Plik liczby wymierne to wszystkie liczby, które można otrzymać jako podzielenie dwóch liczb całkowitych. Przykłady liczb wymiernych to: 3/4, 8/5, -16/3 i te, które pojawiają się na poniższym rysunku. W liczbie wymiernej wskazany jest iloraz, w razie potrzeby można to zrobić później.
Rysunek przedstawia dowolny przedmiot, okrągły dla wygody. Jeśli chcemy podzielić to na 2 równe części, tak jak po prawej, mamy dwie połowy i każda jest warta 1/2.
Dzieląc go na 4 równe części, otrzymamy 4 części, a każda z nich jest warta 1/4, jak na obrazku w środku. A jeśli trzeba to rozłożyć na 6 równych części, bo każda część byłaby warta 1/6, co widzimy na obrazku po lewej stronie.
Oczywiście moglibyśmy również podzielić go na dwie nierówne części, na przykład moglibyśmy zachować 3/4 części i zaoszczędzić 1/4 części. Możliwe są również inne podziały, takie jak 4/6 części i 2/6 części. Ważne jest, aby suma wszystkich części wynosiła 1.
W ten sposób jest oczywiste, że w przypadku liczb wymiernych rzeczy takie jak żywność, pieniądze, ziemia i wszelkiego rodzaju przedmioty można podzielić, policzyć i podzielić na ułamki. W ten sposób zwiększa się liczba operacji, które można wykonać na liczbach.
Liczby wymierne można również wyrazić w postaci dziesiętnej, co widać na poniższych przykładach:
1/2 = 0,5
1/3 = 0,3333…
3/4 = 0,75
1/7 = 0,142857142857142857…
Później pokażemy, jak przejść od jednej formy do drugiej z przykładami.
Indeks artykułów
Liczby wymierne, których zbiór oznaczymy literą Q, mają następujące własności:
-Q zawiera liczby naturalne N i liczby całkowite Z.
Biorąc pod uwagę, że dowolna liczba do Można to wyrazić jako iloraz między sobą a 1, łatwo zauważyć, że wśród liczb wymiernych są również liczby naturalne i liczby całkowite.
Zatem liczbę naturalną 3 można zapisać jako ułamek, a także -5:
3 = 3/1
-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)
W ten sposób Q jest zbiorem liczb, który zawiera większą liczbę liczb, co jest bardzo potrzebne, ponieważ „okrągłe” liczby nie wystarczają do opisania wszystkich możliwych operacji do wykonania..
-Liczby wymierne można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, czego wynikiem jest liczba wymierna: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.
-Pomiędzy każdą parą liczb wymiernych zawsze można znaleźć inną liczbę wymierną. W rzeczywistości między dwiema liczbami wymiernymi są nieskończone liczby wymierne.
Na przykład między wymiernymi 1/4 i 1/2 znajdują się wymierne 3/10, 7/20, 2/5 (i wiele innych), które można zweryfikować, wyrażając je jako ułamki dziesiętne.
-Dowolna liczba wymierna może być wyrażona jako: i) liczba całkowita lub ii) ograniczona (ścisła) lub okresowa liczba dziesiętna: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666…
-Tę samą liczbę można przedstawić za pomocą nieskończonych ułamków równoważnych i wszystkie należą do Q. Spójrzmy na tę grupę:
Wszystkie reprezentują ułamek dziesiętny 0,428571 ...
-Ze wszystkich równoważnych ułamków, które reprezentują tę samą liczbę, nieredukowalny ułamek, najprostszy ze wszystkich, jest przedstawiciel kanoniczny tej liczby. Kanoniczny przedstawiciel powyższego przykładu to 3/7.
-Właściwe ułamki, takie, w których licznik jest mniejszy niż mianownik:
-Niewłaściwe ułamki, których licznik jest większy niż mianownik:
-Liczby naturalne i liczby całkowite:
-Równoważne ułamki:
Gdy licznik zostanie podzielony przez mianownik, zostanie znaleziona dziesiętna forma liczby wymiernej. Na przykład:
2/5 = 0,4
3/8 = 0,375
1/9 = 0,11111…
6/11 = 0,545454…
W pierwszych dwóch przykładach liczba miejsc dziesiętnych jest ograniczona. Oznacza to, że po zakończeniu dzielenia otrzymujemy w końcu resztę z 0.
Z drugiej strony, w następnych dwóch liczba miejsc po przecinku jest nieskończona i dlatego umieszczamy elipsy. W tym drugim przypadku w ułamkach dziesiętnych występuje wzór. W przypadku ułamka 1/9 liczba 1 jest powtarzana w nieskończoność, podczas gdy w 6/11 jest to 54.
