Plik twierdzenie o współczynniku stwierdza, że wielomian P (x) jest podzielny przez dwumian postaci (x - a), jeśli x = a jest pierwiastkiem z P (x), to znaczy P (a) = 0. Mówi się, że wielomian jest podzielna między innymi, gdy jej reszta lub reszta wynosi zero.
Wielomian jest wyrażeniem postaci:
P (x) = an xn + don-1 xn-1 +… + A1 x + a0
Gdzie:
-n jest stopniem wielomianu, gdzie n jest największą liczbą całkowitą, do której podniesiona jest zmienna niezależna x,
-Wartości don, don-1 ,… + A1 , do0 są współczynnikami wielomianu, które są na ogół liczbami rzeczywistymi, ale mogą też być liczbami zespolonymi.
Wielomian stopnia n można rozłożyć jako iloczyn n dwumianów postaci:
(x - rja)
Gdzie rja jest i-tym pierwiastkiem z P (x):
P (x) = an (x - r1) (x - rdwa)… (X - rn)
Ponieważ liczba pierwiastków wielomianu jest równa jego stopniowi.
Indeks artykułów
Rozważmy przez przypadek wielomian:
P (x) = 3⋅xdwa - 7⋅x + 2
Chcesz wiedzieć, czy ten wielomian jest podzielny przez dwumian (x - 2). Jeśli używane jest twierdzenie o współczynniku, musimy obliczyć P (x = 2), aby wiedzieć, czy wartość 2 jest pierwiastkiem, czy nie. Następnie przystępujemy do oceny wyrażenia:
P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.
Okazuje się, że x = 2 jest pierwiastkiem z P (x), więc zgodnie z twierdzeniem o współczynniku dwumian (x - 2) jest faktycznie czynnikiem P (x).
Przejdźmy do bezpośredniej weryfikacji przez dzielenie. Szczegóły dotyczące podziału pokazano na poniższym rysunku:
Potwierdzono, że iloraz P (x) i (x-2) daje wielomian niższego stopnia zwany ilorazem C (x) = 3⋅x - 1 z resztą 0.
Wynik możemy podsumować następująco:
(3⋅xdwa - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0
Poprzednie wyrażenie można zapisać w inny sposób, pamiętając po prostu, że dywidenda P (x) jest równa iloczynowi dzielnika (x -2) przez iloraz (3⋅x - 1) plus reszta (w tym przypadku zero ):
(3⋅xdwa - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0
W ten sposób można było rozłożyć wielomian P (x), czyli zapisać jako iloczyn wielomianów pierwotny wielomian:
(3⋅xdwa - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)
Niech wielomian Q (x) = x3 - x + 2. Chcemy wiedzieć, czy jest podzielna przez dwumian (x + 1).
Najbardziej bezpośrednim sposobem jest po prostu zastosowanie twierdzenia o współczynniku. W tym przypadku musimy po prostu sprawdzić, czy x = -1 anuluje, czy nie, wielomian Q (x).
Kontynuujemy zastępując:
Q (-1) = (-1)3 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
Wynik jest różny od zera, dlatego twierdzenie o współczynniku zapewnia nas, że wielomian Q (x) nie jest podzielny przez (x + 1), ponieważ Q (-1) ≠ 0.
Teraz przejdziemy do dzielenia Q (x) przez dwumian (x + 1) jako metodę weryfikacji naszego wniosku.
Przy tej okazji podział zostanie przeprowadzony metodą podziału syntetycznego, polegającą na umieszczeniu w pierwszym rzędzie uporządkowanym od najwyższego do zera stopnia wszystkich współczynników wielomianu, w tym brakujących, gdyż mają one współczynnik zerowy.
Następnie w pierwszej kolumnie umieszczany jest niezależny człon dzielnika, ale ze zmienionym znakiem, w naszym przypadku dzielnik to (x + 1). Jego niezależnym wyrazem jest 1, ale tak jak w pierwszej kolumnie jest umieszczony zmieniony znak, czyli -1.
