Obliczanie macierzy odwrotnej i rozwiązywanie zadań

1562
Robert Johnston

Plik Macierz odwrotna danej macierzy to macierz, która pomnożona przez oryginał daje w wyniku macierz tożsamości. Macierz odwrotna jest przydatna do rozwiązywania układów równań liniowych, stąd tak ważna jest umiejętność jej obliczania.

Macierze są bardzo przydatne w fizyce, inżynierii i matematyce, ponieważ są kompaktowym narzędziem do rozwiązywania złożonych problemów. Użyteczność macierzy zwiększa się, gdy są one odwracalne i znana jest również ich odwrotność.

Rysunek 1. Przedstawiono ogólną macierz 2 × 2 i jej macierz odwrotną. (Przygotowane przez Ricardo Péreza)

W dziedzinach przetwarzania graficznego, Big Data, Data Mining, Machine Learning i innych, wydajne i szybkie algorytmy są wykorzystywane do oceny macierzy odwrotnej macierzy nxn z bardzo dużym n, rzędu tysięcy lub milionów.

Aby zilustrować użycie macierzy odwrotnej w obsłudze układu równań liniowych, zaczniemy od najprostszego ze wszystkich: macierze 1 × 1.

Najprostszy przypadek: rozważane jest równanie liniowe jednej zmiennej: 2 x = 10.

Chodzi o to, aby znaleźć wartość x, ale zostanie to zrobione „macierzowo”. 

Macierz M = (2), która mnoży wektor (x), to macierz 1 × 1, w wyniku której otrzymujemy wektor (10):

M (x) = (10)

Odwrotność macierzy M jest oznaczona przez M-1.

Ogólny sposób zapisania tego „układu liniowego” jest następujący:

M X = B, gdzie X to wektor (x), a B to wektor (10).

Z definicji macierz odwrotna to taka, która pomnożona przez pierwotną macierz daje macierz tożsamości I:

M-1 M = ja

W rozpatrywanym przypadku macierz M-1 jest macierzą (½), czyli M-1 = (½) od M-1 M = (½) (2) = (1) = I

Aby znaleźć nieznany wektor X = (x), w proponowanym równaniu oba elementy są mnożone przez macierz odwrotną:

M-1 M (x) = M-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Osiągnięto równość dwóch wektorów, które są równe tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe, to znaczy x = 5.

Obliczanie odwrotności macierzy

Motywacją do obliczenia macierzy odwrotnej jest znalezienie uniwersalnej metody rozwiązania układów liniowych, takich jak następujący układ 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Postępując zgodnie z krokami przypadku 1 × 1, zbadanego w poprzedniej sekcji, zapisujemy układ równań w postaci macierzowej:

Rysunek 2. Układ liniowy w postaci macierzowej.

Zauważ, że ten system jest zapisany w zwartej notacji wektorowej w następujący sposób:

M X = B

gdzie

Następnym krokiem jest znalezienie odwrotności M.

Metoda 1: Stosowanie eliminacji Gaussa

Zastosowana zostanie metoda eliminacji Gaussa. Polegająca na wykonywaniu elementarnych operacji na wierszach macierzy, są to:

- Pomnóż wiersz przez liczbę niezerową.

- Dodaj lub odejmij od jednego wiersza inny wiersz lub wielokrotność innego wiersza.

- Zamień rzędy.

Celem tych operacji jest przekształcenie oryginalnej macierzy w macierz tożsamości. 

Gdy to jest zrobione, w macierzy M dokładnie te same operacje są stosowane do macierzy tożsamości. Gdy po kilku operacjach na wierszach M zostanie przekształcona w macierz unitarną, to ta, która była pierwotnie jednostką, zostanie przekształcona w macierz odwrotną M, czyli M-1.

1- Proces zaczynamy od napisania macierzy M, a obok niej macierzy jednostkowej:

2- Dodajemy dwa wiersze i wynik umieszczamy w drugim wierszu, w ten sposób otrzymujemy zero w pierwszym elemencie drugiego rzędu:

3- Mnożymy drugi wiersz przez -1, aby uzyskać 0 i 1 w drugim rzędzie:

4- Pierwszy wiersz jest mnożony przez ½:

5- Drugi i pierwszy są dodawane, a wynik jest umieszczany w pierwszym rzędzie:

6- Aby zakończyć proces, pomnóż pierwszy wiersz przez 2, aby otrzymać macierz identyczności w pierwszym wierszu i macierz odwrotną oryginalnej macierzy M w drugim:

Mianowicie:

Rozwiązanie systemowe

Po uzyskaniu macierzy odwrotnej przystępujemy do rozwiązania układu równań, stosując macierz odwrotną do obu elementów zwartego równania wektorowego:

M-1M X = M-1b

X = M-1b

Który wyraźnie wygląda następująco:

Następnie przeprowadza się mnożenie macierzy w celu uzyskania wektora X:

Metoda 2: użycie dołączonej matrycy

W tej drugiej metodzie odwrotna macierz jest obliczana, zaczynając od sąsiedniej macierzy oryginalnej macierzy DO.

Załóżmy, że macierz A jest dana przez:

gdziei, j jest elementem wiersza ja i kolumna jot macierzy DO.

Sprzęgło macierzy DO będzie nazywany Adj (A) a jego elementami są:

ogłoszeniei, j = (-1)(i + j) ¦Ai, j¦

gdzie Ai, j jest komplementarną mniejszą macierzą otrzymaną przez wyeliminowanie wiersza i i kolumny j z oryginalnej macierzy DO. Słupki ¦ ¦ wskazują, że wyznacznik jest obliczany, to znaczy ¦Ai, j¦ jest wyznacznikiem komplementarnej macierzy mniejszej.

Odwrotna formuła macierzowa

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej, zaczynając od sąsiedniej macierzy oryginalnej macierzy, jest następujący:

To znaczy odwrotna macierz DO, DO-1, jest transpozycją sprzężenia DO podzielone przez wyznacznik DO.

Transpozycja DOTmacierzy DO jest tym otrzymanym przez zamianę wierszy na kolumny, to znaczy, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, a drugi wiersz staje się drugą kolumną i tak dalej, aż n wierszy oryginalnej macierzy zostanie ukończonych.

Ćwiczenie rozwiązane

Niech macierz A będzie następująca:

Każdy element macierzy sprzężonej A jest obliczany: Adj (A)

W rezultacie macierz sprzężona A, Adj (A) jest następująca:

Następnie oblicza się wyznacznik macierzy A, det (A):

Ostatecznie otrzymujemy odwrotną macierz A:

Bibliografia

  1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Przekaż publikację.
  2. Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3
  3. Casteleiro Villalba M. (2004) Wprowadzenie do algebry liniowej. ESIC Editorial.
  4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
  5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
  6. Richard J. Brown (2012) 30-sekundowa matematyka: 50 teorii matematycznych, które najbardziej poszerzają umysł. Bluszcz prasa ograniczona.
  7. Matryca. Wydawnictwo akademickie Lap Lambert.

Jeszcze bez komentarzy