Plik Prostokątne współrzędne lub kartezjańskie to te, które uzyskuje się przez prostopadłe rzutowanie na trzy osie kartezjańskie X, Y, Z punktu znajdującego się w przestrzeni trójwymiarowej.
Osie kartezjańskie to wzajemnie zorientowane linie prostopadłe do siebie. W układzie współrzędnych kartezjańskich każdemu punktowi w przestrzeni przypisane są trzy liczby rzeczywiste, które są jego prostokątnymi współrzędnymi.
Płaszczyzna to podprzestrzeń trójwymiarowej przestrzeni. W przypadku rozważania punktów na płaszczyźnie wystarczy jako układ kartezjański wybrać parę prostopadłych osi X, Y. Następnie każdemu punktowi płaszczyzny przypisywane są dwie liczby rzeczywiste, które są jego prostokątnymi współrzędnymi.
Indeks artykułów
Współrzędne prostokątne zostały pierwotnie zaproponowane przez francuskiego matematyka René Descartes (1596 i 1650), dlatego nazywa się je kartezjańskimi.
Zgodnie z tą ideą Kartezjusza punktom płaszczyzny i przestrzeni przypisuje się liczby, tak że figurom geometrycznym jest skojarzone równanie algebraiczne, a klasyczne twierdzenia geometryczne można udowodnić algebraicznie. Dzięki współrzędnym kartezjańskim rodzi się geometria analityczna.
Jeśli w płaszczyźnie wybrano dwie prostopadłe proste, które przecinają się w punkcie O; a jeśli dodatkowo każdej linii przypisany jest kierunek i skala numeryczna między kolejnymi równo odległymi punktami, to istnieje układ kartezjański lub płaszczyzna, w której każdy punkt płaszczyzny jest powiązany z uporządkowaną parą dwóch liczb rzeczywistych, które są ich rzutami odpowiednio na osi X i Y..
Punkty A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) i D = (3, -3) są przedstawione na płaszczyźnie kartezjańskiej, jak pokazano poniżej:
Zauważ, że dwie osie X i Y dzielą płaszczyznę na cztery sektory zwane kwadrantami. Punkt A znajduje się w pierwszej ćwiartce, B jest w drugiej ćwiartce, C jest w trzeciej ćwiartce, a punkt D znajduje się w czwartej ćwiartce..
Odległość między dwoma punktami A i B na płaszczyźnie kartezjańskiej to długość odcinka, który je łączy. Odległość tę można obliczyć analitycznie w następujący sposób:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
Powyższy wzór otrzymujemy stosując twierdzenie Pitagorasa.
Stosując ten wzór do punktów A, B na rysunku 2 otrzymujemy:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Oznacza to, że d (A, B) = 5,10 jednostek. Zauważ, że odległość została uzyskana bez konieczności mierzenia linijką, zastosowano całkowicie algebraiczną procedurę.
Współrzędne prostokątne umożliwiają analityczną reprezentację podstawowych obiektów geometrycznych, takich jak punkt i linia. Dwa punkty A i B definiują jedną linię. Nachylenie linii definiuje się jako iloraz różnicy współrzędnych Y punktu B minus A, podzielonej przez różnicę współrzędnych X punktu B minus A:
nachylenie = (By - Ay) / (Bx - Axe)
Każdy punkt P o współrzędnych (x, y) należący do linii (AB) musi mieć takie samo nachylenie:
nachylenie = (y - Ay) / (x - Ax)
Równanie otrzymane za pomocą równości nachyleń jest analitycznym lub algebraicznym odwzorowaniem linii przechodzącej przez punkty A i B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Axe).
Jeśli weźmiemy dla A i B prostokątne współrzędne z rysunku 2, otrzymamy:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
W tym konkretnym przypadku mamy prostą o ujemnym nachyleniu -⅕, co oznacza, że lokalizując punkt na prostej i zwiększając współrzędną x o jedną jednostkę, współrzędna y zmniejsza się o 0,2 jednostki.
Najczęstszym sposobem zapisania równania prostej na płaszczyźnie jest wyczyszczenie współrzędnej y jako funkcji zmiennej x:
y = - (1/5) x + 13/5
Wyznacz metodami analitycznymi odległość między punktami C i A, będąca prostokątnymi współrzędnymi C = (-2, -3) i A = (3,2).
Wzór na odległość euklidesową między tymi dwoma punktami jest zapisany w następujący sposób:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Zastępując ich odpowiednie współrzędne prostokątne otrzymujemy:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Uzyskaj równanie prostej przechodzącej przez punkt C o współrzędnych (-2, -3) i punkt P o współrzędnych (2, 0).
Najpierw uzyskuje się nachylenie linii CP:
nachylenie = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Każdy punkt Q o ogólnych współrzędnych prostokątnych (x, y) należący do linii CP musi mieć to samo nachylenie:
nachylenie = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Innymi słowy, równanie linii CP to:
(y +3) / (x +2) = ¾
Alternatywnym sposobem zapisania równania prostej CP jest rozwiązanie dla y:
y = ¾ x - 3/2
Uzyskaj prostokątne współrzędne punktu przecięcia się linii y = - (1/5) x + 13/5 i linii y = ¾ x - 3/2.
Rozwiązanie: z definicji punkt przecięcia dwóch linii ma te same współrzędne prostokątne. Dlatego współrzędne y w punkcie przecięcia są identyczne dla obu linii:
-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
co prowadzi do następującego wyrażenia:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
rozwiązując sumę ułamków, które otrzymujemy:
19/20 x = 41/10
Rozwiązywanie dla x:
x = 82/19 = 4,32
Aby otrzymać punkt przecięcia z osią y, uzyskaną wartość x podstawiamy w dowolnym z wierszy:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Oznacza to, że podane proste przecinają się w punkcie I o współrzędnych I = (4,32; 1,74).
Uzyskaj równanie obwodu, który przechodzi przez punkt R o współrzędnych prostokątnych (3, 4) i którego środek znajduje się na początku współrzędnych.
Rozwiązanie: Promień R to odległość od punktu R do początku O współrzędnych (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Oznacza to, że jest to okrąg o promieniu 5 o środku w punkcie (0,0).
Każdy punkt P (x, y) na obwodzie musi mieć taką samą odległość 5 od środka (0, 0), aby można było zapisać:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Mianowicie:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Aby wyeliminować pierwiastek kwadratowy, oba elementy równości są podniesione do kwadratu, uzyskując:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Jakie jest równanie obwodu.
Ten przykład ilustruje potęgę prostokątnego układu współrzędnych, który umożliwia wyznaczanie obiektów geometrycznych, takich jak obwód, bez konieczności używania papieru, ołówka i kompasu. Żądany obwód został określony wyłącznie metodami algebraicznymi.
Jeszcze bez komentarzy