Plik dwumian newtona to równanie, które mówi nam, jak opracować wyrażenie postaci (a + b)n dla jakiejś liczby naturalnej n. Dwumian to nic innego jak suma dwóch elementów, takich jak (a + b). Pozwala nam również wiedzieć przez okres podany przez akbn-k jaki jest współczynnik, który mu towarzyszy.
To twierdzenie jest powszechnie przypisywane angielskiemu wynalazcy, fizykowi i matematykowi Sir Isaacowi Newtonowi; Znaleziono jednak różne zapisy wskazujące, że jego istnienie było już znane na Bliskim Wschodzie, około roku 1000.
Indeks artykułów
Twierdzenie dwumianowe mówi nam matematycznie, co następuje:
W tym wyrażeniu a i b są liczbami rzeczywistymi, an jest liczbą naturalną.
Zanim udostępnimy demo, spójrzmy na kilka podstawowych pojęć, które są niezbędne.
Liczbę kombinatoryczną lub kombinacje n w k wyraża się następująco:
Ta forma wyraża wartość tego, ile podzbiorów z k elementów można wybrać ze zbioru n elementów. Jego wyrażenie algebraiczne daje:
Zobaczmy przykład: załóżmy, że mamy grupę siedmiu piłek, z których dwie są czerwone, a pozostałe niebieskie..
Chcemy wiedzieć, na ile sposobów możemy je ustawić w rzędzie. Jednym ze sposobów mogłoby być umieszczenie dwóch czerwonych na pierwszej i drugiej pozycji, a reszta piłek na pozostałych pozycjach..
Podobnie jak w poprzednim przypadku, moglibyśmy przypisać czerwonym bilom odpowiednio pierwszą i ostatnią pozycję, a pozostałe zająć niebieskimi kulkami.
Teraz skutecznym sposobem policzenia, na ile sposobów możemy ułożyć kulki w rzędzie, jest użycie liczb kombinatorycznych. Każdą pozycję widzimy jako element następującego zbioru:
Następnie pozostaje tylko wybrać podzbiór dwóch elementów, w których każdy z tych elementów reprezentuje pozycję, jaką zajmą czerwone kulki. Możemy dokonać tego wyboru zgodnie z zależnością podaną przez:
W ten sposób mamy 21 sposobów na zamówienie tych piłek.
Ogólna idea tego przykładu będzie bardzo przydatna do udowodnienia twierdzenia o dwumianu. Spójrzmy na konkretny przypadek: jeśli n = 4, mamy (a + b)4, co jest niczym innym jak:
Kiedy opracowujemy ten iloczyn, pozostaje nam suma wyrazów uzyskanych przez pomnożenie jednego elementu każdego z czterech czynników (a + b). W ten sposób będziemy mieć terminy, które będą miały postać:
Gdybyśmy chcieli uzyskać termin z formularza a4, po prostu pomnóż w następujący sposób:
Zauważ, że jest tylko jeden sposób na uzyskanie tego elementu; ale co się stanie, jeśli teraz poszukamy terminu postaci adwabdwa? Ponieważ „a” i „b” są liczbami rzeczywistymi, a zatem prawo przemienne jest ważne, mamy ten jeden sposób na uzyskanie tego wyrażenia, jak pomnożenie przez elementy, jak wskazano strzałkami.
Wykonywanie wszystkich tych operacji jest zwykle nieco żmudne, ale jeśli postrzegamy termin „a” jako kombinację, w której chcemy wiedzieć, na ile sposobów możemy wybrać dwa „a” z zestawu czterech czynników, możemy skorzystać z pomysłu z poprzedni przykład. Mamy więc następujące rzeczy:
W ten sposób wiemy, że w końcowym rozwinięciu wyrażenia (a + b)4 będziemy mieli dokładnie 6adwabdwa. Korzystając z tego samego pomysłu dla innych elementów, musisz:
Następnie dodajemy otrzymane wcześniej wyrażenia i mamy to:
Jest to formalny dowód dla ogólnego przypadku, w którym „n” jest dowolną liczbą naturalną.
Zwróć uwagę, że terminy, które pozostają podczas opracowywania (a + b)n Mają postać akbn-k, gdzie k = 0,1,…, n. Korzystając z idei z poprzedniego przykładu, mamy sposób na wybranie „k” zmiennych „a” z czynników „n” to:
Wybierając w ten sposób automatycznie wybieramy n-k zmiennych „b”. Z tego wynika, że:
Rozważanie (a + b)5, Jaki byłby twój rozwój?
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy:
Twierdzenie o dwumianach jest bardzo przydatne, jeśli mamy wyrażenie, w którym chcemy wiedzieć, jaki jest współczynnik określonego składnika, bez konieczności wykonywania pełnego rozwinięcia. Jako przykład możemy wziąć następujące niewiadome: jaki jest współczynnik x7Y9 w ekspansji (x + y)16?
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy, że współczynnik wynosi:
Innym przykładem może być: jaki jest współczynnik x5Y8 w rozwoju (3x-7y)13?
Najpierw przepisujemy wyrażenie w wygodny sposób; to jest:
Następnie, używając twierdzenia dwumianowego, mamy, że szukany współczynnik jest wtedy, gdy mamy k = 5
Innym przykładem zastosowań tego twierdzenia jest dowód niektórych wspólnych tożsamości, takich jak te, o których wspomnimy poniżej.
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, otrzymujemy:
Jako dowód używamy dwumianu twierdzenia, w którym zarówno „a”, jak i „b” przyjmują wartość 1. Otrzymujemy wtedy:
W ten sposób udowodniliśmy pierwszą tożsamość.
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, to
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy:
Możemy zrobić inny dowód dla twierdzenia dwumianowego, używając metody indukcyjnej i tożsamości Pascala, który mówi nam, że jeśli „n” i „k” są dodatnimi liczbami całkowitymi spełniającymi n ≥ k, to:
Najpierw zobaczmy, czy podstawa indukcyjna utrzymuje się. Jeśli n = 1, mamy:
Rzeczywiście widzimy, że się spełniło. Teraz niech n = j takie, że:
Chcemy zobaczyć, że dla n = j + 1 prawdą jest, że:
Więc musimy:
Dzięki hipotezie wiemy, że:
Następnie używając właściwości rozdzielającej:
Następnie, opracowując każde z podsumowań, mamy:
Teraz, jeśli pogrupujemy w wygodny sposób, mamy to:
Korzystając z tożsamości pascala, mamy:
Na koniec zwróć uwagę, że:
Dlatego widzimy, że twierdzenie dwumianowe zachodzi dla wszystkich „n” należących do liczb naturalnych, i na tym dowód kończy się.
Liczba kombinatoryczna (nk) jest również nazywana współczynnikiem dwumianowym, ponieważ jest to dokładnie współczynnik, który pojawia się w rozwoju dwumianu (a + b)n.
Izaak Newton uogólnił to twierdzenie dla przypadku, w którym wykładnik jest liczbą rzeczywistą; twierdzenie to jest znane jako dwumianowe twierdzenie Newtona.
Już w starożytności wynik ten był znany z konkretnego przypadku, w którym n = 2. Ten przypadek jest wymieniony w Elementy przez Euclid.
Jeszcze bez komentarzy