Plik Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności ustala niezbędne i wystarczające warunki, aby równanie różniczkowe pierwszego rzędu, przy zadanym warunku początkowym, miało rozwiązanie i aby to rozwiązanie było również jedynym.
Jednak twierdzenie to nie daje żadnej techniki ani wskazówek, jak znaleźć takie rozwiązanie. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności jest również rozszerzone na równania różniczkowe wyższego rzędu z warunkami początkowymi, znane jako problem Cauchy'ego..
Formalne stwierdzenie o istnieniu i twierdzeniu o niepowtarzalności jest następujące:
„Dla równania różniczkowego y '(x) = f (x, y) ze stanem początkowym y (a) = b, istnieje co najmniej jedno rozwiązanie w prostokątnym obszarze płaszczyzny XY zawierające do rzeczy (a, b), tak f (x, y) jest ciągły w tym regionie. A jeśli częściowa pochodna fa w szacunku dla Y: g = ∂f / ∂ i jest ciągła w tym samym prostokątnym obszarze, to rozwiązanie jest unikalne w sąsiedztwie punktu (a, b) zawartość w regionie ciągłości fa Y sol."
Użyteczność tego twierdzenia polega przede wszystkim na poznaniu obszarów płaszczyzny XY, w których może istnieć rozwiązanie, a także na wiedzy, czy znalezione rozwiązanie jest jedynym możliwym, czy też są inne..
Zauważ, że w przypadku niespełnienia warunku niepowtarzalności twierdzenie nie może przewidzieć, ile w sumie rozwiązań ma problem Cauchy'ego: być może jest to jeden, dwa lub więcej.
Indeks artykułów
Dla tego twierdzenia znane są dwa możliwe dowody, jeden z nich jest dowodem Charlesa Émile Picard (1856-1941), a drugi wynika z Giuseppe Peano (1858-1932) na podstawie prac Augustina Louisa Cauchy'ego (1789-1857) ).
Warto zauważyć, że najbardziej błyskotliwe umysły matematyczne XIX wieku brały udział w dowodzeniu tego twierdzenia, więc można przypuszczać, że żaden z nich nie jest prosty.
Aby formalnie udowodnić twierdzenie, konieczne jest najpierw ustalenie szeregu bardziej zaawansowanych pojęć matematycznych, takich jak funkcje typu Lipschitza, przestrzenie Banacha, twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego i kilka innych, które wykraczają poza zakres artykułu..
Duża część równań różniczkowych, które są obsługiwane w fizyce, dotyczy funkcji ciągłych w obszarach zainteresowania, dlatego ograniczymy się do pokazania, jak to twierdzenie jest stosowane w prostych równaniach.
Rozważmy następujące równanie różniczkowe z warunkiem początkowym:
y '(x) = - y; z y (1) = 3
Czy istnieje rozwiązanie tego problemu? Czy to jedyne możliwe rozwiązanie?
W pierwszej kolejności ocenia się istnienie rozwiązania równania różniczkowego i spełnia ono również warunek początkowy.
W tym przykładzie f (x, y) = - y warunek istnienia wymaga wiedzy, czy f (x, y) jest ciągła w obszarze płaszczyzny XY który zawiera punkt o współrzędnych x = 1, y = 3.
Ale f (x, y) = - y jest funkcja afiniczna, który jest ciągły w dziedzinie liczb rzeczywistych i istnieje w całym zakresie liczb rzeczywistych.
Dlatego wyciągnięto wniosek, że f (x, y) jest ciągła w Rdwa, więc twierdzenie gwarantuje istnienie co najmniej jednego rozwiązania.
Wiedząc o tym, należy ocenić, czy rozwiązanie jest wyjątkowe, czy wręcz przeciwnie, jest więcej niż jedno. W tym celu konieczne jest obliczenie pochodnej cząstkowej fa w odniesieniu do zmiennej Y:
∂f / ∂y = ∂ (-y) / ∂y = -1
Następnie g (x, y) = -1 która jest funkcją stałą, która jest również zdefiniowana dla wszystkich Rdwa i tam też jest ciągły. Wynika z tego, że twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności gwarantuje, że ten problem wartości początkowej ma unikalne rozwiązanie, chociaż nie mówi nam, czym jest..
