Plik Liczby zespolone to zbiór liczbowy zawierający liczby rzeczywiste i wszystkie pierwiastki wielomianów, w tym parzyste pierwiastki liczb ujemnych. Te pierwiastki nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych, ale w liczbach zespolonych jest rozwiązanie.
Liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i części zwanej „urojoną”. Prawdziwa część nazywa się do, na przykład i część urojoną ib, z do Y b liczby rzeczywiste i „ja” lubię wyimaginowana jednostka. W ten sposób liczba zespolona przyjmuje postać:
z = a + ib
Przykłady liczb zespolonych to 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ale zanim zaczniemy z nimi pracować, zobaczmy, skąd pochodzi wyimaginowana jednostka ja, biorąc pod uwagę to równanie kwadratowe:
xdwa - 10x + 34 = 0
W którym a = 1, b = -10 ic = 34.
Stosując formułę rozdzielczą do określenia rozwiązania, znajdujemy:
Jak określić wartość √-36? Nie ma liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu daje ilość ujemną. Następnie wyciąga się wniosek, że to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań.
Możemy jednak napisać tak:
√-36 = √-6dwa = √6dwa (-1) = 6√-1
Jeśli zdefiniujemy określoną wartość x takie, że:
xdwa = -1
Następnie:
x = ± √-1
A powyższe równanie miałoby rozwiązanie. Dlatego wyimaginowaną jednostkę zdefiniowano jako:
i = √-1
A więc:
√-36 = 6i
Wielu matematyków starożytności pracowało nad rozwiązaniem podobnych problemów, zwłaszcza renesansowy Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) i Raffaele Bombelli (1526-1572).
Wiele lat później René Descartes (1596-1650) nazwał takie wielkości jak √-36 w przykładzie „urojonymi”. Z tego powodu √-1 jest znany jako wyimaginowana jednostka.
Indeks artykułów
-Zbiór liczb zespolonych jest oznaczony jako C i zawiera liczby rzeczywiste R i liczby urojone Im. Zestawy liczb są przedstawione na diagramie Venna, jak pokazano na poniższym rysunku:
-Każda liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i urojonej.
-Gdy część urojoną liczby zespolonej wynosi 0, jest to czysta liczba rzeczywista.
-Jeśli część rzeczywista liczby zespolonej wynosi 0, to liczba jest czysto urojona.
-Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich część rzeczywista i część urojona są takie same.
-W przypadku liczb zespolonych wykonywane są znane operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, iloczynu i wzmacniania, w wyniku czego powstaje kolejna liczba zespolona.
Liczby zespolone można przedstawić na różne sposoby. Oto najważniejsze z nich:
Jest to forma podana na początku, gdzie z jest liczbą zespoloną, do to jest prawdziwa część, b jest częścią urojoną e ja jest jednostką urojoną:
z = a + ib
Lub też:
z = x + iy
Jednym ze sposobów wykreślenia liczby zespolonej jest przejście przez płaszczyznę zespoloną pokazaną na tym rysunku. Wyimaginowana oś Im jest pionowa, podczas gdy rzeczywista oś jest pozioma i jest oznaczona jako Re.
Liczba zespolona z jest reprezentowany na tej płaszczyźnie jako punkt współrzędnych (x, y) lub (a, b), tak jak jest to zrobione z punktami rzeczywistej płaszczyzny.
Odległość od początku do punktu z jest modułem liczby zespolonej oznaczonej jako r, podczas gdy φ jest tworzonym kątem r z rzeczywistą osią.
Ta reprezentacja jest ściśle związana z reprezentacją wektorów na płaszczyźnie rzeczywistej. Wartość r odpowiada moduł liczby zespolonej.
Postać biegunowa polega na wyrażeniu liczby zespolonej poprzez podanie wartości r i φ. Jeśli spojrzymy na liczbę, wartość r odpowiada przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Nogi są warte do Y b, No cóż x Y Y.
Z postaci dwumianowej lub dwumianowej możemy przejść do postaci polarnej przez:
r = √xdwa+Ydwa
Kąt φ Jest to ten, który tworzy odcinek r z osią poziomą lub urojoną. Jest znany jako argument liczby zespolonej. W ten sposób:
φ = arctg (y / x)
Argument ma nieskończone wartości, biorąc pod uwagę, że za każdym razem, gdy wykonywany jest obrót o wartości 2π radianów, r ponownie zajmuje tę samą pozycję. W ten sposób, argument z, oznaczony Arg (z), jest wyrażony w ten sposób:
Arg (z) = φ + 2kπ
Gdzie k jest liczbą całkowitą i służy do wskazania liczby zwojów: 2, 3, 4…. Znak wskazuje kierunek obrotów, jeśli jest zgodny lub przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
A jeśli chcemy przejść od postaci biegunowej do postaci dwumianowej, używamy stosunków trygonometrycznych. Z poprzedniego rysunku widać, że:
x = r cos φ
y = r sin φ
W ten sposób z = r (cos φ + i sin φ)
Który jest w skrócie następujący:
z = r cis φ
Następujące liczby zespolone podane są w postaci dwumianowej:
a) 3 + i
b) 4
d) -6i
A te w postaci uporządkowanej pary:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Wreszcie ta grupa jest podana w postaci biegunowej lub trygonometrycznej:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315º
Przydatność liczb zespolonych wykracza poza rozwiązywanie równania kwadratowego pokazanego na początku, ponieważ są one niezbędne w dziedzinie inżynierii i fizyki, zwłaszcza w:
-Badanie fal elektromagnetycznych
-Analiza prądu przemiennego i napięcia
-Modelowanie wszelkiego rodzaju sygnałów
-Teoria względności, w której zakłada się, że czas jest wyimaginowaną wielkością.
Na liczbach zespolonych możemy wykonywać wszystkie operacje, które są wykonywane na liczbach rzeczywistych. Niektóre są łatwiejsze do zrobienia, jeśli liczby mają postać dwumianową, na przykład dodawanie i odejmowanie. Zamiast tego mnożenie i dzielenie jest prostsze, jeśli wykonuje się je w postaci polarnej.
Spójrzmy na kilka przykładów:
Dodaj z1 = 2 + 5i oraz zdwa = -3 -8i
Rzeczywiste części są dodawane oddzielnie od części urojonych:
z1 + zdwa = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
Pomnóż z1 = 4 cis 45º i zdwa = 5 cis 120º
Można wykazać, że iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci biegunowej lub trygonometrycznej jest dany przez:
z1 . zdwa = r1.rdwa cis (φ1 + φdwa)
Według tego:
z1 . zdwa = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
Prostym zastosowaniem liczb zespolonych jest znalezienie wszystkich pierwiastków równania wielomianowego, takiego jak to pokazane na początku artykułu.
W przypadku równania xdwa - 10x + 34 = 0, stosując formułę rozdzielczą otrzymujemy:
Dlatego rozwiązania są następujące:
x1 = 5 + 3i
xdwa = 5 - 3i
Jeszcze bez komentarzy