ZA trapez różnoboczny jest wielokątem z czterema bokami, z których dwa są równoległe do siebie, oraz z czterema kątami wewnętrznymi o różnych wymiarach.
Czworokąt ABCD pokazano poniżej, gdzie boki AB i DC są do siebie równoległe. To wystarczy, aby uczynić go trapezem, ale dodatkowo kąty wewnętrzne α, β, γ i δ są różne, dlatego trapez jest skalenem.
Indeks artykułów
Oto najbardziej charakterystyczne elementy:
-Podstawy i boki: równoległe boki trapezu to jego podstawy, a dwa nierównoległe boki to boki.
W trapezie łuskowym podstawy są różnej długości, a także boczne. Jednak trapez łuskowy może mieć długość poprzeczną równą podstawie..
-Mediana: to odcinek, który łączy punkty środkowe bocznych.
-Przekątne: przekątna trapezu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. Trapez, jak każdy czworobok, ma dwie przekątne. W trapezie łuskowym mają różną długość.
Oprócz trapezu łuskowego istnieją inne szczególne trapezoidy: prawy trapez i trapez równoramienny..
Trapez jest prostokątem, gdy jeden z jego kątów jest prosty, podczas gdy trapez równoramienny ma boki równej długości.
Kształt trapezu ma wiele zastosowań na poziomie projektowania i przemysłu, np. W konfiguracji skrzydeł samolotów, kształtach przedmiotów codziennego użytku, takich jak stoły, oparcia krzeseł, opakowania, torebki, nadruki na tekstyliach i nie tylko..
Poniżej wymienione są właściwości trapezu skalenowego, z których wiele rozciąga się na inne typy trapezów. W dalszej części, mówiąc o „trapezie”, właściwość będzie miała zastosowanie do każdego typu, w tym do skalenu..
1. Środek trapezu, to znaczy odcinka łączącego punkty środkowe jego nierównoległych boków, jest równoległy do dowolnej z podstaw.
2.- Środek trapezu ma długość, która jest pół sumą jego podstaw i przecina jego przekątne w punkcie środkowym.
3.- Przekątne trapezu przecinają się w punkcie, który dzieli je na dwie części, które są proporcjonalne do ilorazów podstaw.
4.- Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów jego boków plus podwójny iloczyn jego podstaw..
5.- Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych ma długość równą połowie różnicy podstaw.
6.- Kąty przylegające do bocznych mają charakter uzupełniający.
7.- W trapezie łuskowym długości jego przekątnych są różne.
8.- Trapez ma wpisany obwód tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.
9.- Jeśli trapez ma wpisany obwód, to kąt z wierzchołkiem pośrodku wspomnianego obwodu i bokami przechodzącymi przez końce boku trapezu jest prosty.
10.- Trapez skalenowy nie ma określonego obwodu, jedynym rodzajem trapezu, który go posiada, są równoramienne.
Poniższe relacje trapezu pochyłego odnoszą się do poniższego rysunku.
1.- Jeśli AE = ED i BF = FC → EF || AB i EF || DC.
2.- EF = (AB + DC) / 2 czyli: m = (a + c) / 2.
3. - DI = IB = d1 / 2 i AG = GC = ddwa /dwa.
4. - DJ / JB = (c / a) podobnie CJ / JA = (c / a).
5. - DBdwa + ACdwa = ADdwa + pnedwa + 2 AB ∙ DC
Odpowiednio:
re1dwa + redwadwa = ddwa + bdwa + 2 a ∙ c
6. - GI = (AB - DC) / 2
Mianowicie:
n = (a - c) / 2
7. - α + δ = 180⁰ i β + γ = 180⁰
8.- Jeśli α ≠ β ≠ γ ≠ δ to d1 ≠ d2.
9.- Rysunek 4 przedstawia trapez skalenowy z wpisanym obwodem, w tym przypadku prawdą jest, że:
a + c = d + b
10.- W trapezie skalennym ABCD z wpisanym obwodem środka O, jest również prawdziwe:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
Wysokość trapezu definiuje się jako odcinek, który biegnie od punktu podstawy prostopadle do przeciwległej podstawy (lub do jej przedłużenia).
Wszystkie wysokości trapezu mają ten sam wymiar h, więc najczęściej słowo wysokość odnosi się do jego pomiaru. W syntezie wysokość to odległość lub separacja między podstawami.
