Prawa wykładników (z przykładami i rozwiązanymi ćwiczeniami)

Plik prawa wykładników to te, które odnoszą się do tej liczby, która wskazuje, ile razy liczba podstawowa musi zostać pomnożona przez samą siebie. Potęgi są również znane jako potęgi. Empowerment to operacja matematyczna utworzona przez podstawę (a), wykładnik (m) i potęgę (b), która jest wynikiem operacji.

Potęgi są zwykle używane, gdy używane są bardzo duże ilości, ponieważ są to nic innego jak skróty, które reprezentują pomnożenie tej samej liczby przez określoną liczbę razy. Potęgi mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Indeks artykułów

• 1 Wyjaśnienie praw wykładników
  • 1.1 Pierwsze prawo: potęga wykładnika równa 1
  • 1.2 Drugie prawo: potęga wykładnika równa 0
  • 1.3 Trzecie prawo: wykładnik ujemny
  • 1.4 Czwarte prawo: pomnożenie uprawnień o równej podstawie
  • 1.5 Piąta ustawa: podział władzy o równej podstawie
  • 1.6 Szóste prawo: zwielokrotnienie uprawnień o różnej podstawie
  • 1.7 Siódme prawo: podział kompetencji o różnej podstawie
  • 1.8 Ósme prawo: potęga potęgi
  • 1.9 Dziewiąte prawo: ułamkowy wykładnik
• 2 ćwiczenia rozwiązane
  • 2.1 Ćwiczenie 1
  • 2.2 Ćwiczenie 2
• 3 Odnośniki

Wyjaśnienie praw wykładników

Jak wspomniano powyżej, wykładniki są formą skróconą, która reprezentuje wielokrotne mnożenie samych liczb, gdzie wykładnik odnosi się tylko do liczby po lewej stronie. Na przykład:

dwa³ = 2 * 2 * 2 = 8

W takim przypadku liczba 2 jest podstawą potęgi, która zostanie pomnożona 3 razy zgodnie z wykładnikiem znajdującym się w prawym górnym rogu podstawy. Wyrażenie można odczytać na różne sposoby: 2 podniesione do 3 lub 2 podniesione do sześcianu.

Wykładniki wskazują również, ile razy można je podzielić, a aby odróżnić tę operację od mnożenia, wykładnik ma przed sobą znak minus (-) (jest ujemny), co oznacza, że ​​wykładnik jest w mianowniku a frakcja. Na przykład:

dwa^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Nie należy tego mylić z przypadkiem, w którym podstawa jest ujemna, ponieważ będzie to zależeć od tego, czy wykładnik jest nieparzysty, czy parzysty, aby określić, czy potęga będzie dodatnia czy ujemna. Więc musisz:

- Jeśli wykładnik jest równy, moc będzie dodatnia. Na przykład:

(-7)^dwa = -7 _* -7 = 49.

- Jeśli wykładnik jest nieparzysty, potęga będzie ujemna. Na przykład:

(-dwa)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Istnieje specjalny przypadek, w którym jeśli wykładnik jest równy 0, potęga jest równa 1. Istnieje również możliwość, że podstawa wynosi 0; w takim przypadku, w zależności od wykładnika, potęga będzie nieokreślona lub nie.

Aby wykonać operacje matematyczne z wykładnikami, konieczne jest przestrzeganie kilku reguł lub norm, które ułatwiają znalezienie rozwiązania tych operacji.

Pierwsze prawo: potęga wykładnika równa 1

Gdy wykładnik jest równy 1, wynikiem będzie taka sama wartość podstawy: a¹ = a.

Przykłady

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Drugie prawo: potęga wykładnika równa 0

Gdy wykładnik jest równy 0, a podstawa jest różna od zera, wynikiem będzie: a⁰ = 1.

Przykłady

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Trzecie prawo: wykładnik ujemny

Ponieważ exponte jest ujemne, wynikiem będzie ułamek, gdzie moc będzie mianownikiem. Na przykład, jeśli m jest dodatnie, to a^-m = 1 / rok^m.

Przykłady

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-dwa = 1/6^dwa = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Czwarte prawo: mnożenie uprawnień o równej podstawie

Aby pomnożyć moce, w których podstawy są równe i różne od 0, podstawa pozostaje, a wykładniki są dodawane: a^m _* doⁿ = a^{m + n}.    