Rozważmy następujące równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu z warunkiem początkowym:
y '(x) = 2√y; y (0) = 0.
Czy jest jakieś rozwiązanie y (x) za ten problem? Jeśli tak, określ, czy jest jeden, czy więcej niż jeden.
Rozważamy funkcję f (x, y) = 2√y. Funkcja fa jest zdefiniowany tylko dla y≥0, ponieważ wiemy, że liczba ujemna nie ma prawdziwego pierwiastka. Co więcej f (x, y) jest ciągła w górnej połowie płaszczyzny R.dwa w tym oś X, więc gwarancje twierdzenia o istnieniu i niepowtarzalności co najmniej jedno rozwiązanie w tym regionie.
Teraz warunek początkowy x = 0, y = 0 znajduje się na krawędzi obszaru rozwiązania. Następnie bierzemy pochodną cząstkową f (x, y) względem y:
∂f/ ∂y = 1 / √y
W tym przypadku funkcja nie jest zdefiniowana dla y = 0, dokładnie tam, gdzie jest warunek początkowy.
Co mówi nam to twierdzenie? Mówi nam, że chociaż wiemy, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, górna półpłaszczyzna osi X, w tym oś X, ponieważ warunek niepowtarzalności nie jest spełniony, nie ma gwarancji, że będzie unikalne rozwiązanie.
Oznacza to, że w obszarze ciągłości f (x, y) może istnieć jedno lub więcej rozwiązań. I jak zawsze, twierdzenie nie mówi nam, jakie mogą być.
Rozwiąż problem Cauchy'ego w przykładzie 1:
y '(x) = - y; z y (1) = 3.
Znajdź funkcję y (x), która spełnia równanie różniczkowe i warunek początkowy.
W przykładzie 1 ustalono, że ten problem ma rozwiązanie i jest również wyjątkowy. Aby znaleźć rozwiązanie, pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że jest to równanie różniczkowe pierwszego stopnia rozdzielnych zmiennych, które jest zapisane w następujący sposób:
dy / dx = - y → dy = -y dx
Dzieląc między iw obu członach, aby oddzielić zmienne, mamy:
dy / y = - dx
Całka nieoznaczona jest stosowana w obu członach:
∫ (1 / y) dy = - ∫dx
Rozwiązując całki nieoznaczone mamy:
ln (y) = -x + C
gdzie C jest stałą całkowania określoną przez warunek początkowy:
ln (3) = -1 + C, czyli C = 1 + ln (3)
Podstawiając wartość C i zmieniając ją, pozostaje:
ln (y) - ln (3) = -x + 1
Zastosowanie następującej własności logarytmów:
Różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu
Powyższe wyrażenie można przepisać w następujący sposób:
ln (y / 3) = 1 - x
Funkcja wykładnicza o podstawie e w obu członach jest stosowana do uzyskania:
r / 3 = e(1 - x)
Co jest równoważne z:
y = 3e e-x
To jest jedyne rozwiązanie równania y '= -y z y (1) = 3. Wykres tego rozwiązania pokazano na rysunku 1.
Znajdź dwa rozwiązania problemu przedstawionego w przykładzie 2:
y '(x) = 2√ (y); y (0) = 0.
Jest to również równanie rozdzielnych zmiennych, które zapisane w postaci różniczkowej wygląda następująco:
dy / √ (y) = 2 dx
Przyjmując całkę nieoznaczoną w obu członach pozostaje:
dwa √ (y) = 2 x + C
Skąd to wiesz y≥0 w regionie rozwiązania mamy:
y = (x + C)dwa
Ale ponieważ warunek początkowy x = 0, y = 0 musi być spełniony, to stała C wynosi zero i pozostaje następujące rozwiązanie:
y (x) = xdwa.
Ale to rozwiązanie nie jest unikalne, funkcja y (x) = 0 jest również rozwiązaniem postawionego problemu. Twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności zastosowane do tego problemu w przykładzie 2 przewidywało już, że może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie.
Jeszcze bez komentarzy