Plik kolejne pochodne są pochodnymi funkcji po drugiej pochodnej. Proces obliczania kolejnych pochodnych jest następujący: mamy funkcję f, którą możemy wyprowadzić i otrzymać w ten sposób pochodną funkcję f '. Możemy ponownie wyprowadzić tę pochodną funkcji f, uzyskując (f ')'.
Ta nowa funkcja nazywana jest drugą pochodną; wszystkie pochodne obliczane od drugiej są następujące po sobie; Te, nazywane również wyższego rzędu, mają świetne zastosowania, takie jak podawanie informacji o wykresie funkcji, test drugiej pochodnej dla ekstremów względnych i wyznaczanie nieskończonych szeregów.
Indeks artykułów
Używając notacji Leibniza, otrzymujemy, że pochodną funkcji „y” względem „x” jest dy / dx. Aby wyrazić drugą pochodną „y” za pomocą notacji Leibniza, piszemy następująco:
Generalnie możemy wyrazić kolejne pochodne w następujący sposób za pomocą notacji Leibniza, gdzie n reprezentuje rząd pochodnej.
Inne używane oznaczenia są następujące:
Oto kilka przykładów, w których możemy zobaczyć różne notacje:
Uzyskaj wszystkie pochodne funkcji f zdefiniowane przez:
Używając zwykłych technik wyprowadzania, otrzymujemy, że pochodna f to:
Powtarzając ten proces, możemy otrzymać drugą pochodną, trzecią pochodną i tak dalej.
Zauważ, że czwarta pochodna to zero, a pochodna zera to zero, więc mamy:
Oblicz czwartą pochodną następującej funkcji:
Wyprowadzając daną funkcję otrzymujemy w wyniku:
Jedną z motywacji, która doprowadziła do odkrycia pochodnej, było poszukiwanie definicji prędkości chwilowej. Formalna definicja jest następująca:
Niech y = f (t) będzie funkcją, której wykres opisuje trajektorię cząstki w danej chwili t, wtedy jego prędkość w chwili t jest wyrażona wzorem:
Po uzyskaniu prędkości cząstki możemy obliczyć chwilowe przyspieszenie, które definiuje się następująco:
Chwilowe przyspieszenie cząstki, której droga jest określona wzorem y = f (t), wynosi:
Cząstka porusza się po linii zgodnie z funkcją pozycji:
Gdzie „y” jest mierzone w metrach, a „t” w sekundach.
- W jakim momencie jest jego prędkość 0?
- W którym momencie jest jego przyspieszenie 0?
Wyprowadzając funkcję położenia "y" otrzymujemy, że jej prędkość i przyspieszenie są określone przez:
Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, wystarczy określić, kiedy funkcja v osiąga zero; to jest:
W analogiczny sposób przechodzimy do następującego pytania:
Cząstka porusza się po prostej zgodnie z następującym równaniem ruchu:
Określ „t, y” i „v”, gdy a = 0.
Wiedząc, że prędkość i przyspieszenie są podane przez
Przystępujemy do wyprowadzenia i uzyskania:
Dokonując a = 0, mamy:
Skąd możemy wywnioskować, że wartość t, aby a jest równe zero, wynosi t = 1.
Następnie, oceniając funkcję położenia i funkcję prędkości przy t = 1, otrzymujemy:
Kolejne pochodne można również uzyskać przez niejawne wyprowadzenie.
Biorąc pod uwagę następującą elipsę, znajdź „y”:
Wyprowadzając niejawnie względem x, mamy:
Następnie niejawne ponowne wyprowadzenie w odniesieniu do x daje nam:
Wreszcie mamy:
Innym zastosowaniem, jakie możemy zastosować dla pochodnych drugiego rzędu, jest obliczenie względnych ekstremów funkcji.
Kryterium pierwszej pochodnej dla ekstremów lokalnych mówi nam, że jeśli mamy funkcję ciągłą f w przedziale (a, b) i istnieje c, które należy do tego przedziału, takie, że f 'znika w c (to znaczy, że c jest punktem krytycznym), może wystąpić jeden z trzech przypadków:
- Jeśli f '(x)> 0 dla dowolnego x należącego do (a, c) if' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
- Jeśli f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 dla x należącego do (c, b), to f (c) jest lokalnym minimum.
- Jeśli f '(x) ma ten sam znak w (a, c) i w (c, b), oznacza to, że f (c) nie jest lokalnym ekstremum.
Korzystając z kryterium drugiej pochodnej, możemy wiedzieć, czy liczba krytyczna funkcji jest lokalnym maksimum, czy minimum, bez konieczności sprawdzania, jaki jest znak funkcji w wyżej wymienionych przedziałach..
Drugie kryterium dryfu mówi nam, że jeśli f '(c) = 0 i że f "(x) jest ciągłe w (a, b), zdarza się, że jeśli f" (c)> 0, to f (c) jest lokalną minimum i jeśli f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.
Jeśli f "(c) = 0, nie możemy niczego wywnioskować.
Biorąc pod uwagę funkcję f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4xdwa, znajdź względne maksima i minima f, stosując kryterium drugiej pochodnej.
Najpierw obliczamy f '(x) if "(x) i otrzymujemy:
f '(x) = 4x3 + 4xdwa - 8x
f "(x) = 12xdwa + 8x - 8
Teraz f '(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a to ma miejsce, gdy x = 0, x = 1 lub x = - 2.
Aby określić, czy otrzymane wartości krytyczne są ekstremami względnymi, wystarczy ocenić na f ”i obserwować w ten sposób jego znak.
f "(0) = - 8, więc f (0) jest lokalnym maksimum.
f "(1) = 12, więc f (1) jest lokalnym minimum.
f "(- 2) = 24, więc f (- 2) jest lokalnym minimum.
Niech f będzie funkcją zdefiniowaną następująco:
Ta funkcja ma promień zbieżności R> 0 i ma pochodne wszystkich rzędów w (-R, R). Kolejne pochodne funkcji f dają nam:
Przyjmując x = 0, możemy otrzymać wartości cn na bazie jego pochodnych, jak następuje:
Jeśli przyjmiemy n = 0 jako funkcję f (czyli f ^ 0 = f), to możemy przepisać funkcję w następujący sposób:
Rozważmy teraz funkcję jako szereg potęg przy x = a:
Gdybyśmy przeprowadzili analizę analogiczną do poprzedniej, otrzymalibyśmy funkcję f jako:
Te serie są znane jako szereg Taylora od f do a. Gdy a = 0, mamy szczególny przypadek zwany szeregiem Maclaurina. Ten typ szeregów ma duże znaczenie matematyczne zwłaszcza w analizie numerycznej, ponieważ dzięki nim możemy definiować funkcje w komputerach, takie jak ex , sin (x) i cos (x).
Pobierz serię Maclaurin dla ex.
Zauważ, że jeśli f (x) = ex, następnie f(n)(x) = ex i f(n)(0) = 1, więc twoja seria Maclaurina to:
Jeszcze bez komentarzy