Plik dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa są funkcją, która przypisuje każdemu elementowi X (S) = x1, x2,…, xi,…, gdzie X jest daną dyskretną zmienną losową, a S jest jej przestrzenią próbną, prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia. Ta funkcja f z X (S) zdefiniowana jako f (xi) = P (X = xi) jest czasami nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa.
Ta masa prawdopodobieństw jest generalnie reprezentowana w formie tabeli. Ponieważ X jest dyskretną zmienną losową, X (S) ma skończoną liczbę zdarzeń lub policzalną nieskończoność. Wśród najczęstszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa mamy rozkład równomierny, rozkład dwumianowy i rozkład Poissona.
Indeks artykułów
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa musi spełniać następujące warunki:
Ponadto, jeśli X przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości (na przykład x1, x2,…, xn), to p (xi) = 0, jeśli i> ny, zatem nieskończony ciąg warunku b staje się serią skończoną.
Ta funkcja spełnia również następujące właściwości:
Niech B będzie zdarzeniem związanym ze zmienną losową X. Oznacza to, że B jest zawarte w X (S). W szczególności załóżmy, że B = xi1, xi2,…. W związku z tym:
Innymi słowy: prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych wyników związanych z B.
Z tego możemy wywnioskować, że jeśli a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:
Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład charakteryzujący się jednorodnością w n punktach, jeśli każdej wartości przypisano to samo prawdopodobieństwo. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:
Załóżmy, że mamy eksperyment, który ma dwa możliwe wyniki, może to być rzut monetą, której możliwymi rezultatami są orły lub reszki, lub wybór liczby całkowitej, której wynikiem może być liczba parzysta lub nieparzysta; ten rodzaj eksperymentu jest znany jako testy Bernoulliego.
Ogólnie rzecz biorąc, dwa możliwe wyniki nazywane są sukcesem i porażką, gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu, a 1-p to prawdopodobieństwo niepowodzenia. Możemy określić prawdopodobieństwo x sukcesów w n testach Bernoulliego, które są od siebie niezależne, z następującym rozkładem.
Jest to funkcja reprezentująca prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych testach Bernoulliego, których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:
Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu dwumianowego.
Poniższa dystrybucja zawdzięcza swoją nazwę francuskiemu matematykowi Simeonowi Poissona (1781-1840), który uzyskał ją jako granicę rozkładu dwumianowego.
Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona parametru λ, kiedy może przyjmować dodatnie wartości całkowite 0,1,2,3, ... z następującym prawdopodobieństwem:
W tym wyrażeniu λ jest średnią liczbą odpowiadającą wystąpieniom zdarzenia w każdej jednostce czasu, a x oznacza liczbę wystąpień zdarzenia.
Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:
Następnie wykres przedstawiający funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu Poissona.
Zauważ, że o ile liczba sukcesów jest niska, a liczba testów przeprowadzonych na rozkładzie dwumianowym jest duża, zawsze możemy przybliżyć te rozkłady, ponieważ rozkład Poissona jest granicą rozkładu dwumianowego.
Główna różnica między tymi dwoma rozkładami polega na tym, że podczas gdy dwumian zależy od dwóch parametrów - mianowicie n i p-, Poissona zależy tylko od λ, co jest czasami nazywane intensywnością rozkładu..
Jak dotąd mówiliśmy tylko o rozkładach prawdopodobieństwa dla przypadków, w których różne eksperymenty są od siebie niezależne; to znaczy, gdy na wynik jednego nie ma wpływu inny wynik.
W przypadku posiadania eksperymentów, które nie są niezależne, bardzo przydatny jest rozkład hipergeometryczny.
Niech N będzie całkowitą liczbą obiektów zbioru skończonego, z których możemy w jakiś sposób zidentyfikować k z nich, tworząc w ten sposób podzbiór K, którego dopełnienie tworzą pozostałe elementy N-k.
Jeśli losowo wybierzemy n obiektów, zmienna losowa X, która reprezentuje liczbę obiektów należących do K w tym wyborze, ma hipergeometryczny rozkład parametrów N, n i k. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:
Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu hipergeometrycznego.
Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że lampa radiowa (umieszczona w określonym typie sprzętu) będzie działać dłużej niż 500 godzin, wynosi 0,2. Jeśli testowanych jest 20 probówek, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich będzie działać dłużej niż 500 godzin, k = 0, 1,2,…, 20?
Jeśli X to liczba lamp, które pracują dłużej niż 500 godzin, przyjmiemy, że X ma rozkład dwumianowy. Następnie
A więc:
Dla k≥11 prawdopodobieństwa są mniejsze niż 0,001
W ten sposób możemy zaobserwować, jak rośnie prawdopodobieństwo, że k z nich będzie działać przez ponad 500 godzin, aż osiągnie swoją maksymalną wartość (przy k = 4), a następnie zacznie spadać..
Moneta jest rzucana 6 razy. Gdy wynik będzie drogi, powiemy, że to sukces. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie padną dwie głowy?
W tym przypadku mamy n = 6, a prawdopodobieństwo sukcesu i porażki wynosi p = q = 1/2
Dlatego prawdopodobieństwo, że dane są dwie głowy (czyli k = 2), wynosi
Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej czterech głów?
W tym przypadku mamy k = 4, 5 lub 6
Załóżmy, że 2% artykułów wyprodukowanych w fabryce jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo P, że w próbie 100 pozycji znajdują się trzy wadliwe pozycje.
W tym przypadku możemy zastosować rozkład dwumianowy dla n = 100 ip = 0,02 otrzymując jako wynik:
Jednak ponieważ p jest małe, używamy przybliżenia Poissona z λ = np = 2. A) Tak,
Jeszcze bez komentarzy