ZA czworoboczny jest wielokątem o czterech bokach i czterech wierzchołkach. Ich przeciwne strony to te, które nie mają wspólnych wierzchołków, podczas gdy one są kolejne strony te ze wspólnym wierzchołkiem.
Są w czworoboku sąsiednie kąty ci, którzy dzielą stronę, podczas gdy przeciwne kąty nie mają ze sobą wspólnych stron. Inną ważną cechą czworoboku jest suma czterech kąty wewnętrzne jest dwukrotnością kąta płaskiego, czyli 360º lub 2π radianów.
Przekątne są segmentami, które łączą wierzchołek z jego przeciwieństwem iw danym czworoboku, z każdego wierzchołka można narysować jedną przekątną. Całkowita liczba przekątnych w czworoboku wynosi dwa.
Czworoboki to figury znane ludzkości od czasów starożytnych. Świadczą o tym zapisy archeologiczne, a także zachowane konstrukcje..
Podobnie dzisiaj czworoboki nadal odgrywają ważną rolę w życiu codziennym każdego. Czytelnik może znaleźć tę formę na ekranie, na którym właśnie czytany jest tekst, na oknach, drzwiach, częściach samochodowych i niezliczonych innych miejscach..
Indeks artykułów
Zgodnie z równoległością przeciwnych stron, czworoboki są klasyfikowane w następujący sposób:
Z kolei równoległoboki można sklasyfikować ze względu na ich kąty i boki w następujący sposób:
Trapez jest wypukłym czworobokiem z dwoma równoległymi bokami.
- W trapezie nazywane są równoległe boki podstawy a nie-paralele są nazywane boczny.
- Plik wysokość trapezu to odległość między dwiema podstawami, to znaczy długość odcinka z końcami przy podstawach i prostopadłymi do nich. Ten segment jest również nazywany wysokością trapezu..
- Plik mediana to odcinek, który łączy punkty środkowe bocznych. Można wykazać, że mediana jest równoległa do podstaw trapezu, a jej długość jest równa połowie sumy podstaw.
- Pole powierzchni trapezu to jego wysokość pomnożona przez pół sumę podstaw:
Powierzchnia trapezu = wysokość * (podstawa 1 + podstawa 2) / 2
-Trapez prostokątny: Czy ten z boczną prostopadłą do podstaw. Ta boczna jest również wysokością trapezu.
-Trapez równoramienny: Ten o bokach równej długości. W trapezie równoramiennym kąty przylegające do podstaw są równe.
-Trapez łuskowy: Ten z bokami o różnej długości. Jego przeciwne kąty mogą być ostre, a drugie rozwarte, ale może się również zdarzyć, że oba są rozwarte lub oba są ostre..
Równoległobok jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równoległe po dwa. W równoległoboku przeciwne kąty są równe, a sąsiednie kąty są uzupełniające, innymi słowy, sąsiednie kąty sumują się do 180º.
Jeśli równoległobok ma kąt prosty, wówczas wszystkie inne kąty będą również, a wynikowa figura zostanie wywołana prostokąt. Ale jeśli prostokąt ma również sąsiednie boki o tej samej długości, to wszystkie jego boki są równe, a wynikowa liczba jest kwadrat.
Gdy równoległobok ma dwa sąsiednie boki o tej samej długości, wszystkie jego boki będą miały tę samą długość, a wynikowa figura będzie diament.
Wysokość równoległoboku to odcinek z końcami po przeciwnych stronach i prostopadłymi do nich..
Pole powierzchni równoległoboku jest iloczynem podstawy pomnożonej przez jej wysokość, przy czym podstawa jest bokiem prostopadłym do wysokości (rysunek 6).
Powierzchnia równoległoboku = podstawa x wysokość = a. godz
Kwadrat przekątnej, który zaczyna się od wierzchołka, jest równy sumie kwadratów dwóch boków sąsiadujących z tym wierzchołkiem plus podwójny iloczyn tych boków przez cosinus kąta tego wierzchołka:
fadwa = adwa + redwa + 2 a d Cos (α)
Kwadrat przekątnej przeciwległej do wierzchołka równoległoboku jest równy sumie kwadratów dwóch boków sąsiadujących ze wspomnianym wierzchołkiem i odjęciu iloczynu podwójnego tych boków przez cosinus kąta tego wierzchołka:
soldwa = adwa + redwa - 2 a d Cos (α)
W każdym równoległoboku suma kwadratów jego boków jest równa sumie kwadratów przekątnych:
dodwa + bdwa + dodwa + redwa = fdwa + soldwa
Prostokąt jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równoległe po dwa, a także ma kąt prosty. Innymi słowy, prostokąt jest rodzajem równoległoboku z kątem prostym. Za bycie równoległobokiem, prostokąt ma przeciwległe boki równej długości a = c i b = d.
