Addytywne aplikacje do dekompozycji, partycje, grafika

Plik rozkład addytywny dodatniej liczby całkowitej to wyrażenie jej jako sumy dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych. Zatem mamy, że liczbę 5 można wyrazić jako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 lub 5 = 1 + 2 + 2. Każdy z tych sposobów zapisu liczby 5 nazywamy dekompozycją addytywną.

Jeśli zwrócimy uwagę, zobaczymy, że wyrażenia 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 przedstawiają tę samą kompozycję; oba mają te same numery. Jednak dla wygody każdy z dodatków jest zwykle zapisywany zgodnie z kryterium od najniższego do najwyższego.

Indeks artykułów

• 1 Rozkład addytywny
• 2 Kanoniczny rozkład addytywny
• 3 Aplikacje
  • 3.1 Przykładowe twierdzenie
• 4 partycje
  • 4.1 Definicja
• 5 wykresów
• 6 Odnośniki

Rozkład addytywny

Jako kolejny przykład weźmy liczbę 27, którą możemy wyrazić jako:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Dekompozycja addytywna jest bardzo przydatnym narzędziem, które pozwala nam wzmocnić naszą wiedzę o systemach numeracji.

Kanoniczny rozkład addytywny

Kiedy mamy liczby składające się z więcej niż dwóch cyfr, szczególnym sposobem ich rozłożenia jest wielokrotność 10, 100, 1000, 10 000 itd., Które ją tworzą. Ten sposób zapisu dowolnej liczby nazywany jest kanonicznym rozkładem addytywnym. Na przykład liczbę 1456 można rozłożyć w następujący sposób:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Jeśli mamy liczbę 20 846 295, jej rozkład kanoniczny addytywny będzie wyglądał następująco:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Dzięki tej dekompozycji widzimy, że wartość danej cyfry zależy od zajmowanej przez nią pozycji. Weźmy jako przykład liczby 24 i 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Tutaj widzimy, że w 24 2 ma wartość 20 jednostek, a 4 ma wartość 4 jednostek; z drugiej strony w 42 4 ma wartość 40 jednostek, a 2 z dwóch jednostek. Tak więc, chociaż obie liczby używają tych samych cyfr, ich wartości są zupełnie inne ze względu na zajmowaną pozycję.

Aplikacje

Jednym z zastosowań, które możemy nadać dekompozycji addytywnej, są pewne typy dowodów, w których bardzo przydatne jest postrzeganie dodatniej liczby całkowitej jako sumy innych.

Przykładowe twierdzenie

Weźmy jako przykład następujące twierdzenie wraz z odpowiednimi dowodami.

- Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą, a Z jest podzielne przez 5, jeśli liczba jego jednostek wynosi zero lub pięć.

Demonstracja

Pamiętajmy, czym jest podzielność. Jeśli mamy liczby całkowite „a” i „b”, mówimy, że „a” dzieli „b”, jeśli istnieje liczba całkowita „c”, tak że b = a * c.

Jedna z właściwości podzielności mówi nam, że jeśli „a” i „b” są podzielne przez „c”, to odejmowanie „a-b” jest również podzielne..

Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą; dlatego możemy zapisać Z jako Z = ABCD.

Korzystając z kanonicznej dekompozycji addytywnej, mamy:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Oczywiste jest, że A * 1000 + B * 100 + C * 10 jest podzielne przez 5. Z tego powodu mamy, że Z jest podzielne przez 5, jeśli Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) jest podzielne przez 5.

Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D to liczba jednocyfrowa, więc jedynym sposobem na podzielenie jej przez 5 jest 0 lub 5.

Dlatego Z jest podzielne przez 5, jeśli D = 0 lub D = 5.

Zauważ, że jeśli Z ma n cyfr, dowód jest dokładnie taki sam, zmienia się tylko to, że teraz napiszemy Z = A₁DO_dwa… DO_n a celem byłoby udowodnienie, że A_n jest zero lub pięć.

Partycje

Mówimy, że podział dodatniej liczby całkowitej to sposób, w jaki możemy zapisać liczbę jako sumę dodatnich liczb całkowitych.

Różnica między rozkładem addytywnym a podziałem polega na tym, że podczas gdy pierwsza z nich dąży do tego, aby przynajmniej można ją było rozłożyć na dwa lub więcej dodatków, podział nie ma tego ograniczenia.

Tak więc mamy:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Powyższe partycje to 5.

To znaczy, mamy, że każdy rozkład addytywny jest podziałem, ale nie każda partycja jest koniecznie dekompozycją addytywną..

W teorii liczb fundamentalne twierdzenie arytmetyki gwarantuje, że każda liczba całkowita może być jednoznacznie zapisana jako iloczyn liczb pierwszych.

Podczas badania partycji celem jest określenie, na ile sposobów dodatnią liczbę całkowitą można zapisać jako sumę innych liczb całkowitych. Dlatego definiujemy funkcję partycji w sposób przedstawiony poniżej.

Definicja

Funkcja podziału p (n) jest zdefiniowana jako liczba sposobów, na jakie dodatnia liczba całkowita n może być zapisana jako suma dodatnich liczb całkowitych.

Wracając do przykładu 5, mamy to:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Zatem p (5) = 7.

Wykresy

Zarówno podziały, jak i dekompozycje addytywne liczby n można przedstawić geometrycznie. Załóżmy, że mamy rozkład addytywny n. W tym rozkładzie sumy mogą być ułożone w taki sposób, że składowe sumy są uporządkowane od najmniejszej do największej. Więc dobrze:

n = a₁ + do_dwa + do₃ +… + A_r z

do₁ ≤ a_dwa ≤ a₃ ≤… ≤ a_r.

Możemy przedstawić ten rozkład w następujący sposób: w pierwszym wierszu zaznaczamy a₁-punkty, a następnie w następnym zaznaczamy_dwa-punktów i tak dalej, aż do osiągnięcia_r.

Weźmy na przykład liczbę 23 i jej następujący rozkład:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Zamawiamy ten rozkład i mamy:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Odpowiedni wykres wyglądałby następująco:

Podobnie, jeśli czytamy wspomniany wykres pionowo, a nie poziomo, możemy uzyskać rozkład, który prawdopodobnie różni się od poprzedniego. W przykładzie 23 wyróżnia się:

Mamy więc 23, możemy to również zapisać jako:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Bibliografia

1. G.H. Hardy i E. M. Wright. Wprowadzenie do teorii liczb. Oxford Clarendon Press.
2. Navarro C. Encyklopedia dydaktyczna 6. Od redakcji Santillana, S.A.
3. Navarro C.Link do matematyki 6. Od redakcji Santillana, S.A.
4. Niven i Zuckerman. Wprowadzenie do teorii liczb. Limusa.
5. Ocena VV.AA Kryterium obszaru matematyki: Model dla szkolnictwa podstawowego. Wolters Kluwer Education.
6. Encyklopedia dydaktyczna 6.