Plik solidność rewolucji Jest to trójwymiarowa figura, która jest generowana przez obrót płaskiej powierzchni wokół osi osiowej lub osi obrotu. Rysunek 1 przedstawia animację wygenerowanej w ten sposób bryły obrotowej.
Inny bardzo łatwy do wizualizacji przykład polega na wygenerowaniu prawego okrągłego walca, obracając prostokąt o wysokości lub długości h i promieniu r wokół dodatniej osi x (rysunek 2). Aby znaleźć jego objętość, istnieje dobrze znana formuła:
V = powierzchnia podstawy x wysokość
Inne bryły obrotowe to kula, prawy okrągły stożek i różne figury w zależności od obracanej powierzchni i oczywiście wybranej osi..
Na przykład, obrócenie półkola wokół linii równoległej do średnicy daje bryłę wydrążonego obrotu.
W przypadku walca, stożka, kuli, zarówno pełnej, jak i wydrążonej, istnieją wzory na obliczenie objętości, która zależy od promienia i wysokości. Ale kiedy są generowane przez inne powierzchnie, objętość jest obliczana za pomocą całek oznaczonych.
Indeks artykułów
Bryły obrotowe można klasyfikować według krzywej, która je generuje:
Wystarczy obrócić półkole wokół osi, która będzie średnicą kuli o promieniu R. Jej objętość to:
Vkula = (4/3) πR3
Aby uzyskać stożek o wysokości H i promieniu R, obrócona powierzchnia jest trójkątem prostokątnym wokół osi osiowej przechodzącej przez jedną z nóg. Jego objętość to:
Vstożek = (1/3) πHRdwa
Obracając prostokąt wokół osi osiowej przechodzącej przez jeden z boków, który może być bokiem krótkim lub dłuższym, otrzymujemy prawy walec kołowy o promieniu R i wysokości H, którego objętość wynosi:
Vcylinder = πRdwaH.
Torus ma kształt pączka. Uzyskuje się to poprzez obrócenie okrągłego obszaru wokół linii w płaszczyźnie, która nie przecina koła. Jego objętość określa:
Vtorus = 2πadwaR
Gdzie a jest promieniem przekroju, a R jest promieniem torusa zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunku:
W rachunku całkowym te dwie metody są częste:
-Tarcze i podkładki
-Muszle
Podczas krojenia bryły obrotowej, przekrój poprzeczny może być dyskiem, jeśli bryła jest pełna, lub może być rodzajem podkładki (tarcza z otworem w środku), jeśli jest to pusta bryła..
Załóżmy, że płaski region jest obracany wokół osi poziomej. Z tego płaskiego obszaru bierzemy mały prostokąt o szerokości Δx, który jest obracany prostopadle wokół osi osiowej.
Wysokość prostokąta znajduje się między najbardziej zewnętrzną krzywą R (x) a najbardziej wewnętrzną krzywą r (x). Odpowiadają one odpowiednio promieniowi zewnętrznemu i promieniowi wewnętrznemu..
Wykonując ten obrót, generowana jest podkładka o objętości ΔV, określonej wzorem:
ΔV = Pełna objętość - objętość otworu (jeśli występuje)
Pamiętając, że objętość prawego okrągłego walca wynosi π. radiodwa x wysokość mamy:
ΔV = π [Rdwa(x) - rdwa(x)] Δx
Ciało stałe można podzielić na wiele małych porcji ΔV. Jeśli dodamy je wszystkie, będziemy mieli pełną objętość.
Aby to zrobić, sprawiamy, że objętość ΔV ma tendencję do 0, przy czym Δx również staje się bardzo małe, stając się różnicą dx.
Mamy więc całkę:
V = ∫dob π [Rdwa(x) - rdwa(x)] dx
W przypadku, gdy bryła jest bryła, funkcja r (x) = 0, wygenerowany wycinek bryły jest dyskiem, a objętość pozostaje:
V = ∫dob πRdwa(x) dx
Gdy oś obrotu jest pionowa, powyższe równania przyjmują postać:
V = ∫dob π [Rdwa (y) - rdwa (y)] dy y V = ∫dob πRdwa(y) dy
Jak sama nazwa wskazuje, metoda ta polega na założeniu, że bryła składa się z warstw o różnej grubości. Warstwa to cienka rurka, która powstaje w wyniku obrotu prostokąta równoległego do osi obrotu.
Mamy następujące wymiary:
-Wysokość prostokąta w
-Jego długość geograficzna godz
-Odległość od środka prostokąta do osi obrotu p
Wiedząc, że objętość warstwy wynosi objętość zewnętrzna - objętość wewnętrzna:
π (p + w / 2)dwah - π (p - w / 2)dwagodz
Opracowując niezwykłe produkty i upraszczając, otrzymujesz:
Objętość warstwy = 2π⋅p⋅w⋅h
Teraz zróbmy wysokość w prostokąta Δy, jak widać na poniższym rysunku:
Przy tym objętość ΔV wynosi:
ΔV = 2π p x h x Δy
I tworzenie liczby warstw n jest bardzo duża, Δy staje się różniczkową dy, z którą całka stanowi objętość całkowita:
V = ∫dore 2π p (y) h (y) dy
Opisana procedura obowiązuje podobnie, gdy oś obrotu jest pionowa:
Znajdź objętość wygenerowaną przez obrót obszaru płaszczyzny między krzywymi:
y = xdwa; y = 0; x = 2
Wokół osi y.
-Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest narysowanie regionu, który wygeneruje bryłę obrotową i wskaże oś obrotu. Mamy to na poniższym wykresie:
-Teraz szukamy przecięć między krzywą y = xdwa a linia x = 2. Z kolei linia y = 0 to nic innego jak oś x.
Z wykresu łatwo zauważyć, że parabola i prosta przecinają się w punkcie (2,4), co potwierdza podstawienie x = 2 w y = xdwa.
-Następnie wybiera się jedną z metod obliczania objętości, na przykład metodę warstwową z pionową osią obrotu:
V = ∫dob 2π p (x) h (x) dx
Ważny: W metodzie warstwowej długi bok prostokąta jest równoległy do osi obrotu.
Promień warstwy wynosi x
Wysokość prostokąta określa parabola xdwa.
Zmienna całkowania to x, która waha się między 0 a 2, przy czym mamy granice całkowania. Zastępowanie wyrażeń dla p (x) i h (x)
Jeszcze bez komentarzy