Ale tak jak w każdym równoległoboku sąsiednie kąty są uzupełniające, a przeciwne kąty są równe, w prostokącie, ponieważ ma on kąt prosty, z konieczności utworzy kąty proste w pozostałych trzech kątach. Mianowicie w prostokącie wszystkie kąty wewnętrzne mają wymiary 90º lub π / 2 radianów.
W prostokącie przekątne mają jednakową długość, jak zostanie wykazane poniżej. Rozumowanie jest następujące; Prostokąt jest równoległobokiem ze wszystkimi jego kątami prostymi i dlatego dziedziczy wszystkie właściwości równoległoboku, w tym wzór określający długość przekątnych:
fadwa = adwa+ redwa + 2 a d Cos (α)
soldwa = adwa + redwa - 2 a d Cos (α)
z α = 90º
Co Cos (90º) = 0, wtedy zdarza się, że:
fadwa = gdwa = adwa + redwa
To jest f = g, a zatem długości fa Y sol dwóch przekątnych prostokąta jest równych, a ich długość jest określona wzorem:
Długość przekątnych prostokąta = √ (adwa + bdwa)
Również jeśli w prostokącie z sąsiednimi bokami do Y b jedna strona jest traktowana jako podstawa, druga strona będzie wysokością, a zatem powierzchnia prostokąta będzie wynosić:
Pole prostokąta = a x b.
Obwód jest sumą wszystkich boków prostokąta, ale ponieważ przeciwieństwa są równe, wynika z tego, że dla prostokąta z bokami do Y b obwód określa następujący wzór:
Obwód prostokąta = 2 (a + b)
Kwadrat jest prostokątem o przyległych bokach o tej samej długości. Jeśli kwadrat ma bok do, potem jego przekątne fa Y sol mają taką samą długość, czyli f = g = (√2) a.
Pole kwadratu to jego bok do kwadratu:
Pole kwadratu = adwa
Obwód kwadratu jest dwa razy większy od boku:
Obwód kwadratu = 4 a
Romb jest równoległobokiem z sąsiednimi bokami o tej samej długości, ale tak jak w równoległoboku przeciwległe boki są wtedy równe, wszystkie boki rombu mają równą długość.
Przekątne rombu mają różną długość, ale przecinają się pod kątem prostym.
Pokaż, że w czworoboku (nie skrzyżowane) kąty wewnętrzne sumują się do 360º.
Uwzględniono czworoboczny ABCD (patrz rysunek 10) i narysowano przekątną BD. Powstają dwa trójkąty ABD i BCD. Suma kątów wewnętrznych trójkąta ABD wynosi:
α + β1 + δ1 = 180º
A suma kątów wewnętrznych trójkąta BCD wynosi:
β2 + γ + δdwa = 180º
Dodając dwa równania otrzymujemy:
α + β1 + δ1 + βdwa + γ + δdwa = 180º + 180º
Grupowanie:
α + (β1 + βdwa) + (δ1 + δdwa) + γ = 2 * 180º
Dzięki grupowaniu i zmianie nazwy ostatecznie okazuje się, że:
α + β + δ + γ = 360º
Pokaż, że mediana trapezu jest równoległa do jego podstaw, a jego długość jest połową sumy podstaw.
Środek trapezu to odcinek łączący punkty środkowe jego boków, czyli boki nierównoległe. W trapezoidzie ABCD pokazanym na rysunku 11 mediana to MN.
Ponieważ M jest środkiem AD, a N jest środkiem BC, prawdą jest, że stosunki AM / AD i BN / BC są równe.
Oznacza to, że AM jest proporcjonalne do BN w tym samym stosunku, co AD do BC, więc podane są warunki zastosowania twierdzenia Talesa (odwrotność), które stwierdza, co następuje:
"Jeśli proporcjonalne segmenty są określone w trzech lub więcej liniach przeciętych dwoma siecznymi, to wszystkie te proste są równoległe".
