ZA pierwotna F (x) funkcji fa(x) jest również nazywany prymitywem lub po prostu całką nieoznaczoną tej funkcji, jeśli znajduje się w danym przedziale ja, To prawda, że F '(x) = f (x)
Na przykład weźmy następującą funkcję:
f (x) = 4x3
Funkcja pierwotna tej funkcji to F (x) = x4, od kiedy wyprowadzając F (x) za pomocą reguły wyprowadzenia dla potęg:
Otrzymujemy dokładnie f (x) = 4x3.
Jednak jest to tylko jedna z wielu funkcji pierwotnych funkcji f (x), ponieważ ta inna funkcja: G (x) = x4 + 2 jest również, ponieważ różniczkując G (x) względem x, to samo otrzymujemy z powrotem f (x).
Sprawdźmy to:
Pamiętaj, że pochodna stałej wynosi 0. Dlatego wyraz x4 możesz dodać dowolną stałą, a jej pochodna pozostanie 4x3.
Wynika z tego, że dowolna funkcja o ogólnej postaci F (x) = x4 + C, gdzie C jest stałą rzeczywistą, służy jako funkcja pierwotna funkcji f (x).
Powyższy przykład ilustrujący można wyrazić w następujący sposób:
dF (x) = 4x3 dx
Całkę pierwotną lub nieoznaczoną wyraża się za pomocą symbolu ∫, a zatem:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + do
Gdzie funkcja f (x) = 4x3 to się nazywa integrująca, a C to stała integracji.
Indeks artykułów
Znalezienie funkcji pierwotnej funkcji jest proste w niektórych przypadkach, gdy pochodne są dobrze znane. Na przykład niech funkcja f (x) = sin x, funkcja pierwotna, ponieważ jest to inna funkcja F (x), taka, że różnicując ją otrzymujemy f (x).
Tą funkcją może być:
F (x) = - cos x
Sprawdźmy, czy to prawda:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Dlatego możemy napisać:
∫sen x dx = -cos x + C
Oprócz znajomości pochodnych istnieją pewne podstawowe i proste zasady całkowania umożliwiające znalezienie całki pierwotnej lub nieoznaczonej.
Niech k będzie więc prawdziwą stałą:
1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C
dwa.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Jeśli funkcję h (x) można wyrazić jako dodawanie lub odejmowanie dwóch funkcji, to jej całka nieoznaczona wynosi:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
To jest właściwość liniowości.
Plik zasada władzy dla całek można to ustawić następująco:
Dla przypadku n = -1 stosuje się następującą regułę:
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
Łatwo jest pokazać, że pochodna ln x jest dokładnie x -1.
Równanie różniczkowe to takie, w którym nieznane znajduje się jako pochodna.
Teraz, z poprzedniej analizy, łatwo jest zdać sobie sprawę, że operacją odwrotną do pochodnej jest całka pierwotna lub nieoznaczona.
Niech f (x) = y '(x), czyli pochodna pewnej funkcji. Aby wskazać tę pochodną, możemy użyć następującego zapisu:
Wynika z tego natychmiast, że:
dy = f (x) dx
Niewiadomą równania różniczkowego jest funkcja y (x), której pochodną jest f (x). Aby go rozwiązać, poprzednie wyrażenie jest całkowane po obu stronach, co jest równoznaczne z zastosowaniem funkcji pierwotnej:
∫dy = ∫f (x) dx
Całkę po lewej rozwiązuje reguła całkowania 1, przy k = 1, rozwiązując w ten sposób żądaną niewiadomą:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C
A ponieważ C jest rzeczywistą stałą, aby wiedzieć, która z nich jest odpowiednia w każdym przypadku, stwierdzenie musi zawierać wystarczające dodatkowe informacje, aby obliczyć wartość C. Nazywa się to stan początkowy.
Przykłady zastosowania tego wszystkiego zobaczymy w następnej sekcji.
Zastosuj reguły całkowania, aby otrzymać następujące funkcje pierwotne lub całki nieoznaczone danych funkcji, maksymalnie upraszczając wyniki. Wynik wygodnie jest zweryfikować poprzez wyprowadzenie.
Najpierw stosujemy zasadę 3, ponieważ całka jest sumą dwóch wyrazów:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Do pierwszej całki obowiązuje zasada władzy:
∫ xdx = (xdwa / 2) + C1
Zasada 1 dotyczy drugiej całki, gdzie k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + Cdwa
A teraz wyniki są dodawane. Dwie stałe są zgrupowane w jedną, ogólnie nazywaną C:
∫ (x + 7) dx = (xdwa / 2) + 7x + C
Dzięki liniowości całka ta jest rozkładana na trzy prostsze całki, do których zostanie zastosowana reguła potęgowa:
∫ (x3/2 + xdwa + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xdwa dx + ∫6 dx =
Zauważ, że stała całkowania pojawia się dla każdej całki, ale spotykają się one w jednym wywołaniu C.
W takim przypadku wygodnie jest zastosować rozdzielczą właściwość mnożenia, aby rozwinąć całkę. Następnie stosuje się regułę potęgi, aby znaleźć każdą całkę osobno, tak jak w poprzednim ćwiczeniu.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xdwa-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xdwa + x - 2) dx
Uważny czytelnik zauważy, że dwa główne terminy są podobne, dlatego przed integracją są one zredukowane:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xdwa dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xdwa - 2x + C
Jednym ze sposobów rozwiązania całki byłoby rozwinięcie mocy, tak jak to zrobiono w przykładzie d. Ponieważ jednak wykładnik jest wyższy, wskazane byłoby zmienić zmienną, aby nie musieć robić tak długiego rozwoju.
Zmiana zmiennej wygląda następująco:
u = x + 7
Wyprowadzając to wyrażenie na obie strony:
du = dx
Całka jest przekształcana na prostszą za pomocą nowej zmiennej, którą rozwiązuje reguła potęgowa:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + do
Na koniec zmiana jest zwracana, aby powrócić do oryginalnej zmiennej:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + do
Cząstka jest początkowo w spoczynku i porusza się wzdłuż osi X. Jego przyspieszenie dla t> 0 jest określone funkcją a (t) = cos t. Wiadomo, że w chwili t = 0 pozycja wynosi x = 3, wszystko w jednostkach systemu międzynarodowego. Jest proszony o znalezienie prędkości v (t) i położenia x (t) cząstki.
Ponieważ przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości względem czasu, mamy następujące równanie różniczkowe:
a (t) = v '(t) = cos t
Wynika, że:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C1
Z drugiej strony wiemy, że prędkość jest z kolei pochodną położenia, dlatego całkujemy ponownie:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C1 t + Cdwa
Stałe całkowania są określane na podstawie informacji podanych w oświadczeniu. Po pierwsze, mówi, że cząstka była początkowo w spoczynku, więc v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C1 = 0
do1 = 0
Wtedy mamy to x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C1 0 + Cdwa = - 1 + Cdwa = 3 → Cdwa = 3 + 1 = 4
Funkcje prędkości i pozycji są zdecydowanie takie:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Jeszcze bez komentarzy