Plik liczby ujemne to te po lewej stronie osi liczbowej, zawsze poprzedzone znakiem -. Za pomocą negatywów można przedstawić wielkości poniżej lub na lewo od zera.
Liczby te aktywnie uczestniczą w życiu codziennym: na przykład jeśli ktoś ma dług w wysokości 5 dolarów, ale może spłacić tylko 3 dolary, winien jest mu 2 dolary. Dług jest oznaczony znakiem ujemnym, aby odróżnić go od zapłaconej kwoty.
Pozycje poniżej poziomu morza, temperatury poniżej punktu zamarzania wody i podłogi poniżej poziomu ulicy mogą być oznaczone liczbami ujemnymi..
Indeks artykułów
Istnienie negatywów rozszerza możliwości operacji numerycznych. Weźmy przykład odejmowania dwóch liczb. Jeśli te liczby należą do naturalnej liczby 1, 2, 3, 4, 5 ... odejmowanie ma sens tylko wtedy, gdy jest wykonywane przez odjęcie od innej liczby mniejszej niż ona.
Wynik operacji 10 - 7 = 3 jest rozsądny, ponieważ w zasadzie z ilości nie możemy wyciągnąć więcej, niż ona przedstawia.
Jednak negatywy dobrze opisałyby tę inną sytuację: chcemy kupić coś wartego 20 USD, ale mamy tylko 15 USD i pożyczamy 5 USD od znajomego. Dług, jak powiedzieliśmy, jest oznaczony znakiem ujemnym, a zatem 15 - 20 = -5, co czyta się jako „minus 5”.
Zbiór ujemnych liczb całkowitych wraz z liczbą naturalną i 0 tworzą najszerszy zbiór liczb całkowitych Z..
Ale negatywy mogą być również ułamkowe lub dziesiętne i należeć do jeszcze większego zbioru: zbioru liczb rzeczywistych R, który obejmuje liczbę wymierną i niewymierną..
Przy każdym z nich wykonywane są znane operacje arytmetyczne, zwracając uwagę na przestrzeganie kilku prostych zasad znaków, które są wyjaśnione poniżej.
Przed wykonaniem operacji na liczbach ujemnych należy ustalić proste zasady obsługi znaku (-), który zawsze musi być poprzedzony oraz kolejność liczb.
Rozważmy oś liczbową pokazaną na rysunku, gdzie negatywy znajdują się po lewej stronie 0, a pozytywy po prawej.
Strzałki na osi liczbowej w obu kierunkach wskazują, że istnieją nieskończone liczby. Zauważ również, że liczbowy zbiór liczb całkowitych jest zbiorem uporządkowanym i każda liczba ujemna jest mniejsza od 0 i każda liczba dodatnia..
Tak więc, na przykład, -4 jest mniejsze niż 1, a -540 jest mniejsze niż 84.
Wywoływana jest odległość między dowolną liczbą a 0 całkowita wartość. Odległość ta jest zawsze dodatnia i jest oznaczona pionowymi paskami, na przykład:
│-5│ = 5
│ + √6│ = √6
│-3 / 4│ = 3/4
│-10,2│ = 10,2
Oznacza to, że wartość bezwzględna dowolnej liczby, zarówno dodatniej, jak i ujemnej, jest dodatnią liczbą. Ta koncepcja pomoże nam później podczas pracy z liczbami ujemnymi.
Kolejnym bardzo ważnym szczegółem jest rozróżnienie między znakiem liczby a znakiem operacji..
Gdy liczba jest dodatnia, znak liczby jest zwykle pomijany i rozumie się, że i tak jest dodatni, ale w przypadku negatywów nie jest to możliwe, dlatego konieczne jest użycie nawiasów, zobaczmy:
-Poprawnie: 17 - (-6) lub też +17 - (-6)
-Niepoprawnie: 17 - -6
-Niepoprawnie: -5 + +7
-Poprawnie: - 5 + (+7) lub też -5 + 7
Gdy pojęcia wartości bezwzględnej, porządku i ważności znaku ujemnego są jasne, możemy przejść do operacji elementarnych.
