Plik Odległość euklidesowa jest liczbą dodatnią, która wskazuje na separację między dwoma punktami w przestrzeni, w której spełnione są aksjomaty i twierdzenia geometrii Euklidesa.
Odległość między dwoma punktami A i B w przestrzeni euklidesowej to długość wektora AB należący do jedynej linii, która przechodzi przez te punkty.
Przestrzeń, którą postrzegamy i w której poruszamy się my, ludzie, jest przestrzenią trójwymiarową (3-D), w której spełnione są aksjomaty i twierdzenia geometrii Euklidesa. Przestrzeń ta zawiera podprzestrzenie dwuwymiarowe (płaszczyzny) i podprzestrzenie jednowymiarowe (linie)..
Przestrzenie euklidesowe mogą być jednowymiarowe (1-D), dwuwymiarowe (2-D), trójwymiarowe (3-D) lub n-wymiarowe (n-D).
Punkty w jednowymiarowej przestrzeni X to te, które należą do zorientowanej linii (OX), kierunek od O do X jest kierunkiem dodatnim. Aby zlokalizować punkty na tej linii, stosuje się układ kartezjański, który polega na przypisaniu każdemu punktowi prostej liczby.
Indeks artykułów
Odległość euklidesowa d (A, B) między punktami A i B, położonymi na linii, jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z różnicy ich współrzędnych X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Ta definicja gwarantuje, że: odległość między dwoma punktami jest zawsze wartością dodatnią. I że odległość między A i B jest równa odległości między B i A.
Rysunek 1 przedstawia jednowymiarową przestrzeń euklidesową utworzoną przez linię (OX) i kilka punktów na tej linii. Każdy punkt ma współrzędne:
Punkt A ma współrzędną XA = 2,5, współrzędną punktu B XB = 4 i współrzędną punktu C XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Dwuwymiarowa przestrzeń euklidesowa to płaszczyzna. Punkty płaszczyzny euklidesowej spełniają aksjomaty geometrii Euklidesa, na przykład:
- Pojedyncza linia przechodzi przez dwa punkty.
- Trzy punkty na płaszczyźnie tworzą trójkąt, którego wewnętrzne kąty zawsze sumują się do 180º.
- W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów jej nóg.
W dwóch wymiarach punkt ma współrzędne X i Y..
Na przykład punkt P ma współrzędne (XP, YP) i punkt Q (XQ, YQ).
Odległość euklidesową między punktami P i Q określa się za pomocą następującego wzoru:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Należy zauważyć, że ten wzór jest równoważny z twierdzeniem Pitagorasa, jak pokazano na rysunku 2.
Nie wszystkie dwuwymiarowe przestrzenie są zgodne z geometrią euklidesową. Powierzchnia kuli jest przestrzenią dwuwymiarową.
Kąty trójkąta na powierzchni kulistej nie sumują się do 180º, a zatem twierdzenie Pitagorasa nie jest spełnione, dlatego powierzchnia sferyczna nie spełnia aksjomatów Euklidesa.
Pojęcie współrzędnych można rozszerzyć na większe wymiary:
- W punkcie 2-D P ma współrzędne (XP, YP)
- W 3-D punkt Q ma współrzędne (XQ, YQ, ZQ)
- W punkcie 4-D R będzie miał współrzędne (XR, YR, ZR, WR)
- W n-D punkt P będzie miał współrzędne (P1, P2, P3,…, Pn)
Odległość między dwoma punktami P i Q w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej oblicza się według następującego wzoru:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 +… + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokus wszystkich punktów Q w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej w równej odległości od innego stałego punktu P (centrum) tworzy n-wymiarową hipersferę.
Poniżej przedstawiono sposób obliczania odległości między dwoma punktami znajdującymi się w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Załóżmy, że punkt A o współrzędnych kartezjańskich x, y, z podanych przez A :( 2, 3, 1) i punkt B o współrzędnych B :( -3, 2, 2).
Chcemy wyznaczyć odległość między tymi punktami, dla której wykorzystuje się ogólną zależność:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
Istnieją dwa punkty P i Q. Punkt P o współrzędnych kartezjańskich x, y, z określony przez P :( 2, 3, 1) i punkt Q o współrzędnych Q :( -3, 2, 1).
Jest proszony o znalezienie współrzędnych punktu środkowego M odcinka [PQ], który łączy te dwa punkty.
Rozwiązanie:
Zakłada się, że nieznany punkt M ma współrzędne (X, Y, Z).
Ponieważ M jest punktem środkowym [PQ], musi być prawdą, że d (P, M) = d (Q, M), więc d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 również musi być prawdą :
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Ponieważ w tym przypadku trzeci człon jest równy w obu członach, poprzednie wyrażenie upraszcza się do:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Następnie mamy równanie z dwiema niewiadomymi X i Y. Do rozwiązania problemu potrzebne jest inne równanie.
Punkt M należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q, którą możemy obliczyć w następujący sposób:
Pierwszy to wektor reżyserski PQ prostej: PQ = < -3-2, 2-3, 1-1> = < -5, -1, 0 >.
Później PO POŁUDNIU = OP + do PQ, gdzie OP jest wektorem położenia punktu P i do to parametr należący do liczb rzeczywistych.
Powyższe równanie nazywane jest równaniem wektorowym prostej, która we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje postać:
< X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + do < -5, -1, 0> = < 2 - 5a, 3 - a, 0>
Porównując odpowiednie komponenty, które mamy:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
To znaczy X = 4 - 5a, Y = 6 - a, ostatecznie Z = 1.
Jest podstawiany w wyrażeniu kwadratowym, które odnosi X do Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Jest to uproszczone:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Teraz się rozwija:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Jest uproszczony, anulując podobne warunki w obu członkach:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametr a jest wyczyszczony:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, w wyniku czego a = 1.
To znaczy X = 4 - 5, Y = 6 - 1, ostatecznie Z = 1.
Na koniec otrzymujemy współrzędne kartezjańskie punktu środkowego M odcinka [PQ]:
M: (-1, 5, 1).
Jeszcze bez komentarzy