Jakie są typy całek?

Plik typy całek które znajdujemy w rachunku różniczkowym, są całkami nieoznaczonymi i oznaczonymi. Chociaż całki oznaczone mają znacznie więcej zastosowań niż całki nieoznaczone, należy najpierw nauczyć się rozwiązywać całki nieoznaczone..

Jednym z najbardziej atrakcyjnych zastosowań całek oznaczonych jest obliczanie objętości bryły obrotowej. Oba typy całek mają takie same właściwości liniowości, a także techniki całkowania nie zależą od typu całki.

Ale pomimo tego, że są bardzo podobne, istnieje jedna główna różnica; w pierwszym typie całki wynikiem jest funkcja (która nie jest specyficzna), natomiast w drugim typie wynikiem jest liczba.

Podstawowe typy całek

Świat całek jest bardzo szeroki, ale w nim można wyróżnić dwa podstawowe typy całek, które mają duże zastosowanie w życiu codziennym..

1- Całki nieoznaczone

Jeśli F '(x) = f (x) dla wszystkich x w dziedzinie f, mówimy, że F (x) jest funkcją pierwotną, pierwotną lub całką f (x).

Z drugiej strony, zauważmy, że (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), co oznacza, że ​​całka funkcji nie jest unikalna, ponieważ nadaje różne wartości funkcji stałą C otrzymamy różne funkcje pierwotne.

Z tego powodu F (x) + C nazywamy całką nieoznaczoną f (x), a C - stałą całkowania i piszemy to następująco

Jak widać, całka nieoznaczona funkcji f (x) jest rodziną funkcji.

Na przykład, jeśli chcesz obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f (x) = 3x², musisz najpierw znaleźć funkcję pierwotną funkcji f (x).

Łatwo zauważyć, że F (x) = x³ jest funkcją pierwotną, ponieważ F '(x) = 3x². Dlatego można stwierdzić, że

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Całki oznaczone

Niech y = f (x) będzie funkcją rzeczywistą, ciągłą na przedziale zamkniętym [a, b] i niech F (x) będzie funkcją pierwotną funkcji f (x). Całka oznaczona f (x) między granicami a i b nazywa się liczbą F (b) -F (a) i jest oznaczona następująco

Powyższy wzór jest lepiej znany jako „Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego”. Tutaj „a” nazywa się dolną granicą, a „b” nazywa się górną granicą. Jak widać, całka oznaczona funkcji jest liczbą.

W tym przypadku, jeśli obliczymy całkę oznaczoną f (x) = 3x² w przedziale [0,3], otrzymamy liczbę.

Aby określić tę liczbę, wybieramy F (x) = x³ jako funkcję pierwotną funkcji f (x) = 3x². Następnie obliczamy F (3) -F (0), co daje nam wynik 27-0 = 27. Podsumowując, całka oznaczona f (x) na przedziale [0,3] wynosi 27.

Można zauważyć, że jeśli wybrano G (x) = x³ + 3, to G (x) jest funkcją pierwotną f (x) różną od F (x), ale nie wpływa to na wynik, ponieważ G (3) - G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tego powodu w całkach oznaczonych nie występuje stała całkowania.

Jednym z najbardziej przydatnych zastosowań tego typu całki jest to, że pozwala obliczyć pole (objętość) figury płaskiej (bryły obrotowej), ustalić odpowiednie funkcje i granice całkowania (oraz oś obrotu).

W ramach zdefiniowanych całek możemy znaleźć różne jej rozszerzenia, takie jak między innymi całki liniowe, całki powierzchniowe, całki niewłaściwe, całki wielokrotne, wszystkie o bardzo przydatnych zastosowaniach w nauce i inżynierii..

Bibliografia

1. Casteleiro, J. M. (2012). Czy łatwo jest się zintegrować? Podręcznik do samodzielnej nauki. Madryt: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Rachunek całkowy (Wydanie ilustrowane). Madryt: redakcja ESIC.
3. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematyka precalculus: podejście do rozwiązywania problemów (2, wyd. Ilustrowane). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Rachunek całkowy. Wydawcy i dystrybutorzy Atlantic.
6. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczenie (Wydanie dziewiąte). Sala Prentice.