ZA równoległościan jest to bryła geometryczna utworzona z sześciu ścian, której główną cechą jest to, że wszystkie jego ściany są równoległobokami, a także to, że przeciwległe ściany są do siebie równoległe. Jest to powszechny wielościan w naszym codziennym życiu, ponieważ możemy go znaleźć w pudełkach po butach, kształcie cegły, kształcie kuchenki mikrofalowej itp..
Będąc wielościanem, równoległościan otacza skończoną objętość, a wszystkie jego ściany są płaskie. Jest częścią grupy pryzmatów, czyli tych wielościanów, w których wszystkie jej wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach.
Indeks artykułów
Są to każdy z regionów utworzonych przez równoległoboki, które ograniczają równoległościan. Równoległościan ma sześć ścian, z których każda ma cztery sąsiednie ściany i jedną przeciwległą. Ponadto każda twarz jest równoległa do swojej przeciwnej.
Są wspólną stroną dwóch twarzy. W sumie równoległościan ma dwanaście krawędzi.
Jest to wspólny punkt trzech ścian, które sąsiadują ze sobą po dwa. Równoległościan ma osiem wierzchołków.
Mając dwie ściany równoległościanu naprzeciw siebie, możemy narysować odcinek linii biegnący od wierzchołka jednej ściany do przeciwległego wierzchołka drugiej..
Segment ten nazywany jest przekątną równoległościanu. Każdy równoległościan ma cztery przekątne.
Jest to punkt, w którym przecinają się wszystkie przekątne.
Jak już wspomnieliśmy, to ciało geometryczne ma dwanaście krawędzi, sześć ścian i osiem wierzchołków..
W równoległościanie można zidentyfikować trzy zestawy utworzone przez cztery krawędzie, które są równoległe do siebie. Ponadto krawędzie tych zestawów mają również tę samą długość.
Inną właściwością równoległościanów jest to, że są wypukłe, to znaczy, jeśli weźmiemy jakąkolwiek parę punktów należących do wnętrza równoległościanu, odcinek określony przez tę parę punktów będzie również znajdował się wewnątrz równoległościanu..
Ponadto równoległościany będące wypukłymi wielościanami są zgodne z twierdzeniem Eulera dla wielościanów, co daje nam związek między liczbą ścian, liczbą krawędzi i liczbą wierzchołków. Zależność ta jest podana w postaci następującego równania:
C + V = A + 2
Ta cecha jest znana jako cecha Eulera..
Gdzie C to liczba ścian, V to liczba wierzchołków, a A to liczba krawędzi.
Możemy podzielić równoległościany na podstawie ich twarzy na następujące typy:
Są to równoległościany, których twarze tworzą sześć prostokątów. Każdy prostokąt jest prostopadły do tych, które mają wspólną krawędź. Są najbardziej powszechne w naszym codziennym życiu, są to zwykłe pudełka po butach i cegły..
Jest to szczególny przypadek poprzedniego, w którym każda z twarzy jest kwadratem.
Sześcian jest również częścią ciał geometrycznych zwanych bryłami platońskimi. Bryła platońska jest wypukłym wielościanem, dzięki czemu zarówno jej ściany, jak i kąty wewnętrzne są sobie równe..
Jest to równoległościan z rombami na twarzy. Te romby są sobie równe, ponieważ mają wspólne krawędzie.
Jego sześć twarzy jest romboidalnych. Przypomnij sobie, że romboid to wielokąt o czterech bokach i czterech kątach równych od dwóch do dwóch. Romboidy to równoległoboki, które nie są ani kwadratami, ani prostokątami, ani rombami.
Z drugiej strony skośne równoległościany to takie, w których co najmniej jedna wysokość nie pokrywa się z ich krawędzią. Do tej klasyfikacji możemy zaliczyć romboedry i romboedry.
Aby obliczyć przekątną prostokąta, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa dla R3.
Przypomnijmy, że ortodon ma tę cechę, że każdy bok jest prostopadły do boków, które mają wspólną krawędź. Z tego faktu możemy wywnioskować, że każda krawędź jest prostopadła do tych, które mają wspólny wierzchołek.
