Wzór równań pierwszego stopnia, sposoby ich rozwiązywania, przykład, ćwiczenia

Plik I stopnia lub równania liniowe z nieznaną to te, które można wyrazić jako sumę dwóch wyrazów w następujący sposób:

ax + b = 0

Gdzie a i b, z do ≠ 0 to liczby rzeczywiste R lub zespolone C.Aby to rozwiązać, transponuje się wyrazy, co oznacza zmianę wyrazów z jednej strony równości na drugą.

Aby rozwiązać nieznane, transponuje się termin + b, który musi przejść na prawą stronę równości ze zmienionym znakiem.

ax = -b

Następnie wartość x jest usuwana, na przykład:

x = - b / a

Jako przykład rozwiążemy następujące równanie:

6x - 5 = 4

Transponujemy termin -5 na prawą stronę ze zmienionym znakiem:

6x = 4 + 5

Odpowiada to dodaniu 5 do obu stron pierwotnego równania:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

A teraz rozwiązujemy nieznane „x”:

x = 9/6 = 3/2

Co jest równoznaczne z podzieleniem obu stron równości przez 6. Aby otrzymać rozwiązanie, możemy użyć następującego wzoru:

-Tę samą wielkość można dodać lub odjąć od obu stron równości w równaniu, bez zmiany jej.

-Możesz również pomnożyć (lub podzielić) przez tę samą wartość wszystkie wyrazy po lewej i po prawej stronie równania.

-A jeśli oba elementy równania zostaną podniesione do tej samej potęgi, równość również nie zostanie zmieniona.

Indeks artykułów

• 1 Jak rozwiązywać równania pierwszego stopnia
  • 1.1 Graficzna interpretacja
• 2 Przykłady prostych równań liniowych   
  • 2.1 Równania całkowite
  • 2.2 Równania ułamkowe
  • 2.3 Równania dosłowne
  • 2.4 Układy równań pierwszego stopnia 
  • 2.5 Równania liniowe o wartości bezwzględnej
• 3 proste rozwiązane ćwiczenia
  • 3.1 - Ćwiczenie 1
  • 3.2 - Ćwiczenie 2
  • 3.3 - Ćwiczenie 3
• 4 Odnośniki

Jak rozwiązywać równania pierwszego stopnia

Rozwiązanie równania pierwszego stopnia jest również znane jako jego pierwiastek. Jest to wartość x, która konwertuje oryginalne wyrażenie na równość. Na przykład w:

5x = 8x - 15

Jeśli podstawimy w tym równaniu x = 5, otrzymamy:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40-15

25 = 25

Ponieważ równania liniowe pierwszego stopnia występują w wielu formach, które czasami nie są oczywiste, istnieje szereg ogólnych reguł, które obejmują różne algebraiczne manipulacje, aby znaleźć wartość nieznanego:

-Przede wszystkim, jeśli są wskazane operacje, należy je wykonać.

-Symbole grupujące, takie jak nawiasy kwadratowe i nawiasy kwadratowe, jeśli istnieją, należy usunąć, zachowując odpowiednie znaki.

-Terminy są transponowane w celu umieszczenia wszystkich, które zawierają nieznane po jednej stronie równości, a te, które jej nie zawierają, po drugiej.

-Następnie wszystkie podobne terminy zostają zredukowane do formy ax = -b.

-Ostatnim krokiem jest oczyszczenie nieznanego.

Graficzna interpretacja

Równanie pierwszego stopnia podniesione na początku można wyprowadzić z równania linii y = mx + c, dzięki czemu y = 0. Wynikowa wartość x odpowiada przecięciu prostej z osią poziomą.

Na poniższym rysunku są trzy linie. Zaczynając od zielonej linii, której równanie wygląda następująco:

y = 2x - 6

Dokonując y = 0 w równaniu prostej otrzymujemy równanie pierwszego stopnia:

2x - 6 = 0

Którego rozwiązaniem jest x = 6/2 = 3. Teraz, gdy szczegółowo przedstawimy wykres, łatwo jest zdać sobie sprawę, że w efekcie linia przecina oś poziomą w punkcie x = 3.

