Plik Twierdzenie Bolzano ustala, że jeśli funkcja jest ciągła we wszystkich punktach przedziału zamkniętego [a, b] i prawdą jest, że obraz „a” i „b” (pod funkcją) mają przeciwne znaki, to będzie co najmniej jeden punkt "C" w przedziale otwartym (a, b) w taki sposób, że funkcja oceniana w "c" będzie równa 0.
Twierdzenie to ogłosił filozof, teolog i matematyk Bernard Bolzano w 1850 roku. Ten urodzony w dzisiejszych Czechach naukowiec był jednym z pierwszych matematyków w historii, którzy dokonali formalnego dowodu właściwości funkcji ciągłych..
Indeks artykułów
Twierdzenie Bolzano jest również znane jako twierdzenie o wartościach pośrednich, które pomaga w określaniu określonych wartości, szczególnie zer, niektórych funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej.
W danej funkcji f (x) kontynuuje - to znaczy, że f (a) if (b) są połączone krzywą -, gdzie f (a) jest poniżej osi x (jest ujemne), if ( b) powyżej osi x (jest dodatnia) lub odwrotnie, graficznie będzie punkt odcięcia na osi x, który będzie reprezentował wartość pośrednią „c”, która będzie między „a” a „B”, a wartość f (c) będzie równa 0.
Graficznie analizując twierdzenie Bolzano można zauważyć, że dla każdej funkcji ciągłej f zdefiniowanej na przedziale [a, b], gdzie f (a)*f (b) jest mniejsze niż 0, będzie co najmniej jeden pierwiastek „c” tej funkcji w przedziale (a, b).
To twierdzenie nie ustala liczby punktów w tym przedziale otwartym, stwierdza jedynie, że jest co najmniej 1 punkt.
Aby udowodnić twierdzenie Bolzano, zakłada się bez utraty ogólności, że f (a) < 0 y f(b) > 0; zatem może być wiele wartości między „a” i „b”, dla których f (x) = 0, ale konieczne jest tylko wykazanie, że istnieje jedna.
Zaczynamy od oceny f w punkcie środkowym (a + b) / 2. Jeśli f ((a + b) / 2) = 0, to dowód kończy się tutaj; w przeciwnym razie f ((a + b) / 2) jest dodatnie lub ujemne.
Jedna z połówek przedziału [a, b] jest tak dobrana, że znaki funkcji ocenianej w ekstremach są różne. Ten nowy przedział będzie wynosił [a1, b1].
Teraz, jeśli f oszacowane w punkcie środkowym [a1, b1] nie jest zerem, to wykonywana jest ta sama operacja, co poprzednio; to znaczy, wybrana jest połowa tego przedziału, która spełnia warunek znaków. Niech ten nowy przedział będzie [a2, b2].
Jeśli będziesz kontynuować ten proces, będziesz miał dwie sekwencje an i bn, takie jak:
an rośnie, a bn maleje:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Jeśli obliczona zostanie długość każdego przedziału [ai, bi], otrzymamy:
b1-a1 = (b-a) / 2.
b2-a2 = (b-a) / 2².
... .
bn-an = (b-a) / 2 ^ n.
Dlatego granica n dąży do nieskończoności (bn-an) jest równa 0.
Używając tego, że an jest rosnący i ograniczony, a bn maleje i jest ograniczony, mamy, że istnieje wartość „c” taka, że:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Granica an to „c”, a granica bn to także „c”. Dlatego, biorąc pod uwagę dowolne δ> 0, zawsze istnieje „n” takie, że przedział [an, bn] jest zawarty w przedziale (c-δ, c + δ).
Teraz trzeba pokazać, że f (c) = 0.
Jeśli f (c)> 0, to ponieważ f jest ciągłe, istnieje ε> 0 takie, że f jest dodatnie w całym przedziale (c-ε, c + ε). Jednak, jak wspomniano powyżej, istnieje wartość „n” taka, że f zmienia znak w [an, bn], a ponadto [an, bn] zawiera się w (c-ε, c + ε), co jest sprzeczność.
