Plik Twierdzenie Bayesa jest procedurą, która pozwala na wyrażenie warunkowego prawdopodobieństwa zdarzenia losowego A danego B, poprzez rozkład prawdopodobieństwa zdarzenia B przy danym A i rozkład prawdopodobieństwa tylko A.
Twierdzenie to jest bardzo przydatne, ponieważ dzięki niemu możemy powiązać prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wiedząc, że wystąpiło B, z prawdopodobieństwem, że zachodzi odwrotnie, czyli że B zachodzi przy danym.
Twierdzenie Bayesa było srebrną propozycją wielebnego Thomasa Bayesa, osiemnastowiecznego angielskiego teologa, który był również matematykiem. Był autorem kilku prac z teologii, ale obecnie znany jest z kilku traktatów matematycznych, wśród których głównym rezultatem jest wspomniane już twierdzenie Bayesa..
Bayes zajął się tym twierdzeniem w pracy zatytułowanej "An Essay into solution of a Problem in the Doctrine of Chances", opublikowanej w 1763 r., Na której opracowano wiele badań..
Indeks artykułów
Po pierwsze, dla lepszego zrozumienia tego twierdzenia niezbędne są pewne podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, zwłaszcza twierdzenie o mnożeniu dla prawdopodobieństwa warunkowego, które stwierdza, że
Dla dowolnych zdarzeń E i A z przestrzeni próbnej S.
I definicja przegród, która mówi nam, że jeśli mamy A1 ,DOdwa,… , DOn zdarzenia z przestrzeni próbki S, utworzą one partycję S, jeśli Aja wykluczają się wzajemnie, a ich związek to S..
Biorąc to pod uwagę, niech B będzie kolejnym wydarzeniem. Więc możemy zobaczyć B jako
Gdzie Aja przecięte z B są zdarzeniami wzajemnie wykluczającymi się.
A w konsekwencji,
Następnie stosując twierdzenie o mnożeniu
Z drugiej strony warunkowe prawdopodobieństwo Ai danego B jest określone przez
Zastępując odpowiednio, mamy to dla dowolnego i
Dzięki temu wynikowi grupom badawczym i różnym korporacjom udało się udoskonalić systemy oparte na wiedzy..
Na przykład w badaniu chorób twierdzenie Bayesa może pomóc w ustaleniu prawdopodobieństwa wystąpienia choroby w grupie osób o danej charakterystyce, biorąc za dane globalne wskaźniki zachorowań i przewagę tych cech w obu zdrowych i chorych ludzi.
Z drugiej strony w świecie wysokich technologii wpłynęło to na duże firmy, które dzięki temu wynikowi rozwinęły oprogramowanie „Knowledge-Based”.
Jako codzienny przykład mamy asystenta Microsoft Office. Twierdzenie Bayesa pomaga oprogramowaniu ocenić problemy przedstawiane przez użytkownika i określić, jakie porady powinien dostarczyć, a tym samym być w stanie zaoferować lepszą obsługę zgodnie z nawykami użytkownika.
Należy zauważyć, że formuła ta była ignorowana do niedawna, głównie dlatego, że gdy ten wynik został opracowany 200 lat temu, nie było dla nich praktycznego zastosowania. Jednak w naszych czasach, dzięki ogromnemu postępowi technologicznemu, naukowcy znaleźli sposoby na zastosowanie tego wyniku w praktyce.
Firma telefonii komórkowej ma dwie maszyny A i B. 54% wyprodukowanych telefonów komórkowych to maszyna A, a reszta to maszyna B. Nie wszystkie wyprodukowane telefony komórkowe są w dobrym stanie.
Odsetek wadliwych telefonów komórkowych wyprodukowanych przez A wynosi 0,2, a przez B - 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy z tej fabryki jest uszkodzony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, pochodzi on z maszyny A?
Rozwiązanie
Tutaj masz eksperyment, który jest przeprowadzany w dwóch częściach; w pierwszej części zachodzą zdarzenia:
Odp.: Komórka wykonana przez maszynę A..
B: komórka wykonana przez maszynę B..
Ponieważ maszyna A produkuje 54% telefonów komórkowych, a reszta jest produkowana przez maszynę B, wynika z tego, że maszyna B produkuje 46% telefonów komórkowych. Podane są prawdopodobieństwa wystąpienia tych zdarzeń, a mianowicie:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Wydarzenia drugiej części eksperymentu to:
D: uszkodzony telefon komórkowy.
E: sprawny telefon komórkowy.
Jak stwierdzono w oświadczeniu, prawdopodobieństwo tych zdarzeń zależy od wyniku uzyskanego w pierwszej części:
P (D | A) = 0,2.
P (D | B) = 0,5.
Korzystając z tych wartości można również określić prawdopodobieństwa uzupełnień tych zdarzeń, czyli:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0,2
= 0,8
Y
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Teraz zdarzenie D można zapisać następująco:
Korzystanie z twierdzenia o mnożeniu dla wyników prawdopodobieństwa warunkowego:
Który odpowiada na pierwsze pytanie.
Teraz musimy tylko obliczyć P (A | D), do którego stosuje się twierdzenie Bayesa:
Dzięki twierdzeniu Bayesa można stwierdzić, że prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy został wykonany przez maszynę A, wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, wynosi 0,319.
W trzech pudełkach znajdują się czarne i białe kulki. Skład każdego z nich jest następujący: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.
Jedno z pudełek jest wybierane losowo i losowana jest kulka, która okazuje się być biała. Jakie pudełko zostało najprawdopodobniej wybrane?
Rozwiązanie
Używając U1, U2 i U3, będziemy również reprezentować wybrane pole.
Zdarzenia te stanowią podział S i weryfikuje się, że P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, ponieważ wybór skrzynki jest losowy.
Jeśli B = wylosowana piłka jest biała, otrzymamy P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .
Chcemy uzyskać prawdopodobieństwo, że piłka została wyjęta z pudełka Ui wiedząc, że wspomniana piłka była biała, to znaczy P (Ui | B), i zobaczyć, która z trzech wartości była najwyższa do poznania z którego pudełka najprawdopodobniej nastąpiło wyjęcie białej bili.
Stosując twierdzenie Bayesa do pierwszego z prostokątów:
A dla pozostałych dwóch:
P (U2 | B) = 2/6 i P (U3 | B) = 1/6.
Wtedy pierwsze z pudełek jest tym z największym prawdopodobieństwem, że zostało wybrane do ekstrakcji białej kulki..
Jeszcze bez komentarzy