Plik wpisany kąt koła Jest to taki, który ma swój wierzchołek na obwodzie, a jego promienie są do niego sieczne lub styczne. W konsekwencji wpisany kąt zawsze będzie wypukły lub płaski..
Na figurze 1 przedstawiono kilka kątów wpisanych w ich odpowiednie obwody. Kąt ∠EDF wpisuje się mając wierzchołek D na obwodzie, a jego dwa promienie [DE) i [DF) przecinają obwód.
Podobnie wpisany jest kąt ∠HGI, ponieważ ma wierzchołek na obwodzie i sieczne do niego boki.
Kąty ∠KJR i ∠UST są również wpisane na obwodzie. Pierwsza z nich ma sieczny bok, a druga styczną, podczas gdy druga ma swoje dwa boki styczne do obwodu, tworząc płaszczyznę wpisanego kąta (180º).
Niektórzy autorzy nazywają częściowo wpisany kąt, że jeden z jego boków ma styczną do obwodu, ale w tym artykule jest on uważany za wpisany..
Każdy wpisany kąt definiuje lub podporządkowuje skojarzony z nim łuk. Na przykład na rysunku 2 wpisany kąt ∠ABC leży naprzeciw łuku A⌒C o długości d.
Ta sama figura przedstawia kąt ∠DOE, który nie jest wpisany w obwód, ponieważ jego wierzchołek nie ma obwodu, ale w środku O.
Indeks artykułów
Oprócz wpisanego kąta, na obwodzie kąt centralny, który jest tym, którego wierzchołek znajduje się w środku obwodu i którego boki przecinają obwód.
Miarą w radianach kąta środkowego jest iloraz łuku pomocniczego, to znaczy łuku obwodu między bokami kąta, i promienia obwodu.
Jeśli obwód jest jednolity (o promieniu 1), to długość łuku w tych samych jednostkach promienia jest miarą kąta w radianach.
Gdy wymagana jest miara kąta w stopniach, wówczas miarę w radianach mnoży się przez współczynnik 180º / π.
Przyrządy do pomiaru kąta zawsze używają kąta środkowego, a długość przez niego łuku jest bezpośrednio kalibrowana w stopniach. Oznacza to, że ilekroć mierzony jest kąt, w tle mierzona jest długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy.
Miara kąta wpisanego jest połową miary kąta środkowego, jeśli oba kąty leżą pod tym samym łukiem.
Na rysunku 4 pokazano dwa kąty ∠ABC i ∠AOC, które przecinają ten sam łuk obwodu A⌒C.
Jeśli miarą wpisanego kąta jest α, to miara β kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego (β = 2 α), ponieważ oba układają się pod tym samym łukiem miary d.
Aby udowodnić twierdzenie 1, zaczniemy od pokazania kilku konkretnych przypadków, aż dojdziemy do przypadku ogólnego.
Załóżmy wpisany kąt, pod którym jeden z jego boków przechodzi przez środek obwodu, jak pokazano na rysunku 5.
W tym przypadku powstaje trójkąt równoramienny COB, ponieważ [OC] = [OB].
W trójkącie równoramiennym kąty przylegające do podstawy są równe, dlatego ∠BCO = ∠ABC = α. Z drugiej strony ∠COB = 180º - β.
Biorąc pod uwagę sumę kątów wewnętrznych trójkąta COB, mamy:
α + α + (180º - β) = 180º
Z tego wynika, że 2 α = β, czyli co jest równoważne: α = β / 2. Zbiega się to z tym, co stwierdza twierdzenie 1: miarą wpisanego kąta jest połowa kąta środkowego, jeśli oba kąty leżą naprzeciw tego samego cięciwy [AC].
W tym przypadku mamy wpisany kąt ∠ABC, w którym środek O obwodu znajduje się w kącie.
Aby udowodnić Twierdzenie 1 w tym przypadku, narysowany jest promień pomocniczy [BO), tak że mamy wpisane dwa kąty ∠ABO i ∠OBC przyległe do wspomnianego promienia.
Podobnie mamy środkowe kąty β1 i βdwa w sąsiedztwie wspomnianego promienia. W ten sposób mamy taką samą sytuację jak w dowodzie 1a, więc można stwierdzić, że αdwa = βdwa / 2 i α1 = β1 /dwa. Ponieważ α = α1 + αdwa i β = β1 + βdwa stąd wynika, że α = α1 + αdwa = β1 / 2 + βdwa / 2 = (β1 + βdwa) / 2 = β / 2.
Podsumowując α = β / 2, co spełnia twierdzenie 1.
Jeśli dwa lub więcej wpisanych kątów leży pod tym samym łukiem, to mają tę samą miarę.
Wpisane kąty, które składają się na akordy tej samej miary, są równe.
Pokaż, że wpisany kąt, który znajduje się pod średnicą, jest kątem prostym.
Kąt środkowy ∠AOB powiązany ze średnicą jest kątem płaskim, którego miara wynosi 180º.
Zgodnie z twierdzeniem 1, każdy kąt wpisany w obwód leżący naprzeciw tej samej cięciwy (w tym przypadku średnicy) ma jako miarę połowę kąta środkowego leżącego naprzeciw tej samej cięciwy, który dla naszego przykładu wynosi 180º / 2 = 90º.
Linia (BC) styczna w punkcie A do obwodu C określa wpisany kąt ∠BAC (patrz rysunek 10).
Sprawdź, czy twierdzenie 1 wpisanych kątów jest spełnione.
Kąt ∠BAC jest wpisany, ponieważ jego wierzchołek znajduje się na obwodzie, a jego boki [AB) i [AC) są styczne do obwodu, więc definicja wpisanego kąta jest spełniona.
Z drugiej strony wpisany kąt ∠BAC opiera się na łuku A, A, który stanowi cały obwód. Kąt środkowy leżący wokół łuku A⌒A jest kątem wypukłym, którego miarą jest kąt pełny (360º).
Wpisany kąt, który pokrywa cały łuk, mierzy połowę skojarzonego kąta środkowego, to znaczy ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe, weryfikuje się, że ten konkretny przypadek spełnia twierdzenie 1.
Jeszcze bez komentarzy