Jeśli f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 takie, że f jest ujemne w całym przedziale (c-ε, c + ε); ale istnieje wartość „n” taka, że f zmienia znak na [an, bn]. Okazuje się, że [an, bn] zawiera się w (c-ε, c + ε), co również jest zaprzeczeniem.
Dlatego f (c) = 0 i to właśnie chcieliśmy pokazać.
Z jego graficznej interpretacji twierdzenie Bolzano służy do znajdowania pierwiastków lub zer w funkcji ciągłej, poprzez bisekcja (przybliżenie), która jest metodą wyszukiwania przyrostowego, która zawsze dzieli przedziały przez 2.
Następnie przyjmuje się przedział [a, c] lub [c, b], w którym następuje zmiana znaku, i proces powtarza się, aż przedział będzie coraz mniejszy, aby zbliżyć się do pożądanej wartości; to znaczy do wartości, którą funkcja zwraca 0.
Podsumowując, aby zastosować twierdzenie Bolzano i tym samym znaleźć pierwiastki, ograniczyć zera funkcji lub podać rozwiązanie równania, wykonuje się następujące kroki:
- Sprawdza się, czy f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b].
- Jeśli nie podano przedziału, należy znaleźć tam, gdzie funkcja jest ciągła.
- Sprawdza się, czy ekstrema przedziału dają przeciwne znaki, gdy są oceniane w f.
- Jeśli nie uzyskano przeciwnych znaków, przedział należy podzielić na dwa podprzedziały za pomocą punktu środkowego.
- Oceń funkcję w punkcie środkowym i sprawdź, czy hipoteza Bolzano jest spełniona, gdzie f (a) * f (b) < 0.
- W zależności od znaku (dodatniego lub ujemnego) znalezionej wartości proces jest powtarzany z nowym podprzedziałem, aż do spełnienia powyższej hipotezy..
Sprawdź, czy funkcja f (x) = xdwa - 2, ma co najmniej jedno rzeczywiste rozwiązanie w przedziale [1,2].
Mamy funkcję f (x) = xdwa - 2. Ponieważ jest wielomianem, oznacza to, że jest ciągły w dowolnym przedziale.
Jest proszony o określenie, czy ma rozwiązanie rzeczywiste w przedziale [1, 2], więc teraz wystarczy podstawić krańce przedziału w funkcji, aby znać ich znak i wiedzieć, czy spełniają warunek bycia innym:
f (x) = xdwa - dwa
f (1) = 1dwa - 2 = -1 (ujemne)
f (2) = 2dwa - 2 = 2 (dodatnie)
Dlatego znak f (1) ≠ znak f (2).
Zapewnia to, że istnieje co najmniej jeden punkt „c” należący do przedziału [1,2], w którym f (c) = 0.
W takim przypadku wartość „c” można łatwo obliczyć w następujący sposób:
xdwa - 2 = 0
x = ± √2.
Zatem √2 ≈ 1,4 należy do przedziału [1,2] i spełnia, że f (√2) = 0.
Pokaż, że równanie x5 + x + 1 = 0 ma co najmniej jedno rzeczywiste rozwiązanie.
Najpierw zauważmy, że f (x) = x5 + x + 1 jest funkcją wielomianową, co oznacza, że jest ciągła na wszystkich liczbach rzeczywistych.
W tym przypadku nie podano przedziału, więc wartości należy wybrać intuicyjnie, najlepiej blisko 0, aby ocenić funkcję i znaleźć zmianę znaku:
Jeśli używasz interwału [0, 1], musisz:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Ponieważ nie ma zmiany znaku, proces powtarza się z kolejną przerwą.
Jeśli używasz przedziału [-1, 0], musisz:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
W tym przedziale następuje zmiana znaku: znak f (-1) ≠ znak f (0), co oznacza, że funkcja f (x) = x5 + x + 1 ma przynajmniej jeden rzeczywisty pierwiastek „c” w przedziale [-1, 0], taki, że f (c) = 0. Innymi słowy, prawdą jest, że x5 + x + 1 = 0 ma rozwiązanie rzeczywiste w przedziale [-1,0].
Jeszcze bez komentarzy