Strona główna
Fizyczny
Wyjaśnienie twierdzenia Steinera, zastosowania, ćwiczenia

Wyjaśnienie twierdzenia Steinera, zastosowania, ćwiczenia

1750

434

Simon Doyle

Plik Twierdzenie Steinera, znany także jako twierdzenie o osiach równoległych, pozwala ocenić moment bezwładności rozłożonego ciała wokół równoległej do innej osi przechodzącej przez środek masy obiektu.

Został odkryty przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera (1796-1863) i stwierdza, co następuje: niech ja_CM moment bezwładności obiektu względem osi przechodzącej przez jego środek masy CM i I._zmoment bezwładności względem innej równoległej do niej osi.

Rysunek 1. Prostokątne drzwi obracające się na zawiasach mają moment bezwładności, który można obliczyć stosując twierdzenie Steinera. Źródło: Pixabay.

Znając odległość D dzielącą obie osie oraz masę M ciała, o którym mowa, moment bezwładności względem nieznanej osi wynosi:

ja_z = Ja_CM + MD^dwa

Moment bezwładności wskazuje, jak łatwo obiekt obraca się wokół określonej osi. Zależy to nie tylko od masy ciała, ale także od sposobu jego dystrybucji. Z tego powodu jest również znany jako bezwładność obrotowa, będąc jego jednostkami w Międzynarodowym Systemie Kg. m^dwa.

Z twierdzenia wynika, że moment bezwładności ja_z jest zawsze większy niż moment bezwładności ja_CM w kwocie podanej przez M.D^dwa.

Indeks artykułów

1 Aplikacje
- 1.1 Dowód twierdzenia Steinera
2 ćwiczenia rozwiązane
- 2.1 - Ćwiczenie rozwiązane 1
- 2.2 - Ćwiczenie rozwiązane 2
3 Odnośniki

Aplikacje

Ponieważ obiekt może obracać się wokół wielu osi, a w tabelach generalnie podany jest tylko moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości, twierdzenie Steinera ułatwia obliczenia, gdy konieczne jest obrócenie ciał wokół osi, które nie dopasuj to.

Na przykład drzwi zwykle nie obracają się wokół osi przechodzącej przez ich środek ciężkości, ale wokół osi bocznej, do której przylegają zawiasy..

Znając moment bezwładności, można obliczyć energię kinetyczną związaną z obrotem wokół wspomnianej osi. tak K. jest energią kinetyczną, ja moment bezwładności wokół danej osi i ω prędkość kątową, jest spełnione, że:

K = ½ I.ω^dwa

To równanie wygląda bardzo podobnie do bardzo znanego wzoru na energię kinetyczną obiektu o masie M poruszać się z prędkością v: K = ½ M.v^dwa. I to jest moment bezwładności lub bezwładności obrotowej ja odgrywa taką samą rolę w rotacji jak masa M w tłumaczeniu.

Dowód twierdzenia Steinera

Moment bezwładności rozciągniętego obiektu definiuje się jako:

I = ∫r^dwa dm

Gdzie dm jest nieskończenie małą częścią masy i r to odległość między dm i oś obrotu z. Na rysunku 2 oś ta przecina środek masy CM, jednak może to być dowolny.

Rysunek 2. Obiekt rozciągnięty w ruchu obrotowym wokół dwóch równoległych osi. Źródło: F. Zapata.

Wokół innej osi z ', moment bezwładności to:

ja_z= ∫ (r ')^dwa dm

Teraz, zgodnie z trójkątem utworzonym przez wektory re, r Y r ' (patrz rysunek 2 po prawej), jest suma wektorów:

r + r ' = re → r ' = re - r

Trzy wektory leżą na płaszczyźnie obiektu, którym może być xy. Początek układu współrzędnych (0,0) jest wybierany w CM w celu ułatwienia dalszych obliczeń.

W ten sposób kwadratowy moduł wektora r ' to jest:

(r ')^dwa = (D._x- r_x)^dwa +(RE_Y - r_Y)^dwa =

= D_x^dwa + re_Y^dwa +r_x^dwa + r_Y2 -2D_xr_x - 2 D_Yr_Y =

= D^dwa + r^dwa - 2D_xr_x - 2 D_Yr_Y

Teraz ten rozwój jest podstawiany przez całkę z momentu bezwładności I._za także stosuje się definicję gęstości dm = ρ.dV:

Termin M.D^dwa która pojawia się w twierdzeniu Steinera pochodzi z pierwszej całki, druga to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez CM.

Z drugiej strony całka trzecia i czwarta są warte 0, ponieważ z definicji stanowią one położenie CM, które zostało wybrane jako początek układu współrzędnych (0,0).

Rozwiązane ćwiczenia

-Rozwiązane ćwiczenie 1

Prostokątne drzwi na rysunku 1 mają masę 23 kg, 1,30 szerokości i 2,10 m wysokości. Wyznacz moment bezwładności drzwi względem osi przechodzącej przez zawiasy zakładając, że drzwi są cienkie i jednolite.

Rysunek 3. Schemat rozwiązanego przykładu 1. Źródło: zmodyfikowane z Pixabay.

Rozwiązanie

Z tabeli momentów bezwładności dla prostokątnej płyty o masie M i wymiarach do Y b, moment bezwładności względem osi przechodzącej przez jego środek masy wynosi: I_CM= (1/12)M(do^dwa + b^dwa).

Założona zostanie jednorodna brama (przybliżenie, ponieważ brama na rysunku prawdopodobnie nie jest). W takim przypadku środek masy przechodzi przez jej środek geometryczny. Na rysunku 3 narysowano oś przechodzącą przez środek masy i równoległą do osi przechodzącej przez zawiasy.

ja_CM = (1/12) x 23 kg x (1,30^dwa+2.10^dwa) m^dwa = 11,7 kg. M^dwa

Stosując twierdzenie Steinera do zielonej osi obrotu:

Ja = ja_CM + MD^dwa = 11,7 kg. M^dwa + 23 kg x 0,652 m^dwa = 21,4 kg.

-Ćwiczenie rozwiązane 2

Znajdź moment bezwładności jednorodnego cienkiego pręta, gdy obraca się wokół osi przechodzącej przez jeden z jego końców, patrz rysunek. Czy jest większy czy mniejszy niż moment bezwładności, gdy obraca się wokół swojego środka? Dlaczego?

Rysunek 4. Schemat rozwiązanego przykładu 2. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Zgodnie z tabelą momentów bezwładności, moment bezwładności ja_CM cienkiego pręta ciasta M i długość L to jest: ja_CM = (1/12) ML^dwa

A twierdzenie Steinera stwierdza, że gdy jest obracany wokół osi przechodzącej przez jeden koniec D = L / 2, pozostaje:

Ja = ja_CM + MD^dwa = (1/12) ML^dwa + M (L / 2)^dwa = (1/3) ML^dwa

Jest większa, choć nie tylko dwukrotnie, ale 4 razy więcej, ponieważ druga połowa pręta (nie zacieniowana na rysunku) obraca się opisując większy promień.

Wpływ odległości do osi obrotu nie jest liniowy, lecz kwadratowy. Masa, która jest dwukrotnie większa od innej, będzie miała moment bezwładności proporcjonalny do (2D)^dwa = 4D^dwa.