Kiedy tak się dzieje, mówi się, że liczba dziesiętna jest okresowa i jest oznaczana przez daszek w następujący sposób:
Jeśli jest to ograniczona liczba dziesiętna, przecinek jest po prostu usuwany, a mianownik staje się jednostką, po której następuje tyle zer, ile jest cyfr w ułamku dziesiętnym. Na przykład, aby przekształcić dziesiętne 1,26 na ułamek, napisz to w ten sposób:
1,26 = 126/100
Następnie uzyskany ułamek jest maksymalnie uproszczony:
126/100 = 63/50
Jeśli liczba dziesiętna jest nieograniczona, najpierw identyfikowany jest okres. Następnie wykonaj następujące kroki, aby znaleźć wynikowy ułamek:
-Licznik to odejmowanie liczby (bez przecinka lub daszka) od jej części nie prowadzi akcent daszkiem.
-Mianownik jest liczbą całkowitą zawierającą tyle cyfr, ile jest cyfr pod daszkiem, i tyle, ile jest cyfr w część dziesiętna są takie, które nie znajdują się pod daszkiem.
Postępujmy zgodnie z tą procedurą, aby przekształcić liczbę dziesiętną 0,428428428… na ułamek.
-Najpierw określa się okres, który jest sekwencją, która się powtarza: 428.
-Następnie wykonywana jest operacja odejmowania liczby bez przecinka lub akcentu: 0428 od części, która nie ma elementu okalającego, czyli 0. Jest to zatem 428 - 0 = 428.
-Mianownik jest konstruowany, wiedząc, że pod daszkiem znajdują się 3 cyfry i wszystkie znajdują się pod daszkiem. Dlatego mianownik to 999.
-Na koniec ułamek jest tworzony i upraszczany, jeśli to możliwe:
0,428 = 428/999
Nie da się bardziej uprościć.
Gdy ułamki mają ten sam mianownik, dodawanie i / lub odejmowanie ich jest bardzo łatwe, ponieważ liczniki są po prostu dodawane algebraicznie, pozostawiając to samo co dodawanie jako mianownik wyniku. Wreszcie, jeśli to możliwe, jest to uproszczone.
Wykonaj następujące dodawanie algebraiczne i uprość wynik:
Powstała frakcja jest już nieredukowalna.
W tym przypadku sumy są zastępowane równoważnymi ułamkami o tym samym mianowniku, a następnie postępuje się zgodnie z już opisaną procedurą.
Dodaj algebraicznie następujące liczby wymierne, upraszczając wynik:
Kroki są następujące:
-Określ najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników 5, 8 i 3:
lcm (5,8,3) = 120
Będzie to mianownik otrzymanego ułamka bez upraszczania.
-Dla każdego ułamka: podziel LCM przez mianownik i pomnóż przez licznik. Wynik tej operacji jest umieszczany z odpowiednim znakiem w liczniku ułamka. W ten sposób uzyskuje się ułamek równoważny oryginałowi, ale z LCM jako mianownikiem..
Na przykład dla pierwszego ułamka licznik jest zbudowany w następujący sposób: (120/5) x 4 = 96 i otrzymujemy:
Postępuj w ten sam sposób dla pozostałych frakcji:
Na koniec równoważne ułamki są podstawiane bez zapominania o ich znaku i wykonywana jest suma algebraiczna liczników:
(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =
= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12
Mnożenie i dzielenie odbywa się zgodnie z poniższymi zasadami:
W każdym razie należy pamiętać, że mnożenie jest przemienne, co oznacza, że kolejność czynników nie zmienia iloczynu. Nie dzieje się tak w przypadku dzielenia, dlatego należy zachować ostrożność, aby przestrzegać kolejności między dywidendą a dzielnikiem.
Wykonaj następujące operacje i uprość wynik:
a) (5/3) x (8/15)
b) (-4/5) ÷ (2/9)
(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8
(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5
Luisa miała 45 dolarów. Wydał jedną dziesiątą na zakup książki i 2/5 tego, co zostało na koszulce. Ile pieniędzy została Luisa? Wyraź wynik jako ułamek nieredukowalny.
Koszt książki (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD
Dlatego Luisa została z:
45 - 4,5 $ = 40,5 $
Z tymi pieniędzmi Luisa poszła do sklepu odzieżowego i kupiła koszulę, której cena wynosi:
(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD
Teraz Luisa ma w swoim portfolio:
40,5 - 16,2 $ = 24,3 $
Aby wyrazić to jako ułamek, jest napisane w ten sposób:
24,3 = 243/10
To jest nieredukowalne.
Jeszcze bez komentarzy