowe ja, jot Y k Reprezentują trzy charakterystyczne kierunki przestrzeni trójwymiarowej: wysokość, szerokość i głębokość. Te wektory są również znane jako kanoniczne wektory jednostkowe.

Gdyby zamiast tego wektory pracowały na płaszczyźnie, wystarczyłyby dwa z tych trzech składników, podczas gdy w przypadku wektorów jednowymiarowych wystarczy jeden.

Indeks artykułów

• 1 Właściwości zasad
• 2 Przykłady podstaw
  • 2.1 Podstawa kanoniczna w n
  • 2.2 Podstawa kanoniczna na ℜ3
  • 2.3 Inne bazy ortonormalne w ℜ3
• 3 ćwiczenia rozwiązane
  • 3.1 - Ćwiczenie 1
  • 3.2 - Ćwiczenie 2
• 4 Odnośniki

Właściwości zasad

1- Baza b to najmniejszy możliwy zbiór wektorów generujących przestrzeń wektorową V.

2- Elementy b są liniowo niezależne.

3- Dowolna podstawa b przestrzeni wektorowej V, pozwala wyrazić wszystkie wektory V jako ich liniowe połączenie, a ten kształt jest unikalny dla każdego wektora. Dlatego do b jest również znany jako system generatora.

4- Ta sama przestrzeń wektorowa V może mieć różne podstawy.

Przykłady podstaw

Oto kilka przykładów baz ortonormalnych i ogólnie baz:

Podstawa kanoniczna w ℜ ⁿ

Nazywany również naturalną bazą lub standardową podstawą ℜ ⁿ, gdzie ℜ ⁿ to przestrzeń n-wymiarowy, na przykład trójwymiarowa przestrzeń to ℜ ³. Do wartości n To się nazywa wymiar przestrzeni wektorowej i jest oznaczony jako słaby (V).

Wszystkie wektory należące do ℜ ⁿ są reprezentowane przez n-adas zamówione. Przestrzeń ℜⁿ, podstawą kanoniczną jest:

i₁ = <1,0,… ,0>; i_dwa = <0,1,… ,0>; ... i_n = <0,0,… ,1>

W tym przykładzie użyliśmy notacji z nawiasami lub „nawiasami” i pogrubieniem dla wektorów jednostkowych i₁, i_dwa, i₃...

Podstawa kanoniczna w ℜ³

Znane wektory ja, jot Y k przyznaję tę samą reprezentację i wszystkie trzy z nich wystarczą do reprezentowania wektorów w ℜ ³:

ja = <1,0,0 >; jot = <0,1,0 >;  k = <0,0,1 >

Oznacza to, że podstawę można wyrazić w ten sposób:

B = <1,0,0 >; <0,1,0 >;  <0,0,1 >

Aby sprawdzić, czy są one liniowo niezależne, utworzona z nimi determinanta jest niezerowa i równa 1:

Powinno być również możliwe zapisanie dowolnego wektora należącego do ℜ ³ jako ich liniowe połączenie. Na przykład siła, której składowe prostokątne to F_x = 4 N, F._Y = -7 N i F._z= 0 N byłoby zapisane w postaci wektorowej w następujący sposób:

fa = <4,-7,0 > N = 4ja -7jot + 0k N.

W związku z tym ja, jot Y k tworzą układ generatora ℜ ³.

Inne bazy ortonormalne w ℜ³

Standardowa baza opisana w poprzedniej sekcji nie jest jedyną bazą ortonormalną w ℜ³. Tutaj mamy na przykład podstawy:

b₁ = ; <- sen θ, cos θ,0 >;  <0,0,1 >

b_dwa = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 >

Można wykazać, że te bazy są ortonormalne, dlatego pamiętamy o warunkach, które muszą być spełnione:

-Wektory tworzące podstawę muszą być względem siebie prostopadłe.

-Każdy z nich musi być jednolity.

Możemy to zweryfikować wiedząc, że utworzona przez nie determinanta musi być różna od zera i równa 1.

Podstawa B₁ chodzi właśnie o współrzędne cylindryczne ρ, φ i z, inny sposób wyrażania wektorów w przestrzeni.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Pokaż, że podstawa B = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 > jest ortonormalny.

