Plik trójkąty Są to płaskie i zamknięte figury geometryczne, składające się z trzech boków. Trójkąt wyznaczają trzy linie, które przecinają się dwa na dwa, tworząc ze sobą trzy kąty. Pełen symboliki trójkątny kształt obecny jest w niezliczonych przedmiotach i jako element konstrukcji.
Pochodzenie trójkąta zaginęło w historii. Z dowodów archeologicznych wiadomo, że prymitywna ludzkość dobrze ją znała, ponieważ pozostałości archeologiczne potwierdzają, że była używana w narzędziach i broni.
Jest również jasne, że starożytni Egipcjanie mieli solidną wiedzę na temat geometrii, aw szczególności kształtu trójkąta. Odbiły się one w elementach architektonicznych jego monumentalnych budowli.
W papirusie Rhinda znajdują się wzory do obliczania obszarów trójkątów i trapezów, a także niektóre objętości i inne koncepcje prymitywnej trygonometrii.
Ze swojej strony wiadomo, że Babilończycy byli w stanie obliczyć pole trójkąta i inne figury geometryczne, które wykorzystali do celów praktycznych, takich jak podział ziemi. Wiedzieli również o wielu właściwościach trójkątów.
Jednak to starożytni Grecy usystematyzowali wiele dominujących dziś koncepcji geometrycznych, chociaż większość tej wiedzy nie była wyłączna, ponieważ z pewnością była dzielona z innymi starożytnymi cywilizacjami..
Indeks artykułów
Elementy dowolnego trójkąta pokazano na poniższym rysunku. Istnieją trzy: wierzchołki, boki i kąty.
-Wierzchołki: to punkty przecięcia prostych, których segmenty wyznaczają trójkąt. Na powyższym rysunku na przykład linia LAC zawierający odcinek AC, przecina linię LAB zawierający odcinek AB tylko w punkcie A.
-boki: między każdą parą wierzchołków rysowany jest odcinek linii, który stanowi jeden bok trójkąta. Segment ten można oznaczyć końcowymi literami lub nazwać go konkretną literą. W przykładzie na rysunku 2 strona AB jest również nazywana „c”.
-Kąty: Pomiędzy każdym bokiem ze wspólnym wierzchołkiem powstaje kąt, którego wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem trójkąta. Generalnie kąt jest oznaczony grecką literą, jak powiedziano na początku.
Aby zbudować konkretny trójkąt o określonym kształcie i rozmiarze, wystarczy mieć jeden z następujących zestawów danych:
-Wszystkie trzy boki, dość oczywiste jak na trójkąt.
-Dwa boki i kąt między nimi, a natychmiast rysowana jest druga strona.
-Dwa (wewnętrzne) kąty i bok między nimi. W wyniku tego dwa brakujące boki są narysowane i trójkąt jest gotowy.
Ogólnie w zapisie trójkąta stosowane są następujące konwencje: wierzchołki są oznaczone dużymi literami łacińskimi, boki małymi literami łacińskimi, a kąty są oznaczone literami greckimi (patrz rysunek 2).
W ten sposób trójkąt zostanie nazwany zgodnie z jego wierzchołkami. Na przykład trójkąt po lewej stronie na rysunku 2 to trójkąt ABC, a trójkąt po prawej to trójkąt A'B'C '.
Możliwe jest również użycie innych zapisów; na przykład kąt α na fig. 2 oznaczono jako BAC. Zwróć uwagę, że litera wierzchołka znajduje się pośrodku, a litery są napisane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Innym razem umieszcza się daszek w celu oznaczenia kąta:
α = ∠A
Istnieje kilka kryteriów klasyfikacji trójkątów. Najbardziej typową rzeczą jest klasyfikowanie ich według miary ich boków lub według miary ich kątów. W zależności od wymiaru ich boków trójkąty mogą być: skalenami, równoramiennymi lub równobocznymi:
-Różnoboczny: jego trzy strony są różne.
-Równoramienny: ma dwa równe boki i jedną inną stronę.
-Równoboczny: wszystkie trzy strony są równe.
Zgodnie z miarą ich kątów, trójkąty nazywane są następująco:
-Kąt rozwarty, jeśli jeden z kątów wewnętrznych jest większy niż 90 °.
-Kąt ostry, kiedy trzy wewnętrzne kąty trójkąta są ostre, to jest mniejsze niż 90 °
-Prostokąt, jeśli jeden z jego wewnętrznych kątów wynosi 90º. Boki tworzące 90 ° nazywane są nogami, a strona przeciwna do kąta prostego to przeciwprostokątna..
