Plik symetria osiowa Występuje, gdy punkty figury pokrywają się z punktami innej figury za pomocą prostej dwusiecznej zwanej osią symetrii. Nazywa się to również symetrią promieniową, obrotową lub cylindryczną..
Zwykle jest stosowany w figurach geometrycznych, ale w naturze jest łatwo obserwowalny, ponieważ istnieją zwierzęta, takie jak motyle, skorpiony, biedronki lub ludzie, które wykazują symetrię osiową..
Indeks artykułów
Aby znaleźć symetrię osiową P 'punktu P względem prostej (L), przeprowadza się następujące operacje geometryczne:
1.- Narysowana jest prostopadła do linii (L) przechodzącej przez punkt P..
2.- Przechwycenie dwóch linii wyznacza punkt O.
3.- Mierzona jest długość odcinka PO, następnie długość ta jest kopiowana po linii (PO) zaczynając od O w kierunku od P do O wyznaczając punkt P '.
4. - Punkt P 'jest symetrią osiową punktu P względem osi (L), ponieważ linia (L) jest pośredniczką odcinka PP', gdzie O jest środkiem tego odcinka.
- Symetria osiowa jest izometryczna, to znaczy odległości figury geometrycznej i odpowiadająca jej symetria są zachowane.
- Miara kąta i miara jego symetrii są równe.
- Osiowa symetria punktu na osi symetrii jest samym punktem.
- Linia symetryczna linii równoległej do osi symetrii jest również linią równoległą do tej osi.
- Sieczna linia do osi symetrii ma jako symetryczną linię inną sieczną linię, która z kolei przecina oś symetrii w tym samym punkcie pierwotnej linii.
- Symetryczny obraz linii to kolejna linia tworząca kąt z osią symetrii o takiej samej miary, jak linia pierwotna.
- Symetryczny obraz linii prostopadłej do osi symetrii to kolejna linia, która zachodzi na pierwszą.
- Linia i jej osiowo symetryczna linia tworzą kąt, którego dwusieczna jest osią symetrii.
Natura wykazuje liczne przykłady symetrii osiowej. Na przykład można zobaczyć symetrię twarzy, między innymi owadów, takich jak motyle, odbicie na spokojnych taflach wody i lusterkach lub liściach roślin..
Mamy trójkąt wierzchołków A, B i C, których współrzędne kartezjańskie to odpowiednio A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3). Znajdź współrzędne kartezjańskie trójkąta symetryczne względem osi Y (oś rzędnych).
Rozwiązanie: Jeśli punkt P ma współrzędne (x, y), to jego symetria względem osi rzędnych (osi Y) wynosi P '= (- x, y). Oznacza to, że wartość jego odciętej zmienia znak, podczas gdy wartość rzędnej pozostaje taka sama.
W tym przypadku trójkąt symetryczny z wierzchołkami A ', B' i C 'będzie miał współrzędne:
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3), jak widać na rysunku 6.
W odniesieniu do trójkąta ABC i jego symetrycznego A'B'C 'z ćwiczenia 1, sprawdź, czy odpowiednie boki oryginalnego trójkąta i jego symetrii mają tę samą długość.
Rozwiązanie: Aby obliczyć odległość lub długość boków, używamy wzoru na odległość euklidesową:
d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
Długość odpowiedniego symetrycznego boku A'B 'oblicza się poniżej:
d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
W ten sposób sprawdza się, czy symetria osiowa zachowuje odległość między dwoma punktami. Procedurę można powtórzyć dla pozostałych dwóch boków trójkąta i jego symetrii, aby sprawdzić niezmienność długości. Na przykład | AC | = | A'C '| = √5 = 2,236.
W odniesieniu do trójkąta ABC i jego symetrii A'B'C 'z ćwiczenia 1, sprawdź, czy odpowiednie kąty oryginalnego trójkąta i jego symetrii mają tę samą miarę kątową.
Rozwiązanie: Aby określić miary kątów BAC i B'A'C ', najpierw zostanie obliczony iloczyn skalarny wektorów AB z AC a następnie iloczyn skalarny A'B ' z A'C '.
Pamiętając, że:
A = (2, 5), B = (1, 1) i C = (3,3)
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) i C' = (- 3, 3).
To ma:
AB = <1-2, 1-5> Y AC = <3-2, 3-5>
podobnie
A'B ' = <-1+2, 1-5> Y AC = <-3+2, 3-5>
Następnie znajdują się następujące iloczyny skalarne:
AB⋅AC = <-1, -4>⋅<1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
podobnie
A'B'⋅A'C ' = <1, -4>⋅<-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
Miarą kąta BAC jest:
∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (|AB |⋅ |AC |)) =
ArcCos (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º
Podobnie miara kąta B'A'C 'to:
∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C ' / (|A'B '|⋅ |A'C '|)) =
ArcCos (7 / (4123⋅2,236)) = 40,6º
Wnioskując, że symetria osiowa zachowuje miarę kąta.
Niech będzie punktem P o współrzędnych (a, b). Znajdź współrzędne jego symetrii osiowej P 'względem prostej y = x.
Rozwiązanie: Nazwiemy (a ', b') współrzędne punktu symetrycznego P 'względem prostej y = x. Środek M odcinka PP 'ma współrzędne ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) i również znajduje się na linii y = x, więc następująca równość jest prawdziwa:
a + a '= b + b'
Z drugiej strony odcinek PP 'ma nachylenie -1, ponieważ jest prostopadły do prostej y = x o nachyleniu 1, więc zachodzi następująca równość:
b - b '= a' -a
Rozwiązując dwie poprzednie równości a 'i b', stwierdza się, że:
a '= b i że b' = a.
To znaczy, biorąc pod uwagę punkt P (a, b), jego symetria osiowa względem prostej y = x wynosi P '(b, a).
Jeszcze bez komentarzy