Plik aksjomaty prawdopodobieństwo są to twierdzenia matematyczne odwołujące się do teorii prawdopodobieństwa, które nie zasługują na dowód. Aksjomaty zostały ustalone w 1933 roku przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa (1903-1987) w jego pracy Podstawy teorii prawdopodobieństwa i położył podwaliny pod matematyczne badanie prawdopodobieństwa.
Podczas przeprowadzania pewnego losowego eksperymentu ξ, przestrzeń próbna E jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu, zwanym także wydarzenia. Każde zdarzenie jest oznaczone jako A, a P (A) to prawdopodobieństwo jego wystąpienia. Następnie Kołmogorow ustalił, że:
-Aksjomat 1 (nie negatywność): prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest zawsze dodatnie lub zerowe, P (A) ≥0. Gdy prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0, jest wywoływane niemożliwe wydarzenie.
-Aksjomat 2 (pewność): za każdym razem, gdy jakieś zdarzenie należące do E, jego prawdopodobieństwo wystąpienia wynosi 1, co możemy wyrazić jako P (E) = 1. To jest to, co jest znane jako pewne wydarzenie, ponieważ podczas przeprowadzania eksperymentu z całą pewnością jest wynik.
-Aksjomat 3 (dodatek): w przypadku dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, zwanych A1, DOdwa, DO3…, Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.1 plus Adwa plus A3 i tak dalej, jest to suma prawdopodobieństw, że każde zdarza się osobno.
Wyraża się to jako: P (A.1 U A.dwa U A.3 U…) = P (A.1) + P (Adwa) + P (A.3) + ...
Indeks artykułów
Aksjomaty prawdopodobieństwa są szeroko stosowane w wielu zastosowaniach. Na przykład:
Pinezka lub hals jest wyrzucana w powietrze, a gdy spadnie na podłogę, istnieje możliwość lądowania z punktem do góry (U) lub z punktem do dołu (D) (nie będziemy rozważać innych możliwości). Przestrzeń próbna tego eksperymentu składa się z tych zdarzeń, a następnie E = U, D.
Stosując aksjomaty, mamy:
P (E) = 1 (Aksjomat 2)
Ale P (E) = P (U) + P (D) (Aksjomat 3), ponieważ te wydarzenia są wzajemnie niezgodne lub rozłączne. Pinezka nie spada z końcówką do góry lub do dołu w tym samym czasie, jest to jedna lub druga, ale nie obie, ponieważ inne możliwości nie są brane pod uwagę. Następnie:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 - P (D)
Czy równie prawdopodobne jest wylądowanie przechylone lub skierowane w dół, P (U) = P (D) = ½ (Aksjomat 1). Jednak może się zdarzyć, że konstrukcja i projekt pinezki z większym prawdopodobieństwem upadną w taki czy inny sposób. Na przykład może tak być P (U) = ¾ podczas P (D) = ¼ (Aksjomat 1).
Zauważ, że w obu przypadkach suma prawdopodobieństw daje 1. Jednak aksjomaty nie wskazują, jak przypisać prawdopodobieństwa, przynajmniej nie do końca. Ale potwierdzają, że są to liczby od 0 do 1 i, tak jak w tym przypadku, suma wszystkich wynosi 1.
Aksjomaty prawdopodobieństwa nie są metodą przypisywania wartości prawdopodobieństwa. W tym celu istnieją trzy opcje, które są zgodne z aksjomatami:
Każdemu zdarzeniu przypisuje się takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia, a następnie prawdopodobieństwo wystąpienia określa się jako:
P (A) = liczba przypadków korzystnych dla zdarzenia A / liczba możliwych przypadków
Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z talii kart francuskich? W talii są 52 karty, po 13 w każdym kolorze i 4 kolory. Każdy kolor ma 1 as, więc w sumie są 4 asy:
P (as) = 4/52 = 1/13
Reguła Laplace'a jest ograniczona do skończonych przestrzeni próbek, gdzie każde zdarzenie jest równie prawdopodobne.
Tutaj eksperyment musi być powtarzalny, ponieważ metoda polega na wykonaniu dużej liczby powtórzeń..
Zróbmy powtórzenia eksperymentu ξ, z którego stwierdzimy, że n to liczba przypadków, w których wystąpi określone zdarzenie A, wtedy prawdopodobieństwo, że to zdarzenie wystąpi, wynosi:
P (A) = limja → ∞ (ani)
Gdzie n / i to względna częstotliwość zdarzenia.
Zdefiniowanie P (A) w ten sposób spełnia aksjomaty Kołmogorowa, ale ma tę wadę, że trzeba wykonać wiele testów, aby prawdopodobieństwo było odpowiednie.
Osoba lub grupa osób może zgodzić się na przypisanie prawdopodobieństwa zdarzenia, kierując się własnym osądem. Wadą tej metody jest to, że różne osoby mogą przypisywać różne prawdopodobieństwa temu samemu zdarzeniu..
W eksperymencie polegającym na jednoczesnym rzucaniu 3 uczciwymi monetami uzyskaj prawdopodobieństwa opisanych wydarzeń:
a) 2 głowy i ogon.
b) 1 głowa i dwa ogony
c) 3 krzyże.
d) Co najmniej 1 twarz.
Głowy są oznaczane przez C, a reszki przez X. Ale jest kilka sposobów na uzyskanie dwóch głów i ogona. Na przykład pierwsze dwie monety mogą wylądować orłami, a trzecia może wylądować reszkami. Albo pierwszy może spaść o głowę, drugi ogon, a trzeci orzeł. I wreszcie pierwszym mogą być ogony, a pozostałe głowy.
Aby odpowiedzieć na pytania, trzeba znać wszystkie możliwości, które opisuje narzędzie o nazwie schemat drzewa lub drzewo prawdopodobieństwa:
Prawdopodobieństwo, że jakakolwiek moneta wypadnie orła, wynosi ½, to samo dotyczy reszki, ponieważ moneta jest uczciwa. W prawej kolumnie wymienione są wszystkie możliwości, jakie ma rzut, czyli przestrzeń na próbkę.
Z przestrzeni próbki wybierane są kombinacje odpowiadające żądanemu zdarzeniu, ponieważ kolejność, w jakiej pojawiają się twarze, nie jest ważna. Istnieją trzy sprzyjające wydarzenia: CCX, CXC i XCC. Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia wynosi:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
To samo dzieje się w przypadku zdarzeń CXC i XCC, każde z nich ma prawdopodobieństwo wystąpienia 1/8. Dlatego prawdopodobieństwo zdobycia dokładnie 2 orłów jest sumą prawdopodobieństw wszystkich korzystnych wydarzeń:
P (dwustronne) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia dokładnie dwóch krzyżyków jest problemem analogicznym do poprzedniego, są też trzy korzystne zdarzenia wzięte z przestrzeni próbki: CXX, XCX i XXC. W związku z tym:
P (2 krzyżyki) = 3/8 = 0,375
Intuicyjnie wiemy, że prawdopodobieństwo otrzymania 3 reszek (lub 3 orłów) jest mniejsze. W tym przypadku poszukiwanym zdarzeniem jest XXX na końcu prawej kolumny, którego prawdopodobieństwo wynosi:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Wymagane jest uzyskanie co najmniej 1 twarzy, co oznacza, że mogą wyjść 3 twarze, 2 twarze lub 1 twarz. Jedynym zdarzeniem niezgodnym z tym jest to, w którym wypadają 3 reszki, którego prawdopodobieństwo wynosi 0,125. Dlatego poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi:
P (co najmniej 1 głowa) = 1 - 0,125 = 0,875.
Jeszcze bez komentarzy