Przykłady

- 4⁴ _* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- dwa^dwa _* dwa⁹ = 2^{2 + 9} = 2^jedenaście

Piąta ustawa: podział władzy o równej podstawie

Aby podzielić potęgi, w których podstawy są równe i różne od 0, należy zachować podstawę i odjąć wykładniki w następujący sposób: a^m / doⁿ = a^m-n.    

Przykłady

- 9^dwa / 9¹ = 9 ^{(dwadzieścia jeden)} = 9¹.

- 6^piętnaście / 6¹⁰ = 6 ^(15–10) = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Prawo szóste: zwielokrotnienie władzy o różnej podstawie

W tym prawie jest przeciwieństwo tego, co zostało wyrażone w czwartym; to znaczy, jeśli masz różne podstawy, ale te same wykładniki, podstawy są mnożone, a wykładnik jest zachowywany: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Przykłady

- 10^dwa _* dwadzieścia^dwa = (10 _* dwadzieścia)^dwa = 200^dwa.

- Cztery pięć^jedenaście _* 9^jedenaście = (45 * 9)^{11 =} 405^jedenaście.

Innym sposobem przedstawienia tego prawa jest podniesienie pomnożenia do potęgi. Zatem wykładnik będzie należał do każdego z warunków: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Przykłady

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Siódme prawo: podział władzy o różnej podstawie

Jeśli masz różne podstawy, ale te same wykładniki, podziel podstawy i zachowaj wykładnik: a^m / b^m = (a / b)^m.

Przykłady

- 30³ / dwa³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Podobnie, gdy dzielenie zostanie podniesione do potęgi, wykładnik będzie należał do każdego z warunków: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Przykłady

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)^dwa = 25^dwa / 5^dwa = 5^dwa.

Jest przypadek, w którym wykładnik jest ujemny. Następnie, aby uzyskać wartość dodatnią, wartość licznika jest odwracana z wartością mianownika w następujący sposób:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / doⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Ósme prawo: potęga potęgi

Kiedy masz potęgę, która jest podniesiona do innej potęgi - to jest dwóch wykładników w tym samym czasie -, podstawa jest zachowana, a wykładniki mnożone:^m)ⁿ= a^{m *n}.

Przykłady

- (8³)^dwa = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Dziewiąte prawo: ułamkowy wykładnik

Jeśli potęga ma ułamek jako wykładnik, rozwiązuje się go, przekształcając go w n-ty pierwiastek, gdzie licznik pozostaje wykładnikiem, a mianownik reprezentuje indeks pierwiastka:

Przykład

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Oblicz operacje między potęgami, które mają różne podstawy:

dwa⁴ _* 4⁴ / 8^dwa.

Rozwiązanie

Stosując reguły wykładników, podstawy są mnożone w liczniku, a wykładnik jest zachowywany w następujący sposób:

dwa⁴ _* 4⁴ / 8^dwa= (2_*4)⁴ / 8^dwa  = 8⁴ / 8^dwa

Teraz, ponieważ mamy te same podstawy, ale z różnymi wykładnikami, podstawa jest zachowana, a wykładniki są odejmowane:

 8⁴ / 8^dwa = 8^{(4 - 2)} = 8^dwa

Ćwiczenie 2

Oblicz operacje między potęgami podniesionymi do innej potęgi:

(3^dwa)³ _* (dwa _* 6⁵)^-dwa _* (dwa^dwa)³

Rozwiązanie

Stosując prawo, musisz:

(3^dwa)³ _* (dwa _* 6⁵)^-dwa _* (dwa^dwa)³

= 3⁶ _* dwa^-dwa _* dwa^-10 _* dwa⁶

= 3⁶ _* dwa^{(-2) + (- 10)} _* dwa⁶

= 3⁶ _*  dwa^-12 _* dwa⁶

= 3⁶ _* dwa^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* dwa⁶

= (3_*dwa)⁶

= 6⁶

= 46,656

Bibliografia

1. Aponte, G. (1998). Podstawy matematyki. Edukacja Pearson.
2. Corbalán, F. (1997). Matematyka stosowana w życiu codziennym.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematyka 1 WRZ.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra i trygonometria.
5. Rees, P. K. (1986). Przywróć.