Plik różnica kostek jest dwumianowym wyrażeniem algebraicznym postaci a3 - b3, gdzie terminy a i b mogą być liczbami rzeczywistymi lub wyrażeniami algebraicznymi różnego typu. Przykładem różnicy kostek jest: 8 - x3, ponieważ 8 można zapisać jako 23.
Geometrycznie możemy wyobrazić sobie duży sześcian o boku a, od którego odejmuje się mały sześcian o boku b, jak pokazano na rysunku 1:
Objętość wynikowej liczby jest dokładnie różnicą kostek:
V = a3 - b3
Aby znaleźć alternatywne wyrażenie, zaobserwowano, że figurę tę można rozłożyć na trzy graniastosłupy, jak pokazano poniżej:
Pryzmat ma objętość określoną przez iloczyn trzech wymiarów: szerokość x wysokość x głębokość. W ten sposób uzyskana objętość to:
V = a3 - b3 = adwa.b + b3 + a.bdwa
Czynnik b jest wspólne po prawej stronie. Ponadto na powyższym rysunku jest szczególnie prawdziwe, że:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Dlatego można powiedzieć, że: b = a - b. A zatem:
do3 - b3 = b (adwa + bdwa +a.b) = (a-b) (adwa + a.b + bdwa)
Ten sposób wyrażenia różnicy kostek okaże się bardzo przydatny w wielu zastosowaniach i zostałby uzyskany w ten sam sposób, nawet gdyby bok brakującej kostki w rogu był inny niż b = a / 2.
Zwróć uwagę, że drugi nawiaswygląda bardzo podobnie do niezwykłego iloczynu kwadratu sumy, ale wyraz krzyżowy nie jest mnożony przez 2. Czytelnik może rozwinąć właściwą stronę, aby sprawdzić, czy faktycznie została uzyskana do3 - b3.
Indeks artykułów
Istnieje kilka różnic w kostkach:
1 - m6
do6b3 - 8z12Y6
(1/125) .x6 - 27 i9
Przeanalizujmy każdy z nich. W pierwszym przykładzie 1 można zapisać jako 1 = 13 a termin m6 pozostaje: (mdwa)3. Oba terminy są idealnymi sześcianami, dlatego ich różnica polega na
1 - m6 = 13 - (mdwa)3
W drugim przykładzie terminy zostały przepisane:
do6b3 = (adwab)3
8z12Y6 = 23 (z4)3 (Ydwa)3 = (2z4Ydwa)3
Różnica między tymi sześcianami jest następująca: (adwab)3 - (2z4Ydwa)3.
Wreszcie ułamek (1/125) to (1/53), x6 = (xdwa)3, 27 = 33 i i9 = (i3)3. Zastępując to wszystko w oryginalnym wyrażeniu, otrzymujesz:
(1/125) .x6 - 27y9 = [(1/5) (xdwa)]3 - (3 l3)3
Rozkładanie na czynniki różnicy kostek upraszcza wiele operacji algebraicznych. Aby to zrobić, wystarczy skorzystać ze wzoru wydedukowanego powyżej:
Teraz procedura stosowania tej formuły składa się z trzech kroków:
- Najpierw uzyskuje się pierwiastek sześcienny każdego z warunków różnicy.
- Następnie konstruuje się dwumian i trójmian, które pojawiają się po prawej stronie wzoru.
- Na koniec podstawiamy dwumian i trójmian, aby uzyskać ostateczną faktoryzację.
Zilustrujmy użycie tych kroków na każdym z przykładów różnicy kostek zaproponowanych powyżej, a tym samym uzyskajmy jego odpowiednik na czynniki.
