ZA eneagon jest wielokątem o dziewięciu bokach i dziewięciu wierzchołkach, które mogą być regularne lub nie. Nazwa eneágono pochodzi z języka greckiego i składa się z greckich słów ennea (dziewięć i gonon (kąt).
Alternatywną nazwą dziewięciobocznego wielokąta jest nonagon, słowo pochodzące z łaciny nonus (dziewięć i gonon (wierzchołek). Z drugiej strony, jeśli boki lub kąty enegonu są do siebie nierówne, to mamy nieregularny enegon. Z drugiej strony, jeśli dziewięć boków i dziewięć kątów enegonu jest równych, to jest to a regularne enegon.
Indeks artykułów
Dla wielokąta o n bokach suma jego kątów wewnętrznych wynosi:
(n - 2) * 180º
W enegonie byłoby to n = 9, więc suma jego wewnętrznych kątów wynosi:
Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º
W każdym wielokącie liczba przekątnych wynosi:
D = n (n - 3) / 2 iw przypadku enegonu, ponieważ n = 9, mamy wtedy D = 27.
W regularnym eneagonie lub nieagonie jest dziewięć (9) wewnętrznych kątów o jednakowej mierze, dlatego każdy kąt stanowi jedną dziewiątą całkowitej sumy kątów wewnętrznych.
Miara kątów wewnętrznych enegona wynosi wtedy 1260º / 9 = 140º.
Aby wyprowadzić wzór na obszar regularnego enegonu z bokiem re wygodnie jest wykonać konstrukcje pomocnicze, takie jak te pokazane na rysunku 2.
Centrum jest zlokalizowane LUB śledzenie dwusiecznych dwóch sąsiednich boków. Centrum LUB w równej odległości od wierzchołków.
Promień długości r to odcinek, który biegnie od środka LUB do wierzchołka enegonu. Promienie pokazano na rysunku 2. OD Y OE długości r.
Apothem to odcinek, który biegnie od środka do środka jednej strony enegonu. Na przykład Dz jest apotem, którego długość wynosi do.
Rozważamy trójkąt ODA rysunku 2. Pole tego trójkąta jest iloczynem jego podstawy Z na wysokość Dz podzielone przez 2:
Powierzchnia ODA = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2
Ponieważ w enegonie jest 9 trójkątów o równej powierzchni, można wyciągnąć wniosek, że pole tego samego wynosi:
Obszar Eneagon = (9/2) (d * a)
Jeśli znana jest tylko długość d boków enegonu, to konieczne jest znalezienie długości apotemu, aby móc zastosować wzór z poprzedniej sekcji.
Rozważamy trójkąt OKO prostokąt w jot (patrz rysunek 2). Jeśli zastosujemy styczny współczynnik trygonometryczny, otrzymamy:
więc(∡OEJ) = Dz / Dawny.
Kąt ∡OEJ = 140º / 2 = 70º EO dwusieczna wewnętrznego kąta enegonu.
Z drugiej strony, Dz jest apotem długości do.
Następnie jako jot jest środkiem ED wynika, że EJ = d / 2.
Podstawiając poprzednie wartości w relacji stycznej otrzymujemy:
tan (70º) = a / (d / 2).
Teraz wyczyścimy długość apotemu:
a = (d / 2) opalenizna (70º).
Poprzedni wynik jest podstawiany we wzorze powierzchni, aby otrzymać:
Obszar Eneagon = (9/2) (d * a) = (9/2)( d * (d / 2) opalenizna (70º))
Na koniec znajdujemy wzór, który pozwala na uzyskanie pola powierzchni regularnego enegonu, jeśli znana jest tylko długość re z boków:
Obszar Eneagon = (9/4) ddwa tan (70º) = 6,1818 ddwa
Obwód wielokąta to suma jego boków. W przypadku enegonu, ponieważ każdy z boków mierzy długość re, jego obwód będzie sumą dziewięciu razy re, mianowicie:
Obwód = 9 d
Biorąc pod uwagę trójkąt OKO prostokąt w jot (patrz rysunek 2), stosuje się współczynnik cosinusa trygonometrycznego:
cos (∡OEJ) = Dawny / OE = (d / 2) / r
Skąd pochodzi:
d = 2r cos (70º)
Podstawiając ten wynik otrzymujemy wzór na obwód jako funkcję promienia enegonu:
Obwód = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r
1- Aby zbudować regularny enagon z linijką i kompasem, zacznij od obwodu do która ogranicza enegon. (patrz rysunek 3)
2- Dwie prostopadłe linie są poprowadzone przez środek O obwodu. Następnie zaznaczone są przecięcia A i B jednej z linii obwodem.
3- Za pomocą kompasu, ze środkiem na przecięciu B i otworem równym promieniu BO, rysowany jest łuk przecinający pierwotny obwód w punkcie C.
4- Poprzedni krok jest powtarzany, ale tworząc środek w punkcie A i promień AO, rysowany jest łuk przecinający obwód cw punkcie E.
5- Z otwarciem AC i środkiem w A rysowany jest łuk obwodu. Podobnie z otwarciem BE i środkiem B rysowany jest kolejny łuk. Przecięcie tych dwóch łuków jest oznaczone jako punkt G.
6- Wyśrodkowanie w G i otwarcie GA, narysowany jest łuk, który przecina oś drugorzędną (w tym przypadku poziomą) w punkcie H. Przecięcie osi drugorzędnej z pierwotnym obwodem c jest oznaczone jako I.
7- Długość odcinka IH jest równa długości d boku enegonu.
8- Przy otwarciu kompasu IH = d, łuki środka A promienia AJ, środka J promienia AK, środka K promienia KL i środka L promienia LP są rysowane kolejno.
9- Podobnie, zaczynając od A i od prawej strony, narysowane są łuki o promieniu IH = d, które wyznaczają punkty M, N, C i Q na pierwotnym obwodzie c.
10- Na koniec narysowane są segmenty AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ i wreszcie PB.
Należy zauważyć, że metoda budowy nie jest do końca dokładna, ponieważ można zweryfikować, że ostatnia strona PB jest o 0,7% dłuższa niż pozostałe strony. Do chwili obecnej nie jest znana metoda konstrukcji z linijką i kompasem, które byłyby w 100% dokładne..
Oto kilka praktycznych przykładów.
Chcesz zbudować zwykły enegon, którego boki mierzą 2 cm. Jaki promień musi mieć obwód, który go otacza, aby przy zastosowaniu opisanej wcześniej konstrukcji uzyskano pożądany efekt?
Rozwiązanie:
W poprzedniej sekcji wydedukowano wzór, który wiąże promień r opisanego okręgu z bokiem d regularnego enegonu:
d = 2r cos (70º)
Rozwiązując r z poprzedniego wyrażenia otrzymujemy:
r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d
Zastępując wartość d = 2 cm w poprzednim wzorze, otrzymujemy promień r 2,92 cm.
Jaka jest powierzchnia zwykłego enegonu o boku 2 cm?
Rozwiązanie:
Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy odwołać się do przedstawionego wcześniej wzoru, który pozwala obliczyć pole znanego enegonu na podstawie długości d jego boku:
Obszar Eneagon = (9/4) ddwa tan (70º) = 6,1818 ddwa
Zastępując d za jego wartość 2 cm w poprzednim wzorze, otrzymujemy:
Obszar Eneagon = 24,72 cm
Jeszcze bez komentarzy