Zmienna losowa ma rozszerzenie ciągła, równomierna dystrybucja jeśli prawdopodobieństwo, że przybierze wartość w skończonym przedziale [a, b], jest takie samo dla każdego podprzedziału o równej długości.
Ten rozkład jest analogiczny do dyskretnego rozkładu jednorodnego, który przypisuje takie samo prawdopodobieństwo każdemu wynikowi eksperymentu losowego, ale w tym przypadku brana pod uwagę zmienna jest ciągła. Na przykład eksperyment polegający na losowym wybraniu liczby rzeczywistej między wartościami a i b przebiega zgodnie z rozkładem równomiernym. Oto jego wykres:
W notacji matematycznej ciągły rozkład jednorodny ma funkcję gęstości zdefiniowaną jako funkcję odcinkową lub odcinkową, którą można zapisać jako:
Wykres tej funkcji, znany jako krzywa lub funkcja gęstości, jest prostokątem, dlatego ciągły, równomierny rozkład jest również znany jako układ prostokątny y jest najprostszym z ciągłych rozkładów.
Obszar pod wykresem rozkładu prawdopodobieństwa jest równy 1 i zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Jednolity rozkład spełnia te kryteria. Nie jest konieczne całkowanie bezpośrednio, aby sprawdzić, czy powierzchnia wynosi 1, ponieważ pole zacieniowanego prostokąta na rysunku 1 można obliczyć za pomocą wzoru:
Powierzchnia = podstawa x wysokość = (b - a) x [1 / (b - a)] = 1
Znajomość obszaru pod krzywą gęstości jest bardzo ważna, ponieważ istnieje zależność między powierzchnią a prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, który dla tego rozkładu jest określony w następnej sekcji.
Ciągły, równomierny rozkład charakteryzuje się:
Niech X będzie ciągłą zmienną losową należącą do przedziału [a, b], a następnie:
Funkcja rozkładu oblicza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość x spośród możliwych wartości przedziału [a, b]. W przypadku dystrybucji ciągłej oblicza się ją zazwyczaj w następujący sposób:
W przypadku ciągłego rozkładu równomiernego, wspomniane prawdopodobieństwo F (x) jest równe powierzchni prostokąta o podstawie (x-a) i wysokości (b-a):
Matematycznie, jeśli F (x) = Pr (X = x), w częściach, zgodnie z poprzednim wynikiem, ustala się następującą funkcję:
W ten sposób weryfikowane jest to, co zostało powiedziane wcześniej: prawdopodobieństwo zależy tylko od wartości (x-a), a nie od jego położenia w przedziale [a, b]. Wykres funkcji rozkładu to:
Po wykonaniu wielu eksperymentów z ciągłą zmienną losową, uzyskuje się jej średnią wartość wartość oczekiwana, jest oznaczony jako E (X) i jest obliczany przez następującą całkę:
V (X) = E (Xdwa) - E (X)dwa
W związku z tym:
D (X) = √ V (X)
Można łatwo zweryfikować, że mediana, która jest centralną wartością rozkładu jednorodnego, jest równa średniej, a ponieważ nie ma wartości, która powtarza się więcej niż inne, ponieważ wszystkie są jednakowo prawdopodobne w przedziale [a, b] moda nie istnieje.
Jeśli chodzi o symetrię, rozkład równomierny jest symetryczny, a kurtoza, czyli stopień skupienia wartości wokół środka, wynosi -6/5.
Różne sytuacje można modelować za pomocą ciągłej dystrybucji, a tym samym można przewidzieć ich zachowanie. Oto kilka przykładów:
Firma świadcząca usługi elektryczne zapewnia równomiernie rozłożone poziomy napięć od 123,0 V do 125,0 V. Oznacza to, że w gniazdku domowym można uzyskać dowolną wartość napięcia z tego zakresu..
Tak więc, jak widać powyżej, wykres funkcji gęstości jest prostokątem w kolorze czerwonym:
Obliczenie prawdopodobieństwa wystąpienia napięcia w danym przedziale jest bardzo proste, np. Jakie jest prawdopodobieństwo, że firma wyśle napięcie mniejsze niż 123,5 V?
To prawdopodobieństwo jest równe powierzchni prostokąta zacieniowanego na niebiesko:
P (X<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
A jakie jest prawdopodobieństwo, że dostarczone napięcie jest większe niż 124,0 V.?
Ponieważ całkowita powierzchnia jest równa 1, poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi:
P (X> 124,0 V) = 1 - (1 × 0,5) = 0,5
Ma to sens, ponieważ 124,0 to dokładnie wartość w środku przedziału.
Pewna zmienna losowa X ma rozkład równomierny w przedziale [0,100]. Zdecydować:
a) Prawdopodobieństwo, że wartość X jest mniejsza niż 22.
b) Prawdopodobieństwo, że X przyjmuje wartości od 20 do 35.
c) Oczekiwana wartość, wariancja i odchylenie standardowe tego rozkładu.
Wyznacza się go podobnie jak w poprzednim przykładzie, ale najpierw musimy określić wysokość prostokąta pamiętając, że całkowita powierzchnia musi być równa 1:
Powierzchnia = 100 × wysokość = 1
Dlatego prostokąt ma wysokość równą 1/100 = 0,01
P (X<22) = 22×0.01 = 0.22
Żądane prawdopodobieństwo jest równe powierzchni prostokąta o szerokości (35 - 20) i wysokości 0,01:
P (22 Jeśli wolisz przejść bezpośrednio do funkcji rozkładu podanej powyżej, wystarczy podstawić wartości w: P (20≤X≤35) = F (35) -F (20) Z F (x) podanym przez: F (x) = (x-a) / (b-a) Wartości do wprowadzenia to: a = 0 b = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0,35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0,20 P (20≤X≤35) = 0,35-0,20 = 0,15 Oczekiwana wartość to: E (X) = (a + b) / 2 = (100 + 0) / 2 = 50 Wariancja to: V (X) = (b-a)dwa/ 12 = (100-0)dwa/ 12 = 833,33 Odchylenie standardowe to: D (X) = √833,33 = 28,87 Ten rozkład jest przydatny podczas przeprowadzania procesów symulacji statystycznych lub podczas pracy nad zdarzeniami, których częstotliwość występowania jest regularna.. Niektóre języki programowania generują liczby losowe od 0 do 1 i jak widać z poprzednich przykładów, rozkład prawdopodobieństwa jest jednolity. W tym przypadku przedział do rozważenia to [0,1]. Jeśli masz eksperyment, w którym zdarzenia mają regularność, jak wyjaśniono wcześniej, możesz w zasadzie przypisać każdemu takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia. W tym przypadku probabilistyczny model rozkładu jednorodnego dostarcza informacji do analizy.. Rozkład równomierny stosuje się również do zaokrągleń różnic między wartościami obserwowanymi a wartościami rzeczywistymi zmiennej, przy założeniu równomiernego rozkładu błędu w danym przedziale, zgodnie z zaokrągleniami, zwykle od -0,5 do +0,5.Odpowiedź c
Aplikacje
Generowanie liczb losowych
Pobieranie próbek z dowolnych rozkładów
Zaokrąglanie błędów
Bibliografia
Jeszcze bez komentarzy