Kiedy dwa trójkąty mają ten sam kształt i są tej samej wielkości, mówi się, że są przystające. Oczywiście zgodność jest związana z równością, więc dlaczego w geometrii mówimy o „dwóch przystających trójkątach” zamiast „dwóch równych trójkątach”?
Cóż, lepiej jest użyć terminu „kongruencja”, aby trzymać się prawdy, ponieważ dwa trójkąty mogą mieć ten sam kształt i rozmiar, ale mogą być zorientowane inaczej w płaszczyźnie (patrz rysunek 3). Z punktu widzenia geometrii nie byłyby już dokładnie takie same.
Dwa trójkąty są przystające, jeśli zachodzi którakolwiek z poniższych sytuacji:
-Wszystkie trzy strony mierzą to samo (znowu jest to najbardziej oczywiste).
-Mają dwa identyczne boki i ten sam kąt między nimi.
-Oba mają dwa identyczne kąty wewnętrzne, a bok między tymi kątami jest taki sam.
Jak widać, chodzi o dwa trójkąty spełniające niezbędne warunki, aby po zbudowaniu ich kształt i rozmiar były dokładnie takie same..
Kryteria zgodności są bardzo przydatne, ponieważ w praktyce niezliczone części i części mechaniczne muszą być produkowane seryjnie, tak aby ich wymiary i kształt były dokładnie takie same.
Trójkąt jest podobny do innego, jeśli ma ten sam kształt, nawet jeśli mają różne rozmiary. Aby upewnić się, że kształt jest taki sam, wymagane jest, aby kąty wewnętrzne miały tę samą wartość, a boki były proporcjonalne..
Trójkąty na rysunku 2 są również podobne, podobnie jak na rysunku 6. W ten sposób:
∠ A = ∠ A ', ∠ B = ∠ B 'i ∠ do = ∠ C '
Jeśli chodzi o boki, zachodzą następujące współczynniki podobieństwa:
a / a '= b / b' = c / c '
Podstawowe właściwości trójkątów są następujące:
-Suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta zawsze wynosi 180º.
-Dla dowolnego trójkąta suma jego kątów zewnętrznych jest równa 360 °.
- Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nie sąsiadujących ze wspomnianym kątem.
Przypisuje się je greckiemu filozofowi i matematykowi Talesowi z Miletu, który rozwinął kilka twierdzeń związanych z geometrią. Pierwsza z nich określa, co następuje:
Jeśli kilka równoległych linii przecina dwie poprzeczne linie, to są w nich określane segmenty proporcjonalne.
Innymi słowy:
a / a '= b / b' = c / c '
Pierwsze twierdzenie Talesa ma zastosowanie do trójkąta, na przykład mamy niebieski trójkąt ABC po lewej stronie, który jest przecięty czerwonymi równoleżnikami po prawej stronie:
Fioletowy trójkąt AB'C 'jest podobny do niebieskiego trójkąta ABC, dlatego zgodnie z twierdzeniem Talesa można zapisać:
AB „/ AC” = AB / AC
I jest to zgodne z tym, co wyjaśniono wcześniej w segmencie podobieństwa trójkątów. Nawiasem mówiąc, równoległe linie mogą być również pionowe lub równoległe do przeciwprostokątnej, a podobne trójkąty uzyskuje się w ten sam sposób.
To twierdzenie również odnosi się do trójkąta i koła o środku O, jak te pokazane poniżej. Na tej figurze AC jest średnicą obwodu, a B jest punktem na nim, przy czym B różni się od A i B..
Drugie twierdzenie Talesa stwierdza, że:
Kąt pomiędzy odcinkami AB i BC wynosi zawsze 90º, dlatego trójkąt ABC jest prosty.
To jedno z najsłynniejszych twierdzeń w historii. Wynika to z greckiego matematyka Pitagorasa z Samos (569 - 475 pne) i można go zastosować do trójkąta prostokątnego. Tak mówi:
Suma kwadratów długości nóg prawego trójkąta jest równa długości kwadratu przeciwprostokątnej.
Jeśli weźmiemy jako przykład niebieski trójkąt na rysunku 8 lub fioletowy trójkąt, ponieważ oba są prostokątami, można stwierdzić, że:
ACdwa = ABdwa + pnedwa (niebieski trójkąt)
AC ”dwa = AB 'dwa + PNE 'dwa (fioletowy trójkąt)
Obszar trójkąta jest określony przez iloczyn jego podstawy do i twój wzrost godz, podzielone przez 2. Za pomocą trygonometrii wysokość tę można zapisać jako h = b sinθ.
