Co to są liczby trójkątne? Właściwości i demonstracje

Jest znany jako liczby trójkątne do sekwencji liczb, które uzyskuje się poprzez ułożenie lub figurę punktów w postaci trójkąta równobocznego. Pierwsze w kolejności to: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Pierwsza trójkątna liczba to 1, druga to 3, ponieważ uzyskuje się ją przez dodanie rzędu dwóch punktów do poprzedniego, aby utworzyć trójkąt równoboczny z trzech elementów.

Trzeci to 6, który pojawia się po dodaniu rzędu trzech punktów do poprzedniego układu, w taki sposób, że powstaje trójkąt z trzech punktów na bok. Dziesiątkę sekwencji uzyskuje się przez dodanie kolejnego wiersza do poprzedniego układu, tak aby utworzony został trójkąt z czterech punktów na bok.

Formuła, która pozwala znaleźć element n sekwencji trójkątnej, znany poprzedni numer trójkątny to:

T_n = T_n-1 + n

Listę pierwszych sześciu liczb trójkątnych uzyskuje się w następujący sposób:

-Pierwszy: 1

-druga: 1 + 2 = 3

-Trzeci: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Sypialnia: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Piąty: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Szósty: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Indeks artykułów

• 1 Własności liczb trójkątnych
• 2 Demonstracje
  • 2.1 - Demo 1
  • 2.2 - Demo 2
  • 2.3 - Demo 3
  • 2.4 - Demonstracja 5
• 3 Odnośniki

Własności liczb trójkątnych

1. - n-ta trójkątna liczba Tn ciągu liczb trójkątnych jest równa połowie n pomnożonej przez n + 1:

T_n = ½ n (n + 1)

2.- Suma n-tej liczby trójkątnej z poprzednią liczbą trójkątną, czyli (n-1) -ty, jest n do kwadratu:

T_n + T_n-1= n^dwa

3. - Różnica między n-tą liczbą trójkątną minus n-tą liczbą trójkątną minus jeden wynosi n:

T_n - T_n-1 = n

4.- Suma pierwszych n liczb trójkątnych nazywana jest liczbą tetraedryczną Sn i jest równa szóstej części iloczynu n pomnożonego przez (n + 1) i pomnożonego przez (n + 2):

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5. - Każda liczba naturalna N jest wynikiem sumy trzech liczb trójkątnych:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Tę ostatnią właściwość lub twierdzenie odkrył wielki matematyk Carl Friedrich Gauss w 1796 r., Co odnotował w swoim dzienniku umieszczając grecki zachwyt Eureka! co to znaczy „Zrobiłem to”.

Tego samego słowa użył dawno temu grecki Archimedes, określając pozorną wagę zanurzonego ciała..

W tej relacji liczba zero jest traktowana jako trójkątna i może wystąpić powtórzenie.

Demonstracje

- Demo 1

Udowodnij, że liczba trójkątna n-to jest:

T_n = ½ n (n + 1)

Z powyższego wzoru łatwo wydedukować, jeśli zdamy sobie sprawę, że możemy dodać taką samą liczbę punktów do układu trójkątnego, aby tworzył czworokąt punktów.

Ponieważ całkowita liczba punktów w układzie czworokątnym to liczba rzędów n pomnożone przez liczbę kolumn (n + 1), wtedy układ trójkątny będzie miał tylko połowę punktów układu czworobocznego.

Tutaj jest to zilustrowane na rysunku 2.

- Demo 2

Pokaż, że suma n-numer trójkąta z n-th minus jeden liczba trójkątna to n do kwadratu:

T_n + T_n-1= n^dwa

Zostało już wykazane, że liczba trójkątna n-th jest określone przez:

T_n= ½ n (n + 1)

Dlatego trójkątna liczba powyżej to:

T_n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n - 1)

Suma obu to:

T_n + T_n-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

Przyjmuje się wspólny współczynnik common n, aby otrzymać:

T_n + T_n-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1)] = ½ n [n + 1 + n - 1]

I natychmiast wyrażenie w nawiasach jest uproszczone:

T_n + T_n-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Teraz, pamiętając, że ½ razy 2 to 1 i że n razy n jest n do kwadratu, otrzymujemy:

T_n + T_n-1 = n^dwa

Tę właściwość można również zademonstrować w postaci geometrycznej, po prostu uzupełnij trójkąt, aby utworzyć kwadrat, jak pokazano na rysunku 3.

- Wersja demonstracyjna 3

Różnica w trójkątnym numerze zamówienia n minus trójkątny numer zamówienia n-1 jest n:

T_n - T_n-1 = n

Można to udowodnić po prostu pamiętając, że następującą liczbę trójkątną uzyskuje się z poprzedniej za pomocą wzoru:

T_n = T_n-1 + n

Stamtąd widać, że T_n - T_n-1 = n. Łatwo jest również zwizualizować to graficznie, jak pokazano na rysunku 4.

- Demo 5

Suma pierwszych n liczb trójkątnych Sn jest równa jednej szóstej iloczynu n pomnożonego przez (n + 1) i pomnożonego przez (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Skorzystajmy z trójkątnej liczby zamówienia n: T_n= ½ n (n + 1). Suma pierwszego n liczby trójkątne oznaczają to przez S_n  

Na przykład, S₁ oznacza sumę pierwszej liczby trójkątnej, która niewątpliwie będzie równa 1.

Następnie zobaczmy, czy formuła, którą próbujemy przetestować, jest prawdziwa dla n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

Rzeczywiście, wzór na n = 1 został zweryfikowany. Łatwo sobie wyobrazić, że suma pierwszych n + 1 liczb trójkątnych będzie sumą pierwszego n plus następnej liczby trójkątnej:

S_{n + 1} = S_n + T_{n + 1}

Teraz załóżmy, że wzór na S_n jest prawdziwe dla n, to podstawiamy go w poprzednim wyrażeniu i dodajemy trójkątny numer zamówienia n + 1:

S_{n + 1} = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Zobaczmy krok po kroku, co otrzymujesz:

-Wykonujemy sumę dwóch wyrażeń ułamkowych:

S_{n + 1} = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12 

-Jest brany ze wspólnego współczynnika licznika do 2 (n + 1) (n + 2) i upraszcza:

S_{n + 1} = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Powyższy wynik jest zgodny ze wzorem na S.n jeśli n zostanie zastąpione przez n + 1, co zostało pokazane przez indukcję, wzór na sumę pierwszych n wyrazów trójkątnych.

Liczba czworościenna

Tak uzyskany wynik jest nazywany czworościenna liczba rzędu n, ponieważ przypomina to nagromadzenie trójkątnych warstw, które tworzą czworościan, jak pokazano na poniższej animacji.

Bibliografia

1. Camacho J. Niespodziewane pojawienie się liczb trójkątnych. Odzyskany z: masscience.com
2. Claudio. Liczby trójkątne. Odzyskane z: po prostu liczb. blogspot. com
3. Wikipedia. Numer trójkątny. Odzyskany z: es.wikipedia.com
4. Wikipedia. Numer trójkątny. Odzyskany z: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Liczba tretaedryczna. Odzyskany z: en.wikipedia.com