Plik Metoda Eulera jest najbardziej podstawową i najprostszą z procedur używanych do znalezienia przybliżonych rozwiązań numerycznych zwykłego równania różniczkowego pierwszego rzędu, pod warunkiem, że znany jest jego stan początkowy.
Zwykłe równanie różniczkowe (ODE) to równanie, które wiąże nieznaną funkcję pojedynczej zmiennej niezależnej z jej pochodnymi.
Jeśli największa pochodna, która pojawia się w równaniu, jest stopnia pierwszego, to jest to zwykłe równanie różniczkowe pierwszego stopnia.
Najbardziej ogólnym sposobem zapisania równania pierwszego stopnia jest:
x = x0
y = y0
Indeks artykułów
Ideą metody Eulera jest znalezienie numerycznego rozwiązania równania różniczkowego w przedziale między X0 i Xfa .
Po pierwsze, przedział jest dyskretyzowany w n + 1 punktów:
x0, x1, xdwa, x3..., xn
Które uzyskuje się w ten sposób:
xja= x0+ih
Gdzie h jest szerokością lub krokiem podprzedziałów:
Przy warunku początkowym można również poznać pochodną na początku:
y '(xlub) = f (xlub, Ylub)
Ta pochodna przedstawia nachylenie stycznej do krzywej funkcji y (x) dokładnie w punkcie:
Ao = (xlub, Ylub)
Następnie przybliżona prognoza wartości funkcji y (x) jest wykonywana w następującym punkcie:
y (x1) ≈ i1
Y1 = Ylub +(x1- xlub) f (xlub, Ylub) = ilub + h f (xlub, Ylub)
Uzyskano wówczas kolejny przybliżony punkt rozwiązania, który odpowiadałby:
DO1 = (x1, Y1)
Procedura jest powtarzana w celu uzyskania kolejnych punktów
DOdwa, DO3..., xn
Na rysunku pokazanym na początku niebieska krzywa przedstawia dokładne rozwiązanie równania różniczkowego, a czerwona przedstawia kolejne przybliżone punkty uzyskane w procedurze Eulera.
ja) Niech równanie różniczkowe będzie:
Przy warunku początkowym x = a = 0; Ydo= 1
Korzystając z metody Eulera, uzyskaj przybliżone rozwiązanie Y we współrzędnej X = b = 0,5, dzieląc przedział [a, b] na n = 5 części.
Wyniki liczbowe podsumowano w następujący sposób:
Z tego wynika, że rozwiązanie Y dla wartości 0,5 wynosi 1,4851.
Uwaga: aby przeprowadzić obliczenia, Studio Smath, darmowy program.
IIKontynuując równanie różniczkowe z ćwiczenia I), znajdź dokładne rozwiązanie i porównaj je z wynikiem otrzymanym metodą Eulera. Znajdź błąd lub różnicę między dokładnym a przybliżonym wynikiem.
Dokładne rozwiązanie nie jest trudne do znalezienia. Pochodną funkcji sin (x) jest znana jako funkcja cos (x). Dlatego rozwiązanie y (x) będzie:
y (x) = sin x + C
Aby warunek początkowy był spełniony i (0) = 1, stała C musi być równa 1. Dokładny wynik jest następnie porównywany z przybliżonym:
Stwierdzono, że w obliczonym przedziale przybliżenie ma trzy cyfry znaczące precyzji.
III) Rozważmy równanie różniczkowe i jego warunki początkowe podane poniżej:
y '(x) = - ydwa
Przy warunku początkowym x0 = 0; Y0 = 1
Użyj metody Eulera, aby znaleźć przybliżone wartości rozwiązania y (x) w interwale x = [0, 1,5]. Użyj kroku h = 0,1.
Metoda Eulera jest bardzo odpowiednia do stosowania z arkuszem kalkulacyjnym. W tym przypadku użyjemy arkusza kalkulacyjnego geogebra, darmowy i darmowy program.
Arkusz kalkulacyjny na rysunku zawiera trzy kolumny (A, B, C), pierwsza jest zmienną x , druga kolumna reprezentuje zmienną Y, a trzecia kolumna to pochodna Y '.
Wiersz 2 zawiera początkowe wartości X, Y, Y ' .
Krok wartości 0.1 został umieszczony w komórce pozycji bezwzględnej ($ D $ 4).
Początkowa wartość y0 znajduje się w komórce B2, a y1 w komórce B3. Aby obliczyć y1 wzór jest używany:
Y1 = Ylub +(x1- xlub) f (xlub, Ylub) = ilub + h f (xlub, Ylub)
Ta formuła arkusza kalkulacyjnego miałaby postać Numer B3: = B2 + $ D 4 $ * C3.
Podobnie y2 znajdowałoby się w komórce B4, a jego formuła została pokazana na poniższym rysunku:
Rysunek pokazuje również wykres dokładnego rozwiązania oraz punkty A, B,…, P przybliżonego rozwiązania metodą Eulera.
Dynamikę klasyczną rozwinął Izaak Newton (1643-1727). Pierwotną motywacją Leonarda Eulera (1707-1783) do rozwinięcia swojej metody było właśnie rozwiązanie równania drugiego prawa Newtona w różnych sytuacjach fizycznych..
Drugie prawo Newtona jest zwykle wyrażane jako równanie różniczkowe drugiego stopnia:
Gdzie x reprezentuje pozycję obiektu w danej chwili t. Wspomniany obiekt ma masę m i jest poddany działaniu siły fa. Funkcja fa jest powiązany z siłą i masą w następujący sposób:
Aby zastosować metodę Eulera, wymagane są początkowe wartości czasu t, prędkość v i pozycję x.
Poniższa tabela wyjaśnia, w jaki sposób wychodząc od wartości początkowych t1, v1, x1 można uzyskać przybliżenie prędkości v2 i położenia x2 w chwili t2 = t1 + Δt, gdzie Δt oznacza niewielki wzrost i odpowiada krokowi w metodzie Eulera.
IV) Jednym z podstawowych problemów mechaniki jest blok masy M przywiązany do sprężyny (lub sprężyny) o stałej sprężystości K.
Drugie prawo Newtona dla tego problemu wyglądałoby następująco:
W tym przykładzie dla uproszczenia weźmiemy M = 1 i K = 1. Znajdź przybliżone rozwiązania pozycji x i prędkość v metodą Eulera na przedziale czasu [0, π / 2], dzieląc przedział na 12 części.
Przyjmij 0 jako moment początkowy, prędkość początkową 0 i pozycję początkową 1.
Wyniki liczbowe przedstawiono w poniższej tabeli:
Pokazane są również wykresy pozycji i prędkości między momentami 0 i 1,44..
Użyj arkusza kalkulacyjnego, aby określić przybliżone rozwiązanie za pomocą metody Eulera dla równania różniczkowego:
y '= - Exp (-y) z warunkami początkowymi x = 0, y = -1 w przedziale x = [0, 1]
Zacznij od kroku 0,1. Wykreśl wynik.
Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, znajdź numeryczne rozwiązania następującego równania kwadratowego, w którym y jest funkcją niezależnej zmiennej t.
y "= - 1 / y² z warunkiem początkowym t = 0; y (0) = 0,5; y '(0) = 0
Znajdź rozwiązanie na przedziale [0,5; 1,0] z krokiem 0,05.
Wykreśl wynik: y vs t; y 'vs t
Jeszcze bez komentarzy