Plik średnia prędkość kątowa Obrót jest definiowany jako kąt obrotu w jednostce czasu wektora położenia punktu opisującego ruch kołowy. Łopatki wentylatora sufitowego (tak jak pokazano na rysunku 1) wykonują ruch kołowy, a ich średnią prędkość kątową obrotu oblicza się, biorąc iloraz kąta obrotu i czasu, w którym ten kąt przebył..
Zasady, którymi kieruje się ruch obrotowy, są nieco podobne do znanych z ruchu postępowego. Pokonywane odległości można również mierzyć w metrach, jednak wielkości kątowe mają szczególne znaczenie, ponieważ znacznie ułatwiają opis ruchu.
Ogólnie rzecz biorąc, litery greckie są używane do oznaczania wielkości kątowych, a litery łacińskie do odpowiadających im wielkości liniowych..
Indeks artykułów
Rysunek 2 przedstawia ruch punktu na torze kołowym c. Położenie P punktu odpowiada chwili t, a położenie kątowe odpowiadające tej chwili wynosi ϕ.
Od chwili t upływa okres czasu Δt. W tym okresie nowe położenie punktu to P ', a położenie kątowe zwiększyło się o kąt Δϕ.
Średnia prędkość kątowa ω to kąt przebyty w jednostce czasu, tak więc iloraz Δϕ / Δt będzie reprezentował średnią prędkość kątową między czasami t i t + Δt:
Ponieważ kąt jest mierzony w radianach, a czas w sekundach, jednostką średniej prędkości kątowej jest rad / s. Jeśli chcesz obliczyć prędkość kątowa w chwili t, będziemy musieli obliczyć iloraz Δϕ / Δt, gdy Δt ➡0.
Ruch obrotowy jest jednostajny, jeśli w jakimkolwiek obserwowanym momencie przebyty kąt jest taki sam w tym samym okresie czasu. Jeśli obrót jest równomierny, to prędkość kątowa w dowolnym momencie pokrywa się ze średnią prędkością kątową.
W jednolitym ruchu obrotowym czas, w którym wykonywany jest jeden pełny obrót, nazywany jest Kropka i jest oznaczony przez T.
Ponadto, po wykonaniu pełnego obrotu, pokonany kąt wynosi 2π, więc w równomiernym obrocie prędkość kątowa ω jest powiązana z okresem T według następującego wzoru:
Definiuje częstotliwość fa równomiernego obrotu jako ilorazu liczby zwojów i czasu ich przejścia, czyli jeśli N zwojów zostanie wykonanych w okresie Δt to częstotliwość będzie wynosić:
f = N / Δt
Ponieważ jeden obrót (N = 1) odbywa się w czasie T (okres), otrzymujemy następującą zależność:
f = 1 / T
Oznacza to, że przy równomiernym obrocie prędkość kątowa jest powiązana z częstotliwością zależnością:
ω = 2π ・ f
Prędkość liniowa v, jest ilorazem przebytej odległości i czasu potrzebnego na jej przebycie. Na rysunku 2 przebyta odległość to długość łuku Δs.
Łuk Δs jest proporcjonalny do pokonanego kąta Δϕ i promienia r, przy spełnieniu następującej zależności:
Δs = r ・ Δϕ
O ile Δϕ jest mierzone w radianach.
Jeśli podzielimy poprzednie wyrażenie przez upływ czasu Δt, otrzymamy:
(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)
Iloraz pierwszego elementu to prędkość liniowa, a iloraz drugiego elementu to średnia prędkość kątowa:
v = r ・ ω
Końcówki łopatek wentylatora sufitowego pokazane na rysunku 1 poruszają się z prędkością 5 m / s, a łopatki mają promień 40 cm.
Na podstawie tych danych obliczyć: i) średnią prędkość kątową koła, ii) liczbę obrotów, które koło wykonuje w ciągu jednej sekundy, iii) okres w sekundach.
i) Prędkość liniowa wynosi v = 5 m / s.
Promień r = 0,40 m.
Z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową rozwiązujemy dla tej ostatniej:
v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 obroty / s
iii) T = 1 / f = 1 / (2 obroty / s) = 0,5 s na każdy obrót.
Zabawkowy wózek porusza się po okrągłym torze o promieniu 2m. W 0s jego położenie kątowe wynosi 0 rad, ale po czasie t jego położenie kątowe jest
φ (t) = 2 ・ t .
Z tymi danymi
i) Obliczyć średnią prędkość kątową w następujących przedziałach czasu [0s, 0,5s]; [0,5 s, 1,0 s]; [1,0 s, 1,5 s] i na koniec w okresie [0,0 s, 1,5 s].
ii) Na podstawie wyników z części i) Co można powiedzieć o ruchu?
iii) Wyznacz średnią prędkość liniową w tym samym okresie z części i)
iv) Znajdź prędkość kątową i prędkość liniową dla dowolnej chwili.
i) Średnia prędkość kątowa jest określona następującym wzorem:
Kontynuujemy obliczanie przebytego kąta i upływu czasu w każdym interwale.
Przedział 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad
Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Przedział 2: Δϕ = ϕ (1,0 s) - ϕ (0,5 s) = 2 (rad / s) * 1,0 s - 2 (rad / s) * 0,5 s = 1,0 rad
Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Przedział 3: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (1,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 1,0 s = 1,0 rad
Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s
ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s
Przedział 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad
Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s
ω = Δϕ / Δt = 3,0 rad / 1,5s = 2,0 rad / s
ii) Wobec wcześniejszych wyników, w których obliczano średnią prędkość kątową w różnych odstępach czasu, uzyskując zawsze ten sam wynik, wydaje się, że jest to ruch jednostajny kołowy. Jednak wyniki te nie są rozstrzygające..
Sposobem na zapewnienie wniosku jest obliczenie średniej prędkości kątowej dla dowolnego przedziału [t, t ']: Δϕ = ϕ (t') - ϕ (t) = 2 * t '- 2 * t = 2 * (t '-t)
Δt = t '- t
ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s
Oznacza to, że zabawkowy wózek ma stałą średnią prędkość kątową 2 rad / s w dowolnym rozpatrywanym okresie. Ale możesz pójść dalej, jeśli obliczysz chwilową prędkość kątową:
Jest to interpretowane jako, że samochodzik przez cały czas ma stałą prędkość kątową = 2 rad / s.
Jeszcze bez komentarzy