Plik środek ciężkości ciała o wymiernych rozmiarach to punkt, w którym uznaje się, że jego waga ma zastosowanie. Dlatego jest to jedna z podstawowych koncepcji statyki.
Pierwsze podejście w zagadnieniach fizyki elementarnej polega na założeniu, że jakikolwiek obiekt zachowuje się jak masa punktowa, to znaczy nie ma wymiarów, a cała masa skupiona jest w jednym punkcie. Dotyczy to pudełka, samochodu, planety lub cząstki subatomowej. Ten model jest znany jako model cząstek.
Jest to oczywiście przybliżenie, które sprawdza się bardzo dobrze w wielu zastosowaniach. Nie jest łatwym zadaniem rozważenie indywidualnego zachowania tysięcy i milionów cząstek, które może zawierać każdy obiekt.
Jednak aby uzyskać wyniki bliższe rzeczywistości, należy wziąć pod uwagę rzeczywiste wymiary rzeczy. Ponieważ przeważnie przebywamy w pobliżu Ziemi, zawsze obecna siła działająca na każde ciało jest właśnie jego ciężarem.
Indeks artykułów
Jeśli należy wziąć pod uwagę wielkość ciała, gdzie konkretnie należy zastosować wagę? Kiedy masz dowolnie ciągły obiekt, jego waga wynosi siła rozproszona między każdą z jego cząstek składowych.
Niech te cząstki będą m1, mdwa, m3… Każdy z nich doświadcza odpowiadającej mu siły grawitacji m1g, mdwag, m3g…, wszystkie są równoległe. Dzieje się tak, ponieważ pole grawitacyjne Ziemi jest uważane za stałe w zdecydowanej większości przypadków, biorąc pod uwagę, że obiekty są małe w porównaniu z rozmiarami planety i znajdują się blisko jej powierzchni..
Z sumy wektorów tych sił wynika ciężar ciała przyłożony do punktu zwanego środkiem ciężkości oznaczonego na rysunku jako CG, który następnie pokrywa się z Centrum masy. Środek masy z kolei jest punktem, w którym całą masę można uznać za skoncentrowaną.
Wynikowa waga ma wielkość Mg gdzie M to całkowita masa obiektu i oczywiście jest skierowana pionowo w kierunku środka Ziemi. Notacja sumująca jest przydatna do wyrażenia całkowitej masy ciała:
Środek ciężkości nie zawsze pokrywa się z punktem materialnym. Na przykład CG pierścienia znajduje się w jego geometrycznym środku, gdzie nie ma samej masy. Mimo to, jeśli chcesz przeanalizować siły działające na obręcz, musisz przyłożyć ciężar do tego precyzyjnego punktu.
W tych przypadkach, w których obiekt ma dowolny kształt, jeśli jest jednorodny, jego środek masy można nadal obliczyć, znajdując centroid lub środek ciężkości figury.
Zasadniczo, jeśli środek ciężkości (CG) i środek masy (cm) pokrywają się, ponieważ pole grawitacyjne jest jednorodne, wówczas można obliczyć cm i zastosować do niego ciężar.
Rozważmy dwa przypadki: pierwszy to taki, w którym rozkład masy jest dyskretny; to znaczy, każda masa składająca się na system może zostać policzona i przypisana do liczby i, tak jak to zrobiono w poprzednim przykładzie.
Współrzędne środka masy dla dyskretnego rozkładu masy są następujące:
Oczywiście suma wszystkich mas jest równa całkowitej masie układu M, jak wskazano powyżej..
Te trzy równania są zredukowane do postaci zwartej, biorąc pod uwagę wektor rcm lub wektor położenia środka masy:
A w przypadku ciągłego rozkładu masy, gdzie cząstki mają różną wielkość i nie można ich rozróżnić w celu ich policzenia, sumę zastępuje się całką utworzoną po objętości zajmowanej przez przedmiotowy obiekt:
Gdzie r jest wektorem położenia masy różniczkowej dm a do wyrażenia różnicy mas zastosowano definicję gęstości masy dm zawarte w różnicy objętości dV:
Oto kilka ważnych uwag dotyczących środka masy:
- Chociaż do ustalenia pozycji wymagany jest układ odniesienia, środek ciężkości nie zależy od wyboru dokonanego układu, ponieważ jest on właściwością obiektu.
- Gdy obiekt ma oś lub płaszczyznę symetrii, środek masy znajduje się na tej osi lub płaszczyźnie. Skorzystanie z tej okoliczności oszczędza czas obliczeń.
- Wszystkie siły zewnętrzne działające na obiekt można przyłożyć do środka masy. Śledzenie ruchu tego punktu daje globalne wyobrażenie o ruchu obiektu i ułatwia pracę nad badaniem jego zachowania..
Załóżmy, że chcesz, aby ciało na poprzednim rysunku znajdowało się w równowadze statycznej, to znaczy nie przesuwa się ani nie obraca się wokół dowolnej osi obrotu, która może być O.
