Plik Numer Eulera lub numer e jest dobrze znaną stałą matematyczną, która często pojawia się w wielu zastosowaniach naukowych i ekonomicznych, wraz z liczbą π i innymi ważnymi liczbami w matematyce.
Kalkulator naukowy zwraca następującą wartość liczby e:
e = 2,718281828 ...
Ale znanych jest o wiele więcej miejsc po przecinku, na przykład:
e = 2,71828182845904523536 ...
Współczesne komputery znalazły biliony miejsc po przecinku dla liczby e.
To jest liczba irracjonalny, co oznacza, że ma nieskończoną liczbę miejsc po przecinku bez żadnego powtarzającego się wzoru (ciąg 1828 pojawia się dwukrotnie na początku i już się nie powtarza).
Oznacza to również, że liczby e nie można otrzymać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Indeks artykułów
Numer i Został zidentyfikowany przez naukowca Jacquesa Bernoulliego w 1683 r., Kiedy badał problem procentu składanego, ale wcześniej pojawił się pośrednio w pracach szkockiego matematyka Johna Napiera, który wynalazł logarytmy około 1618 r..
Jednak to Leonhard Euler w 1727 r. Nadał mu nazwę e i intensywnie badał jego właściwości. Dlatego jest również znany jako Liczba Eulera a także jako naturalna podstawa dla obecnie używanych logarytmów naturalnych (wykładnik).
Liczba e jest warta:
e = 2,71828182845904523536 ...
Wielokropek oznacza, że istnieje nieskończona liczba miejsc po przecinku i w rzeczywistości przy dzisiejszych komputerach znane są ich miliony.
Istnieje kilka sposobów zdefiniowania e, które opisujemy poniżej:
Jednym z różnych sposobów wyrażania liczby e jest ten, który naukowiec Bernoulli znalazł w swoich pracach na temat procentu składanego:
W którym musisz zrobić wartość n bardzo duża liczba.
Łatwo sprawdzić za pomocą kalkulatora, kiedy n jest bardzo duża, poprzednie wyrażenie ma zwykle wartość i Podane powyżej.
Jasne, możemy się zastanawiać, jak duże może to się stać n, spróbujmy więc okrągłych liczb, takich jak na przykład:
n = 1000; 10 000 lub 100 000
W pierwszym przypadku otrzymujemy e = 2,7169239…. W drugim e = 2,7181459… aw trzecim jest znacznie bliższe wartości i: 2,7182682. Możemy już dowiedzieć się, że przy n = 1 000 000 lub większym przybliżenie będzie jeszcze lepsze.
W języku matematycznym procedura wytwarzania n zbliża się coraz bardziej do bardzo dużej wartości, nazywa się to ograniczenie do nieskończoności i jest oznaczony następująco:
Do oznaczenia nieskończoności używa się symbolu „∞”.
Możliwe jest również zdefiniowanie liczby e poprzez tę operację:
Cyfry, które pojawiają się w mianowniku: 1, 2, 6, 24, 120… odpowiadają operacji n!, gdzie:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
I z definicji 0! = 1.
Łatwo jest zweryfikować, że im więcej dodanych dodatków, tym dokładniejsza liczba zostanie osiągnięta i.
Zróbmy kilka testów z kalkulatorem, dodając coraz więcej dodatków:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Im więcej terminów zostanie dodanych do sumowania, tym bardziej będzie wyglądał wynik i.
Matematycy wymyślili zwarty zapis tych sum obejmujący wiele terminów, używając symbolu sumowania Σ:
To wyrażenie jest czytane w ten sposób: „suma od n = 0 do nieskończoności 1 między n silnia”.
Liczba e ma graficzną reprezentację związaną z obszarem pod wykresem krzywej:
y = 1 / x
Gdy wartości x mieszczą się w przedziale od 1 do e, obszar ten jest równy 1, jak pokazano na poniższym rysunku:
Niektóre właściwości liczby e to:
-Jest to irracjonalne, innymi słowy, nie można go uzyskać po prostu przez podzielenie dwóch liczb całkowitych.