Niebieska linia przecina oś x przy x = 5, co jest rozwiązaniem równania -x + 5 = 0. Wreszcie, prosta, której równanie to y = 0,5x + 2, przecina oś x przy x = - 4 , co łatwo widać z równania pierwszego stopnia:

0,5 x + 2 = 0

x = 2 / 0,5 = 4

Przykłady prostych równań liniowych   

Równania całkowite

Są to osoby, w odniesieniu do których nie ma mianowników, na przykład:

21 - 6x = 27 - 8x

Twoje rozwiązanie to:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Równania ułamkowe

Równania te zawierają co najmniej jeden mianownik inny niż 1. Aby je rozwiązać, zaleca się pomnożenie wszystkich wyrazy przez najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników, aby je wyeliminować.

Następujące równanie jest ułamkowe:

Ponieważ te liczby są małe, nietrudno zauważyć, że m.c.m (6, 8,12) = 24. Wynik ten można łatwo uzyskać, wyrażając liczby jako iloczyn liczb pierwszych lub ich potęg, zobaczmy:

6 = 3,2

8 = 2³

12 = 2^dwa⋅3

Najmniejszą wspólną wielokrotność określa się, mnożąc wspólne i niezwykłe współczynniki 6, 8 i 12 wraz z ich największym wykładnikiem, a następnie:

lcm (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Ponieważ mamy najmniejszą wspólną wielokrotność, należy ją pomnożyć przez każdy z warunków równania:

4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)

Korzystamy z majątku dystrybucyjnego:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Wszystkie terminy zawierające nieznane „x” są zgrupowane po lewej stronie równości, pozostawiając terminy niezależne lub numeryczne po prawej stronie:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Dosłowne równania

Są to równania liniowe z jedną niewiadomą, którym jednak towarzyszą współczynniki dosłowne (litery). Te litery są traktowane tak samo jak cyfry. Przykład dosłownego równania pierwszego stopnia:

-3ax + 2a = 5x - b

To równanie rozwiązuje się w taki sam sposób, jak gdyby niezależne terminy i współczynniki były numeryczne:

-3ax - 5x = - b - 2a

Faktoring nieznanego „x”:

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = (- b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Układy równań pierwszego stopnia 

Układy równań składają się z zestawu równań z co najmniej dwoma niewiadomymi. Rozwiązanie systemu składa się z wartości, które jednocześnie spełniają równania i aby je jednoznacznie określić, dla każdej niewiadomej musi istnieć równanie.

Ogólna forma systemu m równania liniowe z n niewiadome to:

do_jedenaściex₁ + do₁₂x_dwa +… do_1nx_n = b₁
do_{dwadzieścia jeden}x₁ + do₂₂x_dwa +… do_2nx_n = b_dwa
...
do_m1x₁ + do_m2x_dwa +… do_mnx_n = b_m

Jeśli system ma rozwiązanie, mówi się, że tak zgodny określony, gdy istnieje nieskończony zbiór wartości, które go spełniają, jest nieokreślony kompatybilny, i wreszcie, jeśli nie ma rozwiązania, to jest niekompatybilny.

W rozwiązywaniu układów równań liniowych stosuje się kilka metod: do najczęściej stosowanych należą: redukcja, podstawienie, wyrównywanie, metody graficzne, eliminacja Gaussa-Jordana oraz stosowanie wyznaczników. Ale istnieją inne algorytmy umożliwiające osiągnięcie rozwiązania, wygodniejsze dla układów z wieloma równaniami i niewiadomymi.

Przykładem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest:

8x - 5 = 7 lat - 9
6x = 3 lata + 6

Rozwiązanie tego systemu jest przedstawione w dalszej części w części z rozwiązanymi ćwiczeniami..

Równania liniowe o wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to odległość między jej położeniem na osi liczbowej a 0 na osi liczbowej. Ponieważ jest to odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia.