Aby obliczyć długość przekątnej prostokąta, postępujemy w następujący sposób:
1. Obliczamy przekątną jednej z twarzy, którą umieścimy jako podstawę. W tym celu używamy twierdzenia Pitagorasa. Nazwijmy tę przekątną db.
dwa. Następnie z db możemy utworzyć nowy trójkąt prostokątny, taki że przeciwprostokątna tego trójkąta jest poszukiwaną przekątną D..
3. Używamy ponownie twierdzenia Pitagorasa i mamy, że długość wspomnianej przekątnej wynosi:
Innym sposobem obliczania przekątnych w bardziej graficzny sposób jest suma wektorów swobodnych.
Przypomnijmy, że dwa wektory swobodne A i B są dodawane przez umieszczenie ogona wektora B na końcu wektora A.
Wektor (A + B) to ten, który zaczyna się na ogonie A i kończy na końcu B..
Rozważmy równoległościan, dla którego chcemy obliczyć przekątną.
Identyfikujemy krawędzie za pomocą wygodnie zorientowanych wektorów.
Następnie dodajemy te wektory, a wynikowy wektor będzie przekątną równoległościanu.
Pole powierzchni równoległościanu jest sumą każdego z obszarów jego ścian.
Jeśli określimy jedną ze stron jako podstawę,
DOL + 2Ab = Całkowita powierzchnia
DokądL jest równa sumie powierzchni wszystkich boków sąsiadujących z podstawą, zwanych obszarem bocznym i Ab to powierzchnia podstawy.
W zależności od typu równoległościanu, z którym pracujemy, możemy przepisać tę formułę.
Wynika to ze wzoru
A = 2 (ab + bc + ca).
Biorąc pod uwagę następujący prostopadłościan o bokach a = 6 cm, b = 8 cm ic = 10 cm, obliczyć pole powierzchni równoległościanu i długość jego przekątnej.
Korzystając ze wzoru na pole prostokąta mamy to
A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cmdwa.
Zauważ, że ponieważ jest to prostopadłościan, długość każdej z jego czterech przekątnych jest taka sama.
Używając twierdzenia Pitagorasa dla przestrzeni, mamy to
D = (6dwa + 8dwa + 10dwa)1/2 = (36 + 64 + 100)1/2 = (200)1/2
Ponieważ każda krawędź ma taką samą długość, mamy to, że a = b i a = c. Zastępując w poprzedniej formule, którą mamy
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3adwa) = 6adwa
A = 6adwa
Pudełko konsoli do gier ma kształt sześcianu. Jeśli chcemy owinąć to pudełko papierem do pakowania, ile papieru wydalibyśmy wiedząc, że długość krawędzi sześcianu wynosi 45 cm?
Korzystając ze wzoru na pole sześcianu, otrzymujemy to
A = 6 (45 cm)dwa = 6 (2025 cmdwa) = 12150 cmdwa
Ponieważ wszystkie ich twarze są równe, wystarczy obliczyć powierzchnię jednej z nich i pomnożyć ją przez sześć.
Mamy, że pole powierzchni rombu można obliczyć na podstawie jego przekątnych za pomocą następującego wzoru
DOR = (Dd) / 2
Z tego wzoru wynika, że całkowita powierzchnia romboedru wynosi
DOT = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.
Ściany kolejnego romboedru są utworzone przez romb o przekątnych D = 7 cm id = 4 cm. Twój obszar będzie
A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cmdwa.
Aby obliczyć pole romboedru, musimy obliczyć pole składających się na niego romboidów. Ponieważ równoległościany spełniają tę właściwość, że przeciwległe boki mają tę samą powierzchnię, możemy skojarzyć boki w trzech parach.
W ten sposób mamy pewność, że Twój obszar będzie
DOT = 2b1godz1 + 2bdwagodzdwa + 2b3godz3
Gdzie bja są podstawami związanymi z bokami i hja jego względna wysokość odpowiadająca wspomnianym podstawom.