Cienki pręt z jednolitego materiału ma 6 m długości i waży 30 N. Odważnik 50 N jest zawieszony na lewym końcu, a obciążnik 20 N na prawym końcu. Znajdź: a) wielkość siły skierowanej do góry niezbędną do utrzymania równowagi pręta, b) środek ciężkości zbioru.
Wykres siły przedstawiono na poniższym rysunku. Ciężar pręta jest przykładany do środka ciężkości, który pokrywa się z jego geometrycznym środkiem. Jedynym branym pod uwagę wymiarem sztabki jest jej długość, gdyż z oświadczenia wynika, że jest ona cienka.
Aby układ pręt + ciężarki pozostał w równowadze postępowej, suma sił musi wynosić zero. Siły są pionowe, jeśli weźmiemy pod uwagę znak + i dół ze znakiem - to:
F - 50 - 20 - 30 N = 0
F = 100 N.
Siła ta gwarantuje równowagę translacyjną. Biorąc momenty skręcające wszystkich sił względem osi przechodzącej przez lewy koniec układu i stosując definicję:
t = r x F
Momenty wszystkich tych sił wokół wybranego punktu są prostopadłe do płaszczyzny pręta:
tfa = xF = 100x
tW = - (l / 2) mg = -3m. 30 N = -90 N.m
t1 = 0 (ponieważ siła 50 N przechodzi przez wybraną oś obrotu i nie wywiera momentu)
tdwa = -lFdwa = 6 m. 20 N = -120 N.m
W związku z tym:
100 x -90-120 Nm = 0
x = 2,10 m
Środek ciężkości zestawu sztangi + ciężarki znajduje się 2,10 m od lewego końca sztangi.
Jak wskazano, środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy, o ile pole grawitacyjne Ziemi jest stałe dla wszystkich punktów rozpatrywanego obiektu. Pole grawitacyjne Ziemi to nic innego jak dobrze znana i znajoma wartość g = 9,8 m / sdwa skierowane pionowo w dół.
Chociaż wartość g zmienia się w zależności od szerokości i wysokości, zwykle nie mają one wpływu na obiekty, które przeważnie są. Byłoby zupełnie inaczej, gdyby wziąć pod uwagę duże ciało w pobliżu Ziemi, na przykład asteroidę znajdującą się bardzo blisko planety.
Asteroida ma własny środek masy, ale jej środek ciężkości nie musiałby już się z nim pokrywać, ponieważ sol prawdopodobnie ulegnie znacznym zmianom w wielkości, biorąc pod uwagę rozmiar asteroidy i że masy każdej cząstki mogą nie być równoległe.
Inną fundamentalną różnicą jest to, że środek ciężkości znajduje się niezależnie od tego, czy na obiekt działa siła zwana ciężarem. Jest to nieodłączna właściwość obiektu, która ujawnia nam, jak rozkłada się jego masa w stosunku do jego geometrii.
Środek masy istnieje niezależnie od tego, czy jest przyłożony ciężar, czy nie. Znajduje się w tej samej pozycji, nawet jeśli obiekt przenosi się na inną planetę, na której pole grawitacyjne jest inne..
Z drugiej strony, środek ciężkości jest wyraźnie powiązany z zastosowaniem ciężaru, jak widzieliśmy w poprzednich akapitach..
Bardzo łatwo jest ustalić, gdzie znajduje się środek ciężkości nieregularnego przedmiotu, takiego jak kubek. Najpierw jest zawieszony z dowolnego punktu, a stamtąd rysowana jest pionowa linia (na rysunku 5 jest to linia w kolorze fuksji na lewym obrazie).
Następnie jest zawieszany w innym punkcie i rysowany jest nowy pion (turkusowa linia na prawym obrazku). Punkt przecięcia obu linii jest środkiem ciężkości kubka.
Przeanalizujmy stabilność ciężarówki poruszającej się po drogach. Gdy środek ciężkości znajduje się powyżej podstawy ciężarówki, ciężarówka się nie przewróci. Obraz po lewej stronie to najbardziej stabilna pozycja.
Nawet gdy ciężarówka jest przechylona w prawo, będzie mogła powrócić do stabilnej pozycji równowagi, jak na środkowym rysunku, ponieważ pion nadal przechodzi przez podstawę. Jednak gdy ta linia przejdzie na zewnątrz, ciężarówka przewróci się.
Diagram przedstawia siły w punkcie podparcia: normalne na żółto, ciężar na zielono i statyczne tarcie w lewo w kolorze fuksji. Normalna i tarcie są przykładane do osi obrotu, więc nie wywierają momentu obrotowego. Dlatego nie przyczynią się do przewrócenia ciężarówki.
Pozostaje ciężar, który wywiera moment obrotowy, na szczęście w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i który ma tendencję do przywracania ciężarówki do pozycji równowagi. Zwróć uwagę, że pionowa linia przechodzi przez powierzchnię nośną, którą jest opona.
Gdy wózek znajduje się w skrajnie prawym położeniu, moment obrotowy ciężarka zmienia się na zgodny z ruchem wskazówek zegara. Nie można przeciwdziałać po raz kolejny, ciężarówka przewróci się.
Jeszcze bez komentarzy