Wartość bezwzględną liczby oznaczamy słupkami modulo: │x│. Wartość bezwzględna liczby dodatniej lub ujemnej jest zawsze dodatnia, na przykład:

│ + 8│ = 8

│-3│ = 3

W równaniu wartości bezwzględnej niewiadoma znajduje się między słupkami modułu. Rozważmy następujące proste równanie:

│x│ = 10

Istnieją dwie możliwości, pierwsza jest taka, że ​​x jest liczbą dodatnią, w takim przypadku mamy:

x = 10

Inną możliwością jest to, że x jest liczbą ujemną, w tym przypadku:

x = -10

Oto rozwiązania tego równania. Spójrzmy teraz na inny przykład:

│x + 6│ = 11

Kwota wewnątrz słupków może być dodatnia, więc:

x + 6 = 11

x = 11-6 = 5

Albo może być negatywne. W tym wypadku:

-(x + 6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17

A wartość nieznanego to:

x = -17

To równanie wartości bezwzględnej ma zatem dwa rozwiązania: x₁ = 5 i x_dwa = -17. Możemy sprawdzić, czy oba rozwiązania prowadzą do równości w pierwotnym równaniu:

│5 + 6│ = 11

│11│ = 11

Y

│-17 + 6│ = 11

│-11│ = 11

Proste ćwiczenia rozwiązane

- Ćwiczenie 1

Rozwiąż następujący układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

8x - 5 = 7 lat -9
6x = 3 lata + 6

Rozwiązanie

Jak proponuje się, system ten jest idealny do stosowania metody substytucyjnej, ponieważ w drugim równaniu jest nieznana x jest prawie gotowy do odprawy:

x = (3y + 6) / 6

I można je natychmiast podstawić do pierwszego równania, które następnie staje się równaniem pierwszego stopnia z nieznanym „y”:

8 [(3 lata + 6) / 6] - 5 = 7 lat - 9

Mianownik można usunąć, mnożąc każdy termin przez 6:

6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] - 6,5 = 6. 7y- 6. 9

8⋅ (3 lata + 6) - 30 = 42 lata - 54 lata

Zastosowanie własności rozdzielczej w pierwszym okresie do prawa równości:

24 lata + 48-30 = 42 lata - 54 lata ⇒ 24 lata + 18 lat = 42 lata - 54 lata

Równanie można uprościć, ponieważ wszystkie współczynniki są wielokrotnościami 6:

4 lata + 3 = 7 lat - 9

-3y = -12

y = 4

Z tym wynikiem przechodzimy do rozliczenia x:

x = (3y +6) / 6 → x = (12 + 6) / 6 = 3

- Ćwiczenie 2

Rozwiąż następujące równanie:

Rozwiązanie

Produkty pojawiają się w tym równaniu i postępując zgodnie z instrukcjami podanymi na początku, należy je najpierw opracować:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Następnie wszystkie terminy zawierające niewiadome są przenoszone na lewą stronę równości, a po prawej stronie będą wyrażenia niezależne:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Ćwiczenie 3

Dodanie trzech wewnętrznych kątów trójkąta daje 180º. Major przewyższa drobne o 35º, a ten drugi z kolei o 20º przewyższa różnicę między durą a medium. Jakie są kąty?

Rozwiązanie

Nazwiemy „x” większym kątem, „y” środkowym, a „z” najmniejszym. Kiedy stwierdzenie stwierdza, że ​​ich suma wynosi 180º, można zapisać:

x + y + z = 180

Wtedy wiemy, że większe przewyższa mniejsze o 35º, możemy napisać tak:

x = z + 35

Wreszcie, najmniejsza przekracza różnicę między największą i środkową o 20º:

z = x - y + 20

Mamy układ 3 równań i 3 niewiadomych:

x + y + z = 180

x = z + 35

z = x - y + 20

Rozwiązując z pierwszego równania otrzymujemy:

z = 180 - x - y

Dopasowanie do trzeciego:

180 - x - y = x - y + 20

Przekazywanie nieznanych na lewą stronę jak zawsze:

-x - y - x + y = 20 - 180

„Y” zostaje anulowane i pozostaje:

-2x = - 160

x = 80º

Z drugiego równania znajdujemy wartość z:

z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

Wartość y znajduje się od pierwszej lub trzeciej:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Bibliografia

1. Baldor. 1977. Algebra elementarna. Wenezuelskie wydania kulturalne.
2. Instytut Monterey. Równania, nierówności i wartość bezwzględna. Odzyskane z: montereyinstitute.org.
3. Nauczyciel online. Klasyfikacja równań liniowych lub pierwszego stopnia. Odzyskane z: profesorenlinea.cl.
4. Hoffman, J. Wybór tematów matematyki. Głośność 2.
5. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
6. Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. Mcgraw hill.