Poniższy rysunek ilustruje sposób wykonywania podziału syntetycznego:
Na podstawie tego wyniku weryfikuje się, że (x + 1) nie jest czynnikiem wielomianu Q (x) = x3 - x + 2, ponieważ reszta nie jest zerem.
Wniosek ten nie jest zaskakujący, ponieważ został już przewidziany za pomocą twierdzenia o czynnikach. Zauważ również, że podstawiając x = -1 w Q (x) otrzymujemy dokładnie resztę lub resztę z dzielenia wielomianów, ponieważ Q (-1) = reszta = 2.
Oczywiście podział dostarcza dodatkowych informacji o ilorazie C (x) = xdwa - x.
Pamiętając, że dywidenda Q (x) jest równa dzielnikowi (x + 1) przez iloraz C (x) plus reszta r = 2, mamy rozwinięcie wielomianu Q (x) w następujący sposób:
Q (x) = (x + 1) (xdwa - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2
Należy zauważyć, że to wyrażenie nie jest faktoryzacją wspomnianego wielomianu, ponieważ istnieje niezerowe dodawanie składnika, które jest dokładnie resztą wartości 2.
Znajdź czynniki wielomianu
P (x) = x3 - 5 xdwa + 2 x + 8
A także napisz swoją faktoryzację.
Twierdzenie o czynnikach mówi nam, że musimy szukać korzeni do aby następnie znaleźć czynniki (x - do), w tym przypadku, ponieważ jest to wielomian stopnia trzeciego, muszą istnieć trzy pierwiastki.
Ponieważ jest to wielomian o współczynnikach całkowitych, pierwiastki muszą znajdować się między dzielnikami członu niezależnego, którym w tym przypadku jest 8. Dzielniki te to:
± 1, ± 2, ± 4, ± 8.
Zaczynamy od zbadania +1: P (+1) = 13 - 5⋅ 1dwa + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6, który jest różny od 0, więc +1 nie jest pierwiastkiem.
Badamy -1:
P (-1) = (-1)3 - 5⋅ (-1)dwa + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0
Z wyniku wynika, że -1 jest pierwiastkiem z P (x), a (x - (-1)) = (x + 1) jest czynnikiem wielomianu.
Pozostają jeszcze dwa czynniki:
Udowodnimy, co następuje, czyli +2:
P (+2) = (+2)3 - 5⋅ (+2)dwa + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0
Znowu otrzymujemy zero. Więc drugim czynnikiem jest (x - 2).
Ponieważ jest to wielomian stopnia trzeciego, musimy tylko znaleźć współczynnik. Teraz testujemy wartość +4, aby dowiedzieć się, czy anuluje ona wielomian:
P (+4) = (+4)3 - 5⋅ (+4)dwa + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.
Oznacza to, że +4 jest pierwiastkiem z P (x), a zatem dwumian (x - 4) jest kolejnym z jego czynników.
Koniec z szukaniem, ponieważ jest to wielomian stopnia 3, który ma co najwyżej trzy pierwiastki. W tym ćwiczeniu wszystkie korzenie okazały się być rzeczywiste i całkowite.
Dlatego wielomian P (x) jest rozkładany w następujący sposób:
P (x) = x3 - 5 xdwa + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).
Niech wielomian będzie p⋅x3 - x + 2 szt. Wyznacz wartość p tak, aby wielomian był podzielny przez (x + 2).
Używamy twierdzenia o współczynniku, które stwierdza, że jeśli x = -2 anuluje wielomian, to (x - (-2)) jest czynnikiem tego wielomianu.
Następnie podstawiamy x zamiast (-2) w pierwotnym wielomianu, upraszczamy go i ustawiamy na zero:
p⋅ (-2)3 - (-2) + 2 p = 8 p + 2 + 2 p = 10 p + 2 = 0
Teraz wartość p jest wyczyszczona, aby równość do zera została spełniona:
p = -2 / 10 = -⅕
Oznacza to, że wielomian:
-⅕⋅x3 - x - ⅖
Jest podzielna przez (x + 2) lub to, co jest równoważne: (x + 2) jest jednym z jej czynników.
Jeszcze bez komentarzy