Wyróżniamy następujące przypadki, zaczynając od sumy dwóch pozytywów, których procedura jest już dobrze znana:
-Dodaj dwie liczby dodatnie: (+ a) + (+ b) = a + b
Co oznacza, że dodajemy jak zwykle, zobaczmy:
(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13
-Dodaj dwie liczby ujemne: (-a) + (-b) = - (a + b)
W tym przypadku dodajemy wartości bezwzględne liczb, a wynik jest poprzedzony znakiem ujemnym, na przykład:
(-7) + (-11) = - (7+ 11) = - 18
-Dodaj negatyw i pozytyw: (+ a) + (-b)
W przypadku tej operacji wartości bezwzględne są odejmowane, a wynik nosi znak liczby o najwyższej wartości bezwzględnej. Zróbmy kilka przypadków:
a) (-16) + (+3)
Odpowiednie wartości bezwzględne to 16 i 3, liczba o najwyższej wartości bezwzględnej to 16, której znak jest ujemny, a następnie:
(-16) + (+3) = - (16-3) = -13
b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5
Suma ujemnych jest również przemienna, co oznacza, że kolejność dodawania nie ma znaczenia dla wyniku..
Poprzednie zasady mają zastosowanie, jeśli chcesz dodać więcej niż dwie liczby, co można zrobić za pomocą właściwości asocjacyjnej: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
Zanim przyjrzymy się przykładowi w tym przypadku, przyjrzyjmy się najpierw odejmowaniu dwóch liczb całkowitych.
Odejmowanie definiuje się jako sumę przeciwieństw. Przeciwieństwem liczby a jest -a, na przykład:
-4 jest przeciwieństwem + 4
½ jest przeciwieństwem -½
Jeśli zostaniemy poproszeni o odjęcie dwóch liczb, niezależnie od znaku, po prostu dodamy przeciwieństwo drugiej do pierwszej:
a) (-53) - (+8) = (-53) + (-8) = - (53 + 8) = -61
b) (+7) - (-12) = (+7) + (+12) = 7 + 12 = 19
c) (+2) - (+ π) = (+2) + (-π) = 2 - π
Wykonaj następującą operację (+4) + (-7) + (+19)
Przepisujemy to w ten sposób za pomocą nawiasów, aby wskazać operację, która ma zostać wykonana jako pierwsza:
(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [- (4-7)] + 19 = [- (-3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22
Regułę znaków mnożenia podsumowano na poniższym rysunku:
-Przemienność: kolejność czynników nie zmienia iloczynu, dlatego ≠ = b.a gdzie a i b są liczbami ujemnymi, całkowitymi lub ułamkowymi.
-Łączność: Niech a, b i c będą liczbami całkowitymi, to prawda, że (a.b). c = a. (pne)
-Dystrybucja w odniesieniu do sumy: niech a, b i c będą liczbami całkowitymi, to jest poprawne, że a. (b + c) = a.b + a.c
(-3/2) x [(-5) + (+4) - (+2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6) / 2 = 9/2
Możesz też najpierw rozwiązać operację w nawiasach i pomnożyć wynik przez (-3/2), na przykład:
(-3/2) x [-5 + 4 - 2] = (-3/2) x (-3) = 9/2
Reguła znaków podziału jest pokazana na poniższym rysunku:
Dzielenie nie jest przemienne i zwykle a ÷ b ≠ b ÷ a, dzielenie przez 0. Zobaczmy przykład:
(-54) ÷ (+3) = -18
Aby uzyskać ten wynik, po prostu wykonaj iloraz, a znak zostanie wybrany zgodnie z tabelą pokazaną na rysunku, która odpowiada trzeciej opcji od góry do dołu.
Empowerment to działanie w formie an, gdzie a jest podstawą, a n jest wykładnikiem potęgi. Podstawa i wykładnik mogą mieć dowolny znak.
-Jeśli podstawa jest ujemna lub dodatnia, a wykładnik jest parzystą liczbą całkowitą, wynik operacji jest zawsze dodatni.
-Gdy podstawa jest dodatnia, a wykładnik jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynik jest dodatni.
-A jeśli podstawa jest ujemna, a wykładnik jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynik jest ujemny.
Wykładniki ułamkowe są alternatywnie wyrażane jako pierwiastek, na przykład pierwiastek kwadratowy jest równoważny wykładnikowi ułamkowemu ½, pierwiastek sześcienny jest równoważny wykładnikowi 1/3 i tak dalej.
Spójrzmy na kilka przykładów:
a) (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27
b) 16 -1/2 = 1 / √16 = ¼
c) (+8) 1/3 = pierwiastek sześcienny z 8 = 2
Jeszcze bez komentarzy