Wzór prawa Biota-Savarta, demonstracja, zastosowania, ćwiczenia

4139
Abraham McLaughlin

Plik Prawo Biota-Savarta ustala zależność między polem magnetycznym d w punkcie P, wytworzonym przez cienki drut przewodzący prąd I, którego długość różnicowa wynosi ds. To prawo służy do znajdowania pola magnetycznego rozkładu prądu za pomocą Zasada superpozycji

Oznacza to, że aby obliczyć całkowite pole magnetyczne w punkcie P, musimy dodać wszystkie składowe każdej części różniczkowej ds drutu przyczynia się. Suma ta jest obliczana przez całkę wykonaną w całym rozkładzie prądu.

Rysunek 1. Odcinek drutu przenosi prąd i, który wytwarza pole magnetyczne w punkcie P w pewnej odległości od drutu, co jest obliczane zgodnie z prawem Biota-Savarta. Źródło: Bauer, W. Physics for Engineering and Sciences.

W ten sposób można obliczyć pole wytwarzane przez druty pod napięciem o różnych geometriach..

Prawo Biota-Savarta zostało nazwane na cześć dwóch francuskich fizyków, którzy odkryli je w 1820 roku: Jean Marie Biot (1774-1862) i Felix Savart (1791-1841). Aby to osiągnąć, musieli zbadać intensywność i kształt pola magnetycznego wytwarzanego przez liczne rozkłady prądu..

Indeks artykułów

  • 1 Formuła
    • 1.1 Iloczyn wektorowy i reguła prawej ręki
  • 2 Dowód prawa Biota-Savarta
    • 2.1 Obserwacje Biot i Savart
  • 3 Zastosowania prawa Biota-Savarta
    • 3.1 Prosty i cienki drut
  • 4 Ćwiczenie rozwiązane
    • 4.1 Rozwiązanie
  • 5 Referencje

Formuła

Matematyczne wyrażenie prawa Biota-Savarta jest następujące:

Zachowuje analogie ze swoim odpowiednikiem do obliczania pola elektrycznego: prawem Coulomba, tyle że pole magnetyczne db w P jest prostopadły do samolotu, w którym jest drut. Widzimy to na rysunku 1.

Powyższe wyrażenie można również zapisać w następujący sposób:

W obu wyrażeniach, r jest wektorem pozycji, skierowanym z bieżącego elementu Ids do punktu, w którym chcesz obliczyć pole.

Ze swojej strony, r z daszkiem to wektor jednostkowy, który jest skierowany w tym samym kierunku i w tym samym kierunku, ale z modułem równym 1. Wektor r przedstawia się następująco:

Oprócz wspomnianych wektorów wzór zawiera stałą μlub, połączenie przepuszczalność próżni i którego wartość to:

μlub = 4π x10-7 T.m / A.

Chcąc obliczyć wektor pola magnetycznego, konieczne jest całkowanie po całym rozkładzie prądu, do którego potrzebujemy danych o jego geometrii:

Iloczyn poprzeczny i reguła prawej ręki

Prawo Biota-Savarta obejmuje iloczyn wektorowy między wektorami Ids Y r. Wynik iloczynu wektorowego między dwoma wektorami jest również wektorem.

W tym przypadku moduł identyfikatora produktu wektorowegos x r jest: (Ids) ⋅r⋅senθ, gdzie θ jest kątem między Ids Y r, jak pokazano na rysunku 1.

W ten sposób wielkość pola db jest dany przez:

Kierunek i kierunek można określić za pomocą reguły prawej ręki, pokazanej na tym rysunku:

Rysunek 2. Reguła prawej ręki dla prawa Biota-Savarta. Źródło: Wikimedia Commons.

Zachęcamy czytelnika do ułożenia prawej ręki zgodnie z wektorami na rysunkach 1 i 2. W przypadku rysunku 1 palec wskazujący powinien wskazywać w lewo, po Idlub Idl, środkowy palec wskazuje zgodnie z wektorem r jednolity.

Wreszcie kciuk skierowany jest do góry i to jest kierunek pola magnetycznego.

Demonstracja prawa Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta ma charakter wybitnie eksperymentalny, co oznacza, że ​​jego sformułowanie pochodzi z wielu obserwacji zachowania pola magnetycznego wytwarzanego przez przewody prądowe..