Rozwiązanie

Aby pokazać, że wektory są do siebie prostopadłe, użyjemy iloczynu skalarnego, zwanego również iloczynem wewnętrznym lub skalarnym dwóch wektorów.

Niech będą dowolnymi dwoma wektorami lub Y v, jego iloczyn skalarny jest definiowany przez:

lub • v = u.v. cosθ

Aby rozróżnić wektory ich modułów, użyjemy pogrubienia dla pierwszych i normalnych liter dla drugich. θ jest kątem pomiędzy lub Y v, dlatego jeśli są prostopadłe, oznacza to, że θ = 90º, a iloczyn skalarny wynosi zero.

Alternatywnie, jeśli wektory są podane w kategoriach ich składników: lub = x, lub_Y,lub_z > i v = x, v_Y,v_z >, iloczyn skalarny obu, który jest przemienny, jest obliczany w następujący sposób:

lub • v = lub_x .v_x + lub_Y .v_Y + lub_z .v_z

W ten sposób iloczyn skalarny między każdą parą wektorów to odpowiednio:

ja) <3/5, 4/5,0 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3/5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

iii) <- 4/5, 3/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

Dla drugiego warunku obliczany jest moduł każdego wektora, który otrzymuje się ze wzoru:

│u │ = √ (u_x^dwa + lub_Y^dwa + lub_z^dwa)

Zatem moduły każdego wektora to:

│<3/5, 4/5,0 >│ = √ [(3/5)^dwa + (4/5)^dwa  + 0^dwa)] = √ [(9/25) + (16/25)] = √ (25/25) = 1

│<-4/5, 3/5,0 >│ = √ [(-4/5)^dwa + (3/5)^dwa  + 0^dwa)] = √ [(16/25) + (9/25)] = √ (25/25) = 1

│<0, 0,1 >│ = √ [0^dwa + 0^dwa  + 1^dwa)] = 1

Dlatego wszystkie trzy są wektorami jednostkowymi. Wreszcie wyznacznik, który tworzą, jest niezerowy i równy 1:

- Ćwiczenie 2

Napisz współrzędne wektora w = <2, 3,1 > pod względem starej bazy.

Rozwiązanie

Aby to zrobić, stosuje się następujące twierdzenie:

Niech B = v₁, v_dwa, v₃,... v_n baza ortonormalna w przestrzeni V z iloczynem wewnętrznym, wektorem w jest reprezentowany przez B w następujący sposób:

w = <w•v₁> v₁ + <w•v_dwa> v_dwa +<w•v₃> v₃ +... <w•v_n> v_n

Oznacza to, że możemy zapisać wektor w bazie B, używając współczynników <w•v₁>, <w•v_dwa>, ...  <w•v_n>, dla których należy obliczyć wskazane iloczyny skalarne:

<2, 3,1 > • <3/5, 4/5,0 > = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12/5) = 18/5

<2, 3,1 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1 > • <0,0,1> = 1

Z otrzymanych iloczynów skalarnych budowana jest macierz tzw macierz współrzędnych z w.

Dlatego współrzędne wektora w w podstawie B są wyrażone przez:

[w]_b= [(5/18); (1/5); 1]

Macierz współrzędnych nie jest wektorem, ponieważ jest wektorem Nie jest taki sam jak jego współrzędne. To tylko zbiór liczb, które służą do wyrażenia wektora w danej bazie, a nie wektor jako taki. Zależą również od wybranej bazy.

Wreszcie, zgodnie z twierdzeniem, wektor w zostałby wyrażony w ten sposób:

w = (18/5) v₁ + (1/5) v_dwa + v₃

Z: v₁ = <3/5, 4/5,0 >; v_dwa = <- 4/5, 3/5,0 >; v₃ =  <0,0,1 >, czyli wektory bazy b.

Bibliografia

1. Larson, R. Podstawy algebry liniowej. 6th. Wydanie. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7. Wydanie. Tom 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Część 10. Bazy ortonormalne. Odzyskany z: ocw.uc3m.es.
4. Uniwersytet w Sewilli. Współrzędne walcowe. Podstawa wektora. Odzyskany z: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Podstawa ortonormalna. Odzyskane z: es.wikipedia.org.