Mówi się, że za pomocą swojego pierwszego twierdzenia Talesowi udało się zmierzyć wysokość Wielkiej Piramidy w Egipcie, jednego z 7 cudów starożytnego świata, mierząc cień, który rzucał na ziemię i ten rzucany przez pal wbity w ziemię..
Oto zarys procedury stosowanej przez Tales:
Thales poprawnie założył, że promienie słoneczne padają równolegle. Mając to na uwadze, wyobraził sobie duży trójkąt prostokątny po prawej stronie.
Tam D to wysokość piramidy, a C to odległość nad ziemią mierzona od środka do cienia rzucanego przez piramidę na dnie pustyni. Pomiar C może być pracochłonny, ale z pewnością jest łatwiejszy niż pomiar wysokości piramidy.
Po lewej stronie znajduje się mały trójkąt z nogami A i B, gdzie A to wysokość kołka wbitego pionowo w ziemię, a B to rzucany przez niego cień. Obie długości są mierzalne, podobnie jak C (C jest równe długości cienia + połowa długości piramidy).
A więc przez podobieństwo trójkątów:
A / B = D / C
A wysokość Wielkiej Piramidy okazuje się wynosić: D = C. (A / B)
Kratownice w budownictwie cywilnym to konstrukcje wykonane z krzyżujących się prostych cienkich prętów z drewna lub metalu, które są używane jako podparcie w wielu budynkach. Są również znane jako kraty, kratownice lub kraty (kratownica po angielsku).
W nich trójkąty są zawsze obecne, ponieważ pręty są połączone w punktach zwanych węzłami, które można zamocować lub przegubowo..
Metoda znana jako triangulacja pozwala na uzyskanie lokalizacji niedostępnych punktów, znając inne odległości, które są łatwiejsze do zmierzenia, pod warunkiem, że zostanie utworzony trójkąt zawierający pożądane położenie między jego wierzchołkami..
Na przykład na poniższym rysunku chcemy wiedzieć, gdzie statek jest na morzu, oznaczony jako B.
Najpierw mierzy się odległość między dwoma punktami na wybrzeżu, które na rysunku to A i C. Następnie należy określić kąty α i β za pomocą teodolit, urządzenie służące do pomiaru kątów pionowych i poziomych.
Dzięki tym wszystkim informacjom budowany jest trójkąt, w którego górnym wierzchołku znajduje się statek. Pozostałoby obliczyć kąt γ, korzystając z właściwości trójkątów i odległości AB i CB za pomocą trygonometrii, aby określić położenie statku na morzu.
Na przedstawionym rysunku promienie słoneczne są równoległe. W ten sposób wysokie na 5 metrów drzewo rzuca 6-metrowy cień na ziemię. W tym samym czasie cień budynku wynosi 40 metrów. Zgodnie z pierwszym twierdzeniem Talesa, znajdź wysokość budynku.
Czerwony trójkąt ma boki odpowiednio 5 i 6 metrów, a niebieski ma wysokość H - wysokość budynku - i podstawę 40 metrów. Oba trójkąty są podobne, dlatego:
W / 40 = 5/6 → W = 40. (5/6) m = 33,3 m
Musisz znać odległość poziomą między dwoma punktami DO Y b, ale znajdują się na bardzo nierównym terenie.
O punkcie środkowym (strm) tego terenu wyróżnia się wyniesieniem o wysokości 1,75 metra. Jeśli taśma miernicza wskazuje 26 metrów długości mierzonej od A do występu i 27 metrów od B do tego samego punktu, znajdź odległość AB.
Twierdzenie Pitagorasa jest stosowane do jednego z dwóch trójkątów prostokątnych na rysunku. Zaczynając od tego po lewej:
Przeciwprostokątna = c = 26 metrów
Wysokość = a = 1,75 metra
APm = (26dwa - 1,75dwa)1/2 = 25,94 m
Teraz zastosuj Pitagorasa w trójkącie po prawej stronie, tym razem c = 27 metrów, a = 1,75 metra. Przy tych wartościach:
BPm= (27dwa - 1,75dwa)1/2 = 26,94 m
Odległość AB wyznacza się, dodając następujące wyniki:
AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.
Jeszcze bez komentarzy