Uwzględnij wyrażenie 1 - m6 postępując zgodnie z przedstawionymi krokami. Zaczynamy od przepisania wyrażenia na 1 - m6 = 13 - (mdwa)3 aby wyodrębnić odpowiednie pierwiastki sześcienne każdego terminu:
Następnie konstruujemy dwumian i trójmian:
a = 1
b = mdwa
Następnie:
a - b = 1 - mdwa
(dodwa +a.b + bdwa) = 1dwa + 1.mdwa + (mdwa)dwa = 1 + mdwa + m4
Ostatecznie jest podstawiany we wzorze a3 - b3 = (a-b) (adwa +a.b + bdwa):
1 - m6 = (1 - mdwa) (1 + mdwa + m4)
Rozkładać na czynniki:
do6b3 -8z12Y6 = (adwab)3 - (2z4Ydwa)3
Ponieważ są to idealne kostki, korzenie kostki są natychmiastowe: adwab i 2z4Ydwa, stąd wynika, że:
- Dwumianowy: adwab - 2z4Ydwa
- Trójmian: (adwab)dwa + dodwab. 2z4Ydwa + (dodwab + 2z4Ydwa)dwa
A teraz konstruuje się pożądaną faktoryzację:
do6b3 -8z12Y6 = (adwab - 2z4Ydwa). [(dodwab)dwa + dodwab. 2z4Ydwa + (dodwab + 2z4Ydwa)dwa] =
= (adwab - 2z4Ydwa). [do4bdwa + 2nddwab.z4Ydwa + (dodwab + 2z4Ydwa)dwa]
W zasadzie faktoring jest gotowy, ale często konieczne jest uproszczenie każdego terminu. Następnie opracowujemy niezwykły iloczyn - kwadrat sumy - który pojawia się na końcu, a następnie dodajemy podobne terminy. Pamiętając, że kwadrat sumy to:
(x + y)dwa = xdwa + 2xy + idwa
Godny uwagi produkt po prawej stronie jest rozwijany w następujący sposób:
(dodwab + 2z4Ydwa)dwa = a4bdwa + 4dwab.z4Ydwa + 4z8Y4
Podstawiając ekspansję uzyskaną w rozkładzie różnicy kostek:
do6b3 -8z12Y6 = (adwab - 2z4Ydwa). [do4bdwa + 2nddwab.z4Ydwa + do4bdwa + 4dwab.z4Ydwa + 4z8Y4] =
Wreszcie, grupując podobne terminy i rozkładając współczynniki liczbowe, które są parzyste, otrzymujemy:
(dodwab - 2z4Ydwa). [2a4bdwa + 6thdwab.z4Ydwa + 4z8Y4] = 2 (adwab - 2z4Ydwa). [do4bdwa + 3dwab.z4Ydwa + 2z8Y4]
Współczynnik (1/125). X6 - 27y9 jest to znacznie prostsze niż w poprzednim przypadku. Najpierw identyfikuje się odpowiedniki a i b:
a = (1/5) xdwa
b = 3 lata3
Następnie są bezpośrednio podstawiane we wzorze:
(1/125) .x6 - 27y9 = [(1/5) xdwa - 3 lata3]. [(1/25) x4 + (3/5) xdwaY3 + 9 lat6]
Różnica kostek ma, jak powiedzieliśmy, wiele zastosowań w algebrze. Zobaczmy kilka:
Rozwiąż następujące równania:
a) x5 - 125 xdwa = 0
b) 64 - 729 x3 = 0
Najpierw równanie jest rozkładane w następujący sposób:
xdwa (x3 - 125) = 0
Ponieważ 125 to idealna kostka, nawiasy są zapisywane jako różnica kostek:
xdwa . (x3 - 53) = 0
Pierwszym rozwiązaniem jest x = 0, ale znajdziemy więcej, jeśli zrobimy x3 - 53 = 0, a następnie:
x3 = 53 → x = 5
Lewa strona równania została przepisana jako 64 - 729 x3 = 43 - (9x)3. W związku z tym:
43 - (9x)3 = 0
Ponieważ wykładnik jest taki sam:
9x = 4 → x = 9/4
Uwzględnij wyrażenie:
(x + y)3 - (x - y)3
Wyrażenie to jest różnicą kostek, jeśli we wzorze na faktoring zauważymy, że:
a = x + y
b = x- y
Następnie najpierw konstruowany jest dwumian:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
A teraz trójmian:
dodwa + a.b + bdwa = (x + y)dwa + (x + y) (x-y) + (x-y)dwa
Opracowywane są godne uwagi produkty:
(x + y)dwa = xdwa + 2xy + idwa
(x + y) (x-y) = xdwa- Ydwa
(x- y)dwa = xdwa - 2xy + idwa
Następnie musisz zastąpić i zredukować podobne terminy:
dodwa + a.b + bdwa = xdwa + 2xy + idwa+ xdwa- Ydwa+ xdwa - 2xy + idwa = 3xdwa + Ydwa
Faktoring skutkuje:
(x + y)3 - (x - y)3 = 2 lata. (3xdwa + Ydwa)
Jeszcze bez komentarzy