Plik Macierz odwrotna danej macierzy to macierz, która pomnożona przez oryginał daje w wyniku macierz tożsamości. Macierz odwrotna jest przydatna do rozwiązywania układów równań liniowych, stąd tak ważna jest umiejętność jej obliczania.
Macierze są bardzo przydatne w fizyce, inżynierii i matematyce, ponieważ są kompaktowym narzędziem do rozwiązywania złożonych problemów. Użyteczność macierzy zwiększa się, gdy są one odwracalne i znana jest również ich odwrotność.
W dziedzinach przetwarzania graficznego, Big Data, Data Mining, Machine Learning i innych, wydajne i szybkie algorytmy są wykorzystywane do oceny macierzy odwrotnej macierzy nxn z bardzo dużym n, rzędu tysięcy lub milionów.
Aby zilustrować użycie macierzy odwrotnej w obsłudze układu równań liniowych, zaczniemy od najprostszego ze wszystkich: macierze 1 × 1.
Najprostszy przypadek: rozważane jest równanie liniowe jednej zmiennej: 2 x = 10.
Chodzi o to, aby znaleźć wartość x, ale zostanie to zrobione „macierzowo”.
Macierz M = (2), która mnoży wektor (x), to macierz 1 × 1, w wyniku której otrzymujemy wektor (10):
M (x) = (10)
Odwrotność macierzy M jest oznaczona przez M-1.
Ogólny sposób zapisania tego „układu liniowego” jest następujący:
M X = B, gdzie X to wektor (x), a B to wektor (10).
Z definicji macierz odwrotna to taka, która pomnożona przez pierwotną macierz daje macierz tożsamości I:
M-1 M = ja
W rozpatrywanym przypadku macierz M-1 jest macierzą (½), czyli M-1 = (½) od M-1 M = (½) (2) = (1) = I
Aby znaleźć nieznany wektor X = (x), w proponowanym równaniu oba elementy są mnożone przez macierz odwrotną:
M-1 M (x) = M-1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
Osiągnięto równość dwóch wektorów, które są równe tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe, to znaczy x = 5.
Motywacją do obliczenia macierzy odwrotnej jest znalezienie uniwersalnej metody rozwiązania układów liniowych, takich jak następujący układ 2 × 2:
x - 2 y = 3
-x + y = -2
Postępując zgodnie z krokami przypadku 1 × 1, zbadanego w poprzedniej sekcji, zapisujemy układ równań w postaci macierzowej:
Zauważ, że ten system jest zapisany w zwartej notacji wektorowej w następujący sposób:
M X = B
gdzie
Następnym krokiem jest znalezienie odwrotności M.
Zastosowana zostanie metoda eliminacji Gaussa. Polegająca na wykonywaniu elementarnych operacji na wierszach macierzy, są to:
- Pomnóż wiersz przez liczbę niezerową.
- Dodaj lub odejmij od jednego wiersza inny wiersz lub wielokrotność innego wiersza.
- Zamień rzędy.
Celem tych operacji jest przekształcenie oryginalnej macierzy w macierz tożsamości.
Gdy to jest zrobione, w macierzy M dokładnie te same operacje są stosowane do macierzy tożsamości. Gdy po kilku operacjach na wierszach M zostanie przekształcona w macierz unitarną, to ta, która była pierwotnie jednostką, zostanie przekształcona w macierz odwrotną M, czyli M-1.
1- Proces zaczynamy od napisania macierzy M, a obok niej macierzy jednostkowej:
2- Dodajemy dwa wiersze i wynik umieszczamy w drugim wierszu, w ten sposób otrzymujemy zero w pierwszym elemencie drugiego rzędu:
3- Mnożymy drugi wiersz przez -1, aby uzyskać 0 i 1 w drugim rzędzie:
4- Pierwszy wiersz jest mnożony przez ½:
5- Drugi i pierwszy są dodawane, a wynik jest umieszczany w pierwszym rzędzie:
6- Aby zakończyć proces, pomnóż pierwszy wiersz przez 2, aby otrzymać macierz identyczności w pierwszym wierszu i macierz odwrotną oryginalnej macierzy M w drugim:
Mianowicie:
Po uzyskaniu macierzy odwrotnej przystępujemy do rozwiązania układu równań, stosując macierz odwrotną do obu elementów zwartego równania wektorowego:
M-1M X = M-1b
X = M-1b
Który wyraźnie wygląda następująco:
Następnie przeprowadza się mnożenie macierzy w celu uzyskania wektora X:
W tej drugiej metodzie odwrotna macierz jest obliczana, zaczynając od sąsiedniej macierzy oryginalnej macierzy DO.
Załóżmy, że macierz A jest dana przez:
gdziei, j jest elementem wiersza ja i kolumna jot macierzy DO.
Sprzęgło macierzy DO będzie nazywany Adj (A) a jego elementami są:
ogłoszeniei, j = (-1)(i + j) ¦Ai, j¦
gdzie Ai, j jest komplementarną mniejszą macierzą otrzymaną przez wyeliminowanie wiersza i i kolumny j z oryginalnej macierzy DO. Słupki ¦ ¦ wskazują, że wyznacznik jest obliczany, to znaczy ¦Ai, j¦ jest wyznacznikiem komplementarnej macierzy mniejszej.
Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej, zaczynając od sąsiedniej macierzy oryginalnej macierzy, jest następujący:
To znaczy odwrotna macierz DO, DO-1, jest transpozycją sprzężenia DO podzielone przez wyznacznik DO.
Transpozycja DOTmacierzy DO jest tym otrzymanym przez zamianę wierszy na kolumny, to znaczy, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, a drugi wiersz staje się drugą kolumną i tak dalej, aż n wierszy oryginalnej macierzy zostanie ukończonych.
Niech macierz A będzie następująca:
Każdy element macierzy sprzężonej A jest obliczany: Adj (A)
W rezultacie macierz sprzężona A, Adj (A) jest następująca:
Następnie oblicza się wyznacznik macierzy A, det (A):
Ostatecznie otrzymujemy odwrotną macierz A:
Jeszcze bez komentarzy