Plik liczby nieracjonalne to te, których wyrażenie dziesiętne ma nieskończone liczby bez powtarzającego się wzoru, dlatego nie można ich uzyskać, wykonując iloraz między dwiema dowolnymi liczbami całkowitymi.
Do najbardziej znanych liczb niewymiernych należą:
Wśród nich bez wątpienia najbardziej znane jest π (pi), ale jest ich o wiele więcej. Wszystkie należą do zbioru liczb rzeczywistych, który jest zbiorem liczbowym grupującym liczby wymierne i niewymierne..
Wielokropek na rysunku 1 wskazuje, że cyfry dziesiętne trwają w nieskończoność, co się dzieje, że przestrzeń zwykłych kalkulatorów pozwala na wyświetlenie tylko kilku.
Jeśli przyjrzymy się uważnie, za każdym razem, gdy wykonamy iloraz między dwiema liczbami całkowitymi, otrzymamy ułamek dziesiętny z ograniczonymi liczbami lub, jeśli nie, z liczbami nieskończonymi, w których jedna lub więcej się powtarza. Cóż, tak się nie dzieje w przypadku liczb niewymiernych..
Indeks artykułów
Wielki starożytny matematyk Pitagoras, urodzony w 582 roku pne na Samos w Grecji, założył szkołę myśli Pitagorasa i odkrył słynne twierdzenie, które nosi jego imię. Mamy to tutaj, po lewej stronie (może Babilończycy wiedzieli to już dawno temu).
Cóż, kiedy Pitagoras (lub prawdopodobnie jego uczeń) zastosował twierdzenie do trójkąta prostokątnego o bokach równych 1, znalazł liczbę niewymierną √2.
Zrobił to w ten sposób:
c = √1dwa + 1dwa = √1 + 1 = √2
I natychmiast zdał sobie sprawę, że ta nowa liczba nie pochodzi z ilorazu dwóch innych liczb naturalnych, które były wówczas znane.
Dlatego nazwał to irracjonalny, a odkrycie to wywołało wielki niepokój i zamieszanie wśród pitagorejczyków.
-Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest oznaczony literą I, a czasami Q * lub Qdo. Związek między liczbami niewymiernymi I lub Q * a liczbami wymiernymi Q daje początek zbioru liczb rzeczywistych R.
-W przypadku liczb niewymiernych można wykonywać znane operacje arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, wzmacnianie i inne.
-Dzielenie przez 0 nie jest również definiowane między liczbami niewymiernymi.
-Suma i iloczyn liczb niewymiernych niekoniecznie jest kolejną liczbą niewymierną. Na przykład:
√2 x √8 = √16 = 4
A 4 nie jest liczbą nieracjonalną.
-Jednak suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej daje wynik niewymierny. W ten sposób:
1 + √2 = 2,41421356237…
-Iloczyn liczby wymiernej innej niż 0 przez liczbę niewymierną jest również niewymierny. Spójrzmy na ten przykład:
2 x √2 = 2,828427125…
-Odwrotność liczby niewymiernej daje kolejną liczbę niewymierną. Spróbujmy trochę:
1 / √2 = 0,707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Liczby te są interesujące, ponieważ są również wartościami niektórych stosunków trygonometrycznych znanych kątów. Większość stosunków trygonometrycznych to liczby niewymierne, ale są wyjątki, takie jak sin 30º = 0,5 = ½, co jest racjonalne.
-Ponadto spełnione są właściwości przemienne i asocjacyjne. Jeśli a i b są dwiema liczbami niewymiernymi, oznacza to, że:
a + b = b + a.
A jeśli c jest kolejną liczbą niewymierną, to:
(a + b) + c = a + (b + c).
-Właściwość dystrybucyjna mnożenia względem dodawania to kolejna dobrze znana właściwość, która dotyczy również liczb niewymiernych. W tym przypadku:
a. (b + c) = a.b + a.c.
-Irracjonalne a ma swoje przeciwieństwo: -a. Kiedy się je doda, otrzymamy 0:
a + (- a) = 0
-Między dwoma różnymi wymiernymi jest co najmniej jedna liczba niewymierna.
Linia rzeczywista to linia pozioma, na której znajdują się liczby rzeczywiste, których istotną częścią są liczby niewymierne.
Aby znaleźć liczbę niewymierną na linii rzeczywistej, w formie geometrycznej, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa, linijki i kompasu.
Jako przykład umieścimy √5 na rzeczywistej linii, dla której narysujemy trójkąt prostokątny z bokami x = 2 Y y = 1, jak na rysunku:
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa przeciwprostokątna takiego trójkąta to:
c = √2dwa + 1dwa = √4 + 1 = √5
Teraz kompas jest ustawiony z punktem na 0, gdzie znajduje się również jeden z wierzchołków trójkąta prostokątnego. Punkt ołówka cyrkla powinien znajdować się w wierzchołku A.
Rysowany jest łuk obwodu, który przecina rzeczywistą linię. Ponieważ odległość między środkiem obwodu a dowolnym punktem na nim jest promieniem, który jest równy √5, punkt przecięcia jest również daleko √5 od środka.
Z wykresu widać, że √5 zawiera się w przedziale od 2 do 2,5. Kalkulator podaje przybliżoną wartość:
√5 = 2,236068
I tak, budując trójkąt o odpowiednich bokach, można zlokalizować inne nieracjonalne, takie jak √7 i inne.
Liczby nieracjonalne dzielą się na dwie grupy:
-Algebraiczny
-Transcendentny lub transcendentalny
Liczby algebraiczne, które mogą być nieracjonalne lub nie, są rozwiązaniami równań wielomianowych, których ogólna postać jest następująca:
don xn + don-1xn-1 + don-2xn-2 +… + a1x + alub = 0
Przykładem równania wielomianowego jest równanie kwadratowe, takie jak:
x3 - 2x = 0
Łatwo wykazać, że jednym z rozwiązań tego równania jest liczba niewymierna √2.
Z drugiej strony, liczby transcendentne, chociaż są irracjonalne, nigdy nie powstają jako rozwiązanie równania wielomianowego.
Liczby transcendentne najczęściej spotykane w matematyce stosowanej to π ze względu na jego związek z obwodem i liczbą e lub liczbą Eulera, która jest podstawą logarytmów naturalnych..
Szary kwadrat umieszcza się na czarnym kwadracie w miejscu wskazanym na rysunku. Wiadomo, że powierzchnia czarnego kwadratu wynosi 64 cmdwa. Ile są długości obu kwadratów?
Pole kwadratu o boku L to:
A = Ldwa
Ponieważ czarny kwadrat ma 64 cmdwa powierzchni, jego bok powinien mieć 8 cm.
Ten pomiar jest taki sam jak przekątna szarego kwadratu. Stosując twierdzenie Pitagorasa do tej przekątnej i pamiętając, że boki kwadratu są takie same, otrzymamy:
8dwa = Lsoldwa + Lsoldwa
Gdzie L.sol jest bokiem szarego kwadratu.
Dlatego: 2Lsoldwa = 8dwa
Stosowanie pierwiastka kwadratowego po obu stronach równości:
Lsol = (8 / √2) cm
Jeszcze bez komentarzy