-Numer i jest to również plik liczba transcendentna, co to znaczy i nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego.
-Jest to związane z czterema innymi słynnymi liczbami z dziedziny matematyki, a mianowicie: π, i, 1 i 0, poprzez tożsamość Eulera:
iπi + 1 = 0
-Wezwania Liczby zespolone można wyrazić przez e.
-Stanowi podstawę dzisiejszych logarytmów naturalnych lub naturalnych (oryginalna definicja Johna Napiera nieco się różni).
-Jest to jedyna liczba, której logarytm naturalny jest równy 1, czyli:
ln e = 1
Liczba e pojawia się bardzo często w dziedzinie prawdopodobieństwa i statystyki, występując w różnych rozkładach, takich jak normalny lub Gaussowski, Poissona i inne..
W inżynierii jest to powszechne, ponieważ funkcja wykładnicza y = ex jest obecny na przykład w mechanice i elektromagnetyzmie. Wśród wielu aplikacji możemy wymienić:
-Zawieszony na końcach kabel lub łańcuch przyjmuje kształt krzywej określonej przez:
y = (npx + i-x) / dwa
-Początkowo rozładowany kondensator C, który jest połączony szeregowo z rezystorem R i źródłem napięcia V do ładowania, uzyskuje pewien ładunek Q w funkcji czasu t, wyrażonego wzorem:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
Funkcja wykładnicza y = A.eBx, ze stałymi A i B służy do modelowania wzrostu komórek i bakterii.
W fizyce jądrowej rozpad promieniotwórczy i określanie wieku są modelowane za pomocą datowania radiowęglowego.
Przy obliczaniu odsetek składanych liczba e pojawia się naturalnie.
Załóżmy, że masz określoną kwotę pieniędzy P.lub, inwestować go przy stopie procentowej w wysokości i% rocznie.
Jeśli zostawisz pieniądze na 1 rok, po tym czasie będziesz mieć:
P (1 rok) = Plub + P.lub.i = Plub (1+ i)
Po kolejnym roku bez dotykania będziesz mieć:
P (2 lata) = Plub + P.lub.i + (strlub + P.lub .i) i = Plub +2 Plub.i + Plub.jadwa = Po (1 + i)dwa
I dalej w ten sposób przez n lata:
P = Plub (1 + i)n
Zapamiętajmy teraz jedną z definicji e:
Wygląda trochę jak wyrażenie na P, więc musi istnieć związek.
Zamierzamy rozłożyć nominalną stopę procentową ja na n okresy czasu, w ten sposób składana stopa procentowa będzie wynosić i / n:
P = Plub [1+ (i / n)]n
To wyrażenie wygląda trochę bardziej jak nasz limit, ale nadal nie jest dokładnie takie samo.
Jednak po kilku operacjach algebraicznych można wykazać, że dokonując tej zmiany zmiennej:
h = n / i → i = n / h
Nasze pieniądze P stają się:
P = Plub [1+ (1 / godz.)]cześć = P.lub [1+ (1 / godz.)]godzja
A co jest między klawiszami, nawet jeśli jest napisane literą godz, jest równy argumentowi limitu, który definiuje liczbę e, pomijając tylko granicę.
Zróbmy godz → ∞, a to, co znajduje się między nawiasami klamrowymi, staje się liczbą i. Nie oznacza to, że na wypłatę pieniędzy musimy czekać nieskończenie długo.
Jeśli przyjrzymy się uważnie, kiedy to zrobimy h = n / i i dążąc do ∞, to, co faktycznie zrobiliśmy, to rozłożenie stopy procentowej na bardzo, bardzo małe okresy:
i = n / h
To się nazywa ciągłe mieszanie. W takim przypadku kwotę pieniędzy można łatwo obliczyć w następujący sposób:
P = Plub .ija
Gdzie ja jest roczną stopą procentową. Na przykład, wpłacając 12 € po 9% rocznie, poprzez ciągłą kapitalizację, po roku masz:
P = 12 x e0,09 x 1 = 13,13 €
Z zyskiem 1,13 €.
Jeszcze bez komentarzy