W naszym przypadku wnioskuje się, że linie MN, AB i DC są do siebie równoległe, dlatego:
„Lśrodkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw".
Teraz zostanie zastosowane twierdzenie Talesa:
"Zbiór równoległości przeciętych przez dwa lub więcej siecznych wyznacza proporcjonalne segmenty".
W naszym przypadku AD = 2 AM, AC = 2 AO, więc trójkąt DAC jest podobny do trójkąta MAO, a co za tym idzie DC = 2 MO.
Podobny argument pozwala nam stwierdzić, że CAB jest podobne do CON, gdzie CA = 2 CO i CB = 2 CN. Wynika z tego natychmiast, że AB = 2 ON.
Krótko mówiąc, AB = 2 ON i DC = 2 MO. Więc dodając mamy:
AB + DC = 2 WŁ + 2 MO = 2 (MO + WŁ) = 2 MN
W końcu MN zostaje wyczyszczony:
MN = (AB + DC) / 2
I wyciągnięto wniosek, że mediana trapezu mierzy połowę sumy podstaw, czyli innymi słowy: mediana mierzy sumę podstaw podzieloną przez dwa.
Pokaż, że w romb przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Tablica na rysunku 12 przedstawia niezbędną konstrukcję. Najpierw rysowany jest równoległobok ABCD z AB = BC, czyli rombem. Przekątne AC i DB wyznaczają osiem kątów pokazanych na rysunku.
Korzystając z twierdzenia (a.i.p.), które stwierdza, że naprzemienne kąty wewnętrzne między równoległościami przeciętymi przez sieczny wyznaczają kąty równe, możemy ustalić, co następuje:
α1 = γ1, α2 = γ2, δ1 = Β1 i δ2 = β2. (*)
Z drugiej strony, ponieważ sąsiednie boki rombu są równej długości, określa się cztery trójkąty równoramienne:
DAB, BCD, CDA i ABC
Teraz przywoływane jest twierdzenie o trójkącie (równoramiennym), które stwierdza, że kąty przylegające do podstawy mają jednakową miarę, z którego wynika, że:
δ1 = β2, δ2 = β1, α2 = γ1 i α1 = γ2 (**)
Jeśli relacje (*) i (**) zostaną połączone, zostanie osiągnięta następująca równość kątów:
α1 = α2 = γ1 = γ1 z jednej strony i β1 = Β2 = δ1 = δ2 z drugiej.
Przywołując twierdzenie o równych trójkątach, które stwierdza, że dwa trójkąty o równym boku między dwoma równymi kątami są równe, otrzymujemy:
AOD = AOB iw konsekwencji także kąty ∡AOD = ∡AOB.
Wtedy ∡AOD + ∡AOB = 180º, ale ponieważ oba kąty są równej miary, mamy 2 ∡AOD = 180º, co oznacza, że ∡AOD = 90º.
Oznacza to, że pokazano geometrycznie, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.
Pokaż, że w prawym trapezie kąty nieproste są uzupełniające.
Trapez ABCD jest skonstruowany z równoległymi podstawami AB i DC. Wewnętrzny kąt wierzchołka A jest prosty (wynosi 90º), więc mamy prawy trapez.
Kąty α i δ to kąty wewnętrzne między dwoma równoległymi AB i DC, dlatego są równe, to znaczy δ = α = 90º.
Z drugiej strony wykazano, że suma kątów wewnętrznych czworoboku daje 360º, czyli:
α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.
Powyższe prowadzi do:
β + δ = 180º
Potwierdzając to, co chcieliśmy pokazać, że kąty β i δ są uzupełniające.
Równoległobok ABCD ma AB = 2 cm i AD = 1 cm, dodatkowo kąt BAD wynosi 30º. Wyznacz pole tego równoległoboku i długość jego dwóch przekątnych.
Pole powierzchni równoległoboku jest iloczynem długości podstawy i wysokości. W takim przypadku za podstawę zostanie przyjęta długość odcinka b = AB = 2 cm, druga strona ma długość a = AD = 1 cm, a wysokość h zostanie obliczona w następujący sposób:
h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.
A więc: Powierzchnia = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cmdwa.
Jeszcze bez komentarzy