Plik koło jednostkowe jest okręgiem o promieniu równym 1, który jest zwykle wyśrodkowany w punkcie (0,0) układu współrzędnych kartezjańskich xy. Służy do łatwego definiowania stosunków trygonometrycznych kątów za pomocą trójkątów prostokątnych.
Równanie koła jednostkowego wyśrodkowanego na początku jest następujące:
xdwa + Ydwa = 1
Na rysunku 1 mamy koło jednostkowe, w którym każda ćwiartka jest w ćwiartce. Kwadranty są ponumerowane cyframi rzymskimi i liczone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
W pierwszej ćwiartce znajduje się trójkąt. Nogi, w kolorze czerwonym i niebieskim, mają odpowiednio 0,8 i 0,6, podczas gdy przeciwprostokątna w kolorze zielonym mierzy 1, ponieważ jest to promień.
Kąt ostry α jest kątem środkowym w położeniu standardowym, co oznacza, że jego wierzchołek pokrywa się z punktem (0,0), a jego strona początkowa z dodatnią osią x. Kąt jest mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i zgodnie z konwencją jest przypisywany znak dodatni.
Cóż, w okręgu jednostkowym, cosinus i sinus współrzędnych α są odpowiednio współrzędnymi x i y punktu B, które w pokazanym przykładzie wynoszą 0,8 i 0,6.
Z tych dwóch są zdefiniowane:
Indeks artykułów
Gdybyśmy ograniczyli się do trójkątów prostokątnych, stosunki trygonometryczne miałyby zastosowanie tylko do kątów ostrych. Jednak za pomocą koła jednostkowego obliczenie stosunków trygonometrycznych jest rozszerzone do dowolnego kąta α.
W tym celu należy najpierw zdefiniować pojęcie kąta odniesienia αR:
Niech α będzie kątem w standardowym położeniu (tym, którego strona startowa pokrywa się z dodatnią osią x), jego kąt odniesienia αR jest między jego strona zacisków i oś x. Rysunek 2 przedstawia kąt odniesienia dla kątów w ćwiartce I, II, III i IV.
Dla każdego kwadrantu kąt odniesienia oblicza się w następujący sposób:
-Pierwsza ćwiartka: αR = α
-Druga ćwiartka: αR = 180º - α
-Trzecia ćwiartka: αR = α - 180º
-Czwarta ćwiartka: αR = 360º - α
Zauważ, że w pierwszej ćwiartce kąt α pokrywa się z kątem odniesienia. Cóż, stosunki trygonometryczne kąta α są takie same jak ich kąt odniesienia, a znaki są zgodne z tymi z ćwiartek, w których wypada strona końcowa α..
Innymi słowy, trygonometryczne stosunki cosinus i sinus kąta α pokrywają się ze współrzędnymi punktu P, zgodnie z rysunkiem 2.
Na poniższym rysunku widzimy stosunki trygonometryczne niektórych znaczących kątów, wyprowadzone z koła jednostkowego.
Wszystkie stosunki cosinus i sinus dla dowolnego kąta w ćwiartce I są dodatnie. Dla α = 60º mamy współrzędne (1/2; √3 / 2), które odpowiadają odpowiednio cos 60º i sin 60º.
Współrzędne α = 120º to (-1/2; √3 / 2), ponieważ będąc w drugiej ćwiartce, współrzędna x jest ujemna.
Za pomocą okręgu jednostkowego i współrzędnych punktów P na nim można narysować wykresy funkcji cos t i sin t, jak zobaczymy poniżej.
Aby to zrobić, różne pozycje punktu P (t) znajdują się na okręgu jednostkowym. Zaczniemy od wykresu funkcji f (t) = sin t.
Widzimy, że gdy przechodzimy od t = 0 do t = π / 2 (90º), wartość sin t rośnie, aż osiągnie 1, czyli wartość maksymalną.
Z drugiej strony od t = π / 2 do t = 3π / 2 wartość sin t maleje od 1, przechodząc przez 0 przy t = π, aż osiągnie minimum -1 przy t = 3π / 2.
Rysunek pokazuje wykres pierwszego cyklu f (t) = sin t, który odpowiada pierwszej rundzie koła jednostkowego, funkcja ta jest okresowa z okresem 2π.
Analogiczną procedurę można przeprowadzić w celu uzyskania wykresu funkcji f (t) = cos t, jak pokazano na poniższej animacji:
-Obie funkcje są ciągłe w zbiorze liczb rzeczywistych, a także okresowe, okresu 2π.
-Dziedziną funkcji f (t) = sin t if (t) = cos t są wszystkie liczby rzeczywiste: (-∞, ∞).
-Dla zakresu lub ścieżki sinusa i cosinusa mamy przedział [-1,1]. Nawiasy wskazują, że uwzględniono -1 i 1.
- Zera sin t to wartości, które odpowiadają nπ z n liczbą całkowitą, podczas gdy zera cos t to [(2n + 1) / 2], gdzie n jest również liczbą całkowitą.
-Funkcja f (t) = sin t jest nieparzysta, ma symetrię względem początku, podczas gdy funkcja cos t jest parzysta, jej symetria jest wokół osi pionowej.
Mając cos t = - 2/5, który jest poziomą współrzędną punktu P (t) na okręgu jednostkowym w drugiej ćwiartce, otrzymamy odpowiednią współrzędną pionową sin t.
Ponieważ P (t) należy do koła jednostkowego, w którym prawdą jest, że:
xdwa + Ydwa = 1
W związku z tym:
y = ± √ 1 - xdwa
Ponieważ P (t) znajduje się w drugiej ćwiartce, zostanie przyjęta wartość dodatnia. Pionowa współrzędna punktu P (t) to y:
y = √ 1 - (-2/5)dwa = √0,84
Matematyczny model temperatury T w stopniach Fahrenheita danego dnia, t godzin po północy podaje:
T (t) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t - 8)]
Z czasem od 0 do 24 godzin. Odnaleźć:
a) Temperatura o 8 rano.
b) Godziny, w których T (t) = 60ºF
c) Temperatura maksymalna i minimalna.
W podanej funkcji podstawiamy t = 8:
T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =
= 50 + 10 x sin 0 = 50 ºF
50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60
Jest to równanie trygonometryczne i musimy znaleźć nieznane „t”:
10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60 - 50 = 10
sin [(π / 12) × (t-8)] = 1
Wiemy, że sin π / 2 = 1, dlatego argument sinusa musi wynosić 1:
(π / 12) × (t-8) = π / 2
t-8 = 6
t = 14 godz
Stwierdza się, że po 14 godzinach po północy temperatura wynosi 60º, czyli o godzinie 14:00. Nie ma innej pory dnia (24 godziny), kiedy to się dzieje.
Maksymalna temperatura odpowiada wartości, przy której sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 i wynosi 60ºF. Z drugiej strony minimum występuje, gdy sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 i wynosi 40ºF.
Jeszcze bez komentarzy