Obserwacje Biota i Savarta

Takie były obserwacje francuskich naukowców na temat pola magnetycznego db:

-Wielkość db jest odwrotnie proporcjonalna do rdwa.

-Jest również wprost proporcjonalna do wielkości obecnego pierwiastka, który nazywa się Ids a także do grzechu θ, gdzie θ jest kątem między wektorami ds Y r.

-reb jest prostopadła do obu Ids -kierunek prądu - jak do r.

-Kierunek db jest styczna do obwodu promienia r wyśrodkowany na drucie. Innymi słowy, pole B utworzone przez bieżący segment składa się z okręgów współśrodkowych do drutu.

-Sposób, w jaki się kręci b wynika z reguły prawego kciuka: prawy kciuk jest skierowany w kierunku prądu, a pozostałe cztery palce są owijane wokół drutu, zgodnie z krążeniem pola.

Wszystkie te obserwacje są połączone w matematycznym wyrażeniu prawa opisanego wcześniej.

Zastosowania prawa Biot-Savart

Gdy rozkład prądu ma wysoką symetrię, całkę można łatwo rozwiązać, zobaczmy kilka przypadków:

Prosty i cienki drut

Prostoliniowy drut o długości L przenosi prąd I, jak pokazano na rysunku.

Przedstawia geometrię niezbędną do obliczenia pola. Jest to prostopadłe do kartki papieru, wystające z płaszczyzny, jeśli prąd płynie od lewej do prawej, i wchodzące inaczej (sprawdź z regułą prawej ręki).

Rysunek 3. - Po lewej geometria niezbędna do obliczenia pola magnetycznego, które wytwarza odcinek cienkiego drutu w punkcie P. Po prawej kąty określające położenie P względem końców segmentu. Źródło: Serway, R. Physics for Science and Engineering.

Być k  wektor jednostkowy w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, po przeprowadzeniu całkowania, pole magnetyczne wytwarzane przez drut w punkcie P wynosi:

Okrągła pętla promienia do przewodzi prąd, jak pokazano na rysunku, i wytwarza pole magnetyczne db -w kolorze ciemnozielonym - w punkcie P na osi osiowej, w pewnej odległości x od centrum.

Rysunek 4. - Geometria do obliczania pola wytwarzanego przez pętlę kołową w punkcie P na osi osiowej. Źródło: Wikimedia Commons.

Inny obecny element, znajdujący się po przeciwnej stronie, dawałby kolejny udział w polu db (jasnozielony), tak że jego pionowa składowa anuluje się wraz z pierwszą.

W rezultacie pole magnetyczne netto jest poziome, więc integruje się tylko z tymi komponentami, co powoduje:

Ćwiczenie rozwiązane

Masz bardzo długi przewód, który przepływa prąd 2A, jak pokazano na rysunku. Obliczyć wielkość pola magnetycznego w odległości promieniowej 5 cm od drutu.

Rysunek 5.- Linie pola magnetycznego prostoliniowego odcinka drutu, który przewodzi prąd. Źródło: Wikimedia Commons.

Rozwiązanie

Ponieważ jest to bardzo długi drut, możemy przyjąć wyrażenie na odcinek prostoliniowy i wykonać θ1= 0º i θdwa = 180º dla kątów granicznych. To wystarczy, aby długość drutu dążyła do nieskończoności..

W ten sposób otrzymamy pole to:

Teraz podstawiamy wartości instrukcji:

I = 2 A

r = 5 x10-dwa m

μlub= 4π x10-7 T.m / A

Bibliografia

  1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill.
  2. Figueroa, D. 2005. Seria: Fizyka dla nauk ścisłych i inżynierii. Tom 6. Elektromagnetyzm. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
  3. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6th. Ed prentice hall.
  4. Resnick, R. 1999. Fizyka. Vol. 1. 3. wydanie w języku hiszpańskim. Compañía Editorial Continental S.A. przez C.V.
  5. Sears, Zemansky. 2016. Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14. Ed. Tom 1.
  6. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 2. 7th. Ed. Cengage Learning.

Jeszcze bez komentarzy