Rozważmy następujący równoległościan,
gdzie bok A i bok A '(jego przeciwna strona) mają podstawę b = 10 i wysokość h = 6. Zaznaczony obszar będzie miał wartość
DO1 = 2 (10) (6) = 120
B i B 'mają b = 4 i h = 6, więc
DOdwa = 2 (4) (6) = 48
A zatem C i C 'mają b = 10 i h = 5
DO3 = 2 (10) (5) = 100
Wreszcie pole romboedru to
A = 120 + 48 + 100 = 268.
Wzór, który daje nam objętość równoległościanu, jest iloczynem powierzchni jednej z jego ścian przez wysokość odpowiadającą tej powierzchni.
V = Adogodzdo
W zależności od rodzaju równoległościanu wzór ten można uprościć.
Mamy więc na przykład, że objętość ortogonu byłaby podana przez
V = abc.
Gdzie a, b i c reprezentują długość krawędzi ortościanu.
A w konkretnym przypadku sześcianu jest
V = a3
Istnieją trzy różne modele pudełek na ciasteczka i chcesz wiedzieć, w którym z tych modeli możesz przechowywać więcej plików cookie, czyli który z pudełek ma największą objętość.
Pierwsza to sześcian, którego krawędź ma długość a = 10 cm
Jego objętość wyniesie V = 1000 cm3
Drugi ma krawędzie b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
A zatem jego objętość wynosi V = 765 cm3
A trzeci ma e = 9 cm, f = 9 cm i g = 13 cm
A jego objętość wynosi V = 1053 cm3
Dlatego pudełko o największej objętości jest trzecim.
Inną metodą uzyskania objętości równoległościanu jest użycie algebry wektorów. W szczególności iloczyn potrójnej kropki.
Jedną z interpretacji geometrycznych, które ma potrójny iloczyn skalarny, jest objętość równoległościanu, którego krawędzie są trzema wektorami, które mają ten sam wierzchołek co punkt początkowy.
W ten sposób, jeśli mamy równoległościan i chcemy wiedzieć, jaka jest jego objętość, wystarczy przedstawić go w układzie współrzędnych w R3 sprawienie, że jeden z jego wierzchołków pokrywa się z początkiem.
Następnie przedstawiamy krawędzie, które pokrywają się na początku z wektorami, jak pokazano na rysunku.
W ten sposób otrzymujemy, że objętość wspomnianego równoległościanu jest dana przez
V = | AxB ∙ C |
Lub równoważnie, objętość jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3, utworzonej przez składowe wektorów krawędziowych.
Przedstawiając następujący równoległościan w R3 widzimy, że wektory, które to określają, są następujące
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) oraz w = (-0,25, -4, 4)
Korzystając z otrzymanego iloczynu potrójnego kropki
V = | (uxv) ∙ w |
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60
Z tego wnioskujemy, że V = 60
Rozważmy teraz następujący równoległościan w R3, którego krawędzie są określone przez wektory
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)
Daje nam to użycie wyznaczników
Zatem mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 112.
Oba są równoważnymi sposobami obliczania objętości.
Ortoedr jest znany jako cegła Eulera (lub blok Eulera), która spełnia właściwość, że zarówno długość jego krawędzi, jak i długość przekątnych każdej z jego ścian są liczbami całkowitymi.
Chociaż Euler nie był pierwszym naukowcem, który zbadał ortoedry spełniające tę właściwość, znalazł na ich temat interesujące wyniki..
Najmniejszą cegłę Eulera odkrył Paul Halcke, a długości jej krawędzi wynoszą a = 44, b = 117 ic = 240.
Otwarty problem w teorii liczb jest następujący
Czy są doskonałe ortodemy?
Obecnie na to pytanie nie udzielono odpowiedzi, ponieważ nie udało się udowodnić, że takie organy nie istnieją, ale żadnego nie znaleziono..
Jak dotąd wykazano, że istnieją doskonałe równoległościany. Pierwsza odkryta ma długość krawędzi równą 103, 106 i 271.
Jeszcze bez komentarzy