Plik wektory niepłaszczyznowe to ci, którzy nie dzielą tej samej płaszczyzny. Dwa wektory swobodne i punkt definiują jedną płaszczyznę. Trzeci wektor może, ale nie musi, dzielić tę płaszczyznę, a jeśli tak nie jest, są wektorami niepłaszczyznowymi.
Wektory inne niż współpłaszczyznowe nie mogą być reprezentowane w dwuwymiarowych przestrzeniach, takich jak tablica lub kartka papieru, ponieważ niektóre z nich są zawarte w trzecim wymiarze. Aby odpowiednio je przedstawić, musisz posłużyć się perspektywą.
Jeśli spojrzymy na rysunek 1, wszystkie pokazane obiekty znajdują się ściśle w płaszczyźnie ekranu, jednak dzięki perspektywie nasz mózg jest w stanie wyobrazić sobie płaszczyznę (P), która z niego wychodzi..
Na tej płaszczyźnie (P) są wektory r, s, lub, podczas gdy wektory v Y w nie są w tym samolocie.
Dlatego wektory r, s, lub są współpłaszczyznowe lub współpłaszczyznowe względem siebie, ponieważ dzielą tę samą płaszczyznę (P). Wektory v Y w nie dzielą płaszczyzny z żadnym z innych pokazanych wektorów, dlatego nie są współpłaszczyznowe.
Indeks artykułów
Płaszczyzna jest jednoznacznie definiowana, jeśli w trójwymiarowej przestrzeni występują trzy punkty.
Załóżmy, że chodzi o te trzy punkty DO, punkt b i o co chodzi do które definiują samolot (P). Z tych punktów można skonstruować dwa wektory AB = u Y AC = v które są konstrukcyjnie współpłaszczyznowe z płaszczyzną (P).
Iloczyn wektorowy (lub iloczyn wektorowy) tych dwóch wektorów daje w wyniku trzeci wektor prostopadły (lub normalny) do nich, a zatem prostopadły do płaszczyzny (P):
n = u X v => n ⊥ lub Y n ⊥ v => n ⊥ (P)
Każdy inny punkt należący do samolotu (P) musi spełniać, że wektor AQ jest prostopadła do wektora n; Jest to równoważne stwierdzeniu, że iloczyn skalarny (lub iloczyn skalarny) n z AQ musi wynosić zero:
n • AQ = 0 (*)
Poprzedni warunek jest równoznaczny z powiedzeniem, że:
AQ • (lub X v) = 0
To równanie zapewnia, że punkt Q należą do samolotu (P).
Powyższe równanie można zapisać w postaci kartezjańskiej. W tym celu piszemy współrzędne punktów DO, Q i składowe wektora normalnego n:
A = (a, b, c)
Q = (x, y, z)
n= (nx, ny, nz)
A więc składniki AQ to:
AQ= (x-a, y-b, z-c)
Warunek dla wektora AQ znajduje się w samolocie (P) to warunek (*), który jest teraz zapisany w ten sposób:
(nx, ny, nz) • (x-a, y-b, z-c) = 0
Obliczenie iloczynu skalarnego pozostaje:
nx (x-a) + ny (y-b) + nz (z-b) = 0
Jeśli zostanie opracowany i uporządkowany, pozostaje:
nx x + ny y + nz z = nx a + ny b + nz c
Poprzednie wyrażenie to kartezjańskie równanie płaszczyzny (P), w funkcji składników wektora normalnego do (P) i współrzędne punktu DO który należy do (P).
Jak widać w poprzedniej sekcji, warunek AQ • (lub X v) = 0 gwarantuje, że wektor AQ jest współpłaszczyznowy do lub Y v.
Jeśli zadzwonimy w do wektora AQ wtedy możemy stwierdzić, że:
w, lub Y v są współpłaszczyznowe, wtedy i tylko wtedy, gdy w • ( lub X v ) = 0.
Jeśli produkt potrójny (lub produkt mieszany) trzech wektorów jest różny od zera, to te trzy wektory nie są współpłaszczyznowe.
tak w • ( lub X v ) ≠ 0, to wektory u, v i w nie są współpłaszczyznowe.
Jeśli wprowadzimy kartezjańskie składowe wektorów u, v i w, warunek braku współpłaszczyznowości można zapisać w następujący sposób:
Iloczyn potrójny ma interpretację geometryczną i przedstawia objętość równoległościanu wygenerowanego przez trzy wektory nierównopłaszczyznowe.
Powód tego jest następujący; Kiedy dwa z wektorów niepłaszczyznowych są pomnożone wektorowo, uzyskuje się wektor, którego wielkość jest polem równoległoboku, który generują.
Następnie, gdy ten wektor zostanie skalarnie pomnożony przez trzeci wektor niepłaszczyznowy, otrzymamy rzut do wektora prostopadłego do płaszczyzny określonej przez pierwsze dwa pomnożone przez obszar, który określają..
Oznacza to, że mamy pole równoległoboku wygenerowane przez pierwsze dwa pomnożone przez wysokość trzeciego wektora.
Jeśli masz trzy wektory i żaden z nich nie może być zapisany jako liniowa kombinacja dwóch pozostałych, to te trzy wektory nie są współpłaszczyznowe. To jest trzy wektory lub, v Y w nie są współpłaszczyznowe, jeśli warunek:
α lub + β v + γ w = 0
Jest spełniony tylko wtedy, gdy α = 0, β = 0 i γ = 0.
Istnieją trzy wektory
lub = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) i w = (-1, 2, z)
Zwróć uwagę, że składnik z wektora w Nie wiadomo.
Znajdź zakres wartości, które z może przyjąć w taki sposób, aby zagwarantować, że trzy wektory nie mają tej samej płaszczyzny.
w • ( lub X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24 z + 18 = 21 z + 18
Ustawiamy to wyrażenie na wartość zero
21 z + 18 = 0
i rozwiązujemy z
z = -18 / 21 = -6/7
Gdyby zmienna z przyjęła wartość -6/7, wówczas trzy wektory byłyby współpłaszczyznowe.
Zatem wartości z, które gwarantują, że wektory nie są współpłaszczyznowe, to te w następującym przedziale:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
Znajdź objętość równoległościanu pokazaną na poniższym rysunku:
Aby znaleźć objętość równoległościanu pokazanego na rysunku, zostaną określone elementy kartezjańskie trzech współbieżnych wektorów niepłaszczyznowych w początku układu współrzędnych. Pierwsza to wektor lub 4m i równolegle do osi X:
lub= (4, 0, 0) m
Drugi to wektor v w płaszczyźnie XY o rozmiarze 3m tworzącej 60º z osią X:
v= (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m
A trzeci wektor w 5m i których rzut w płaszczyźnie XY tworzy 60º z osią X, dodatkowo w tworzy 30º z osią Z.
w= (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
Po wykonaniu obliczeń mamy: w= (1,25, 2,17, 2,5) m.
Jeszcze bez komentarzy