Wysokość h można określić, znając długość jednego boku i jednego z kątów sąsiadujących z bokiem:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
Miarą m mediany trapezu jest półsuma podstaw:
m = (a + b) / 2
re1 = √ [adwa + redwa - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
redwa= √ [adwa + bdwa - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Można to również obliczyć, jeśli znana jest tylko długość boków trapezu:
re1 = √ [bdwa + a ∙ c - a (bdwa - redwa) / (a - c)]
redwa = √ [ddwa + a ∙ c - a (ddwa - bdwa) / (a - c)]
Obwód to całkowita długość konturu, czyli suma wszystkich jego boków:
P = a + b + c + d
Pole powierzchni trapezu to suma jego podstaw pomnożona przez jego wysokość:
A = h ∙ (a + b) / 2
Można ją również obliczyć, jeśli znana jest mediana mi wysokość h:
A = m ∙ h
W przypadku, gdy znana jest tylko długość boków trapezu, powierzchnię można określić za pomocą wzoru Herona na trapez:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Gdzie s to półmetr: s = (a + b + c + d) / 2.
Przecięcie środkowej z przekątnymi i równoległość, która przechodzi przez przecięcie przekątnych, daje początek innym relacjom.
EF = (a + c) / 2; EG = JEŻELI = c / 2; EI = GF = a / 2
Jeśli KL || AB || DC z J ∈ KL, wtedy KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Biorąc pod uwagę podstawy długości do Y do, gdzie a> c oraz z bokami o długości b i re, istota b> d, wykonaj następujące czynności (patrz rysunek 6):
1. - Zgodnie z regułą rysowany jest segment wielkiej AB.
2.- Z A se i AB punkt P jest zaznaczony tak, że AP = c.
3. - Gdy kompas ma środek w punkcie P i promień d, rysowany jest łuk.
4. - Wyśrodkuj w B z promieniem b rysując łuk, który przecina łuk narysowany w poprzednim kroku. Nazywamy Q punktem przecięcia.
5. - Ze środkiem w A, narysuj łuk o promieniu d.
6.- Ze środkiem w Q, narysuj łuk o promieniu c, który przecina łuk narysowany w poprzednim kroku. Punkt odcięcia zostanie nazwany R..
7.- Segmenty BQ, QR i RA są zaznaczone linijką.
8.- Czworokąt ABQR jest trapezem skalenicznym, ponieważ APQR jest równoległobokiem, który gwarantuje, że AB || Qr.
Następujące długości są podane w cm: 7, 3, 4 i 6.
a) Określić, czy za ich pomocą można skonstruować trapez skalenny, który może opisać okrąg.
b) Znajdź obwód, powierzchnię, długość przekątnych i wysokość wspomnianego trapezu, a także promień wpisanego koła.
Wykorzystując segmenty o długości 7 i 3 jako podstawy oraz odcinki o długości 4 i 6 jako części boczne, można skonstruować trapez skalenny, stosując procedurę opisaną w poprzedniej sekcji..
Pozostaje sprawdzić, czy ma wpisany obwód, ale pamiętając o właściwości (9):
Trapez ma wpisany obwód tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.
Widzimy to skutecznie:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Wtedy warunek istnienia wpisanego obwodu jest spełniony.
Obwód P uzyskuje się przez dodanie boków. Ponieważ podstawy sumują się do 10, a także boczne, obwód wynosi:
P = 20 cm
Aby określić obszar, znany tylko z jego boków, stosuje się zależność:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Gdzie s to półmierznik:
s = (a + b + c + d) / 2.
W naszym przypadku semiperymetr jest wart s = 10 cm. Po podstawieniu odpowiednich wartości:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Pozostaje:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
Wysokość h jest powiązana z obszarem A za pomocą następującego wyrażenia:
A = (a + c) ∙ h / 2, z którego wysokość można uzyskać usuwając:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
Promień wpisanego koła jest równy połowie wysokości:
r = h / 2 = 1,984 cm
Na koniec znajduje się długość przekątnych:
re1 = √ [bdwa + a ∙ c - a (bdwa - redwa) / (a - c)]
redwa = √ [ddwa + a ∙ c - a (ddwa - bdwa) / (a - c)]
Poprawnie podstawiając wartości otrzymujemy:
re1 = √ [6dwa + 7 ∙ 3 - 7 (6dwa - 4dwa) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
redwa = √ [4dwa + 7 ∙ 3 - 7 (4dwa - 6dwa) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
To znaczy: d1 = 4,69 cm i ddwa = 8,49 cm
Wyznacz kąty wewnętrzne trapezu o podstawach AB = a = 7, CD = c = 3 i kątach bocznych BC = b = 6, DA = d = 4.
Twierdzenie cosinus można zastosować do określenia kątów. Na przykład kąt ∠A = α jest określany z trójkąta ABD, w którym AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 i DA = d = 4.
Twierdzenie cosinus zastosowane do tego trójkąta wygląda następująco:
redwadwa = adwa + redwa - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), czyli:
72 = 49 + 16–56 ∙ Cos (α).
Rozwiązując, otrzymujemy cosinus kąta α:
Cos (α) = -1/8
Oznacza to, że α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
W ten sam sposób uzyskuje się pozostałe kąty, których wartości są następujące:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ i ostatecznie δ = 82,82⁰.
Jeszcze bez komentarzy