Plik stojące fale Są to fale, które rozchodzą się w ograniczonym ośrodku, przechodząc i nadchodząc w części przestrzeni, w przeciwieństwie do fal wędrujących, które rozchodząc się oddalają się od źródła, które je zapoczątkowały i nie wracają do niego.
Stanowią podstawę dźwięków wytwarzanych na instrumentach muzycznych, ponieważ łatwo powstają w nieruchomych strunach, na jednym lub obu końcach. Powstają również w szczelnych membranach, takich jak bębny lub wewnątrz rur i konstrukcji, takich jak mosty i budynki..
Kiedy masz ustaloną strunę na obu końcach, na przykład w gitarze, powstają fale o identycznej amplitudzie i częstotliwości, które przemieszczają się w przeciwnych kierunkach i łączą się, tworząc zjawisko zwane ingerencja.
Jeśli fale są w fazie, szczyty i doliny są wyrównane i powodują falę o dwukrotnie większej amplitudzie. W tym przypadku mówimy o konstruktywnej ingerencji.
Ale jeśli zakłócające fale są poza fazą, piki jednej z nich spotykają się z dolinami innych i wynikająca z tego amplituda wynosi zero. Chodzi więc o destrukcyjną ingerencję.
Indeks artykułów
Głównymi elementami fali reprezentującymi ją w przestrzeni i czasie są jej amplituda A, długość fali λ i częstotliwość kątowa ω.
W reprezentacji matematycznej preferowane jest użycie k, niż numer fali lub ile razy występuje fala na jednostkę długości. Dlatego jest definiowany przez długość fali λ, która jest odległością między dwiema dolinami lub dwoma grzbietami:
k = 2π / λ
Podczas częstotliwość kątowa odnosi się do okresu lub czasu trwania pełnej oscylacji, takiej jak:
ω = 2π / T.
A także częstotliwość f jest określona przez:
f = ω / 2π
W związku z tym:
f = 1 / T
Również fale poruszają się z prędkością v według:
v = λ.f
Matematycznie możemy wyrazić falę za pomocą funkcji sinus lub cosinus. Załóżmy, że mamy fale o równej amplitudzie A, długości fali λ i częstotliwości ω, rozchodzące się wzdłuż struny w przeciwnych kierunkach:
Y1 = Grzech (kx - ωt)
Ydwa = Grzech (kx + ωt)
Dodając je, znajdujemy wynikową falę iR:
YR = i1 + Ydwa = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
Istnieje tożsamość trygonometryczna, aby znaleźć sumę:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2
Dzięki tej tożsamości powstała fala yR pozostaje:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Powstała fala ma amplitudę A.R = 2Asen kx, co zależy od położenia cząstki. Następnie w punktach, dla których sin kx = 0, amplituda fali zanika, to znaczy nie ma wibracji.
Te punkty to:
kx = π, 2π, 3π…
Ponieważ k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
W takich punktach występuje destrukcyjna interferencja i nazywa się węzły. Oddziela je odległość równa λ / 2, jak wywnioskowano z poprzedniego wyniku.
Między dwoma kolejnymi węzłami znajdują się antywęzły lub brzuchy, w którym amplituda fali jest maksymalna, ponieważ występuje tam konstruktywna interferencja. Występują, gdy:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…
Ponownie k = 2 π / λ, a następnie:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4,…
Warunki brzegowe struny określają, jakie są długości fal i częstotliwości. Jeśli struna o długości L jest zamocowana na obu końcach, nie może wibrować z żadną częstotliwością, ponieważ punkty, w których struna jest zamocowana, są już węzłami.
Ponadto separacja między sąsiednimi węzłami wynosi λ / 2, a między węzłem a brzuchem wynosi λ / 4, w ten sposób tylko dla określonych długości fal powstają fale stacjonarne: te, w których liczba całkowita n λ / 2 mieści się w zakresie:
(λ / 2) = L, gdzie n = 1, 2, 3, 4 ... .
W związku z tym:
λ = 2L / n
Nazywa się różne wartości, które przyjmuje λ harmonia. Mamy więc:
-Pierwsza harmoniczna: λ = 2L
-Druga harmoniczna: λ = L
-Trzecia harmoniczna: λ = 2 L / 3
-Czwarta harmoniczna: λ = L / 2
I tak dalej.
Chociaż wydaje się, że fala stojąca nie porusza się, równanie jest nadal aktualne:
v = λ. fa
W związku z tym:
v = (2L / n). fa
f = nv / 2L
Teraz można wykazać, że prędkość, z jaką fala przemieszcza się w strunie, zależy od naprężenia T w niej i jej liniowej gęstości masy μ (masa na jednostkę długości) jako:
W związku z tym:
-Gdy fale są nieruchome, powstała fala nie rozchodzi się tak samo, jak jej składowe, które przechodzą z jednej strony na drugą. Istnieją punkty, w których y = 0, ponieważ nie ma wibracji: węzły, innymi słowy, amplituda AR staje się zero.
-Matematyczne wyrażenie fali stojącej składa się z iloczynu części przestrzennej (która zależy od współrzędnej x lub współrzędnych przestrzennych) i części czasowej.
-Pomiędzy węzłami powstała czarna fala oscyluje w jednym miejscu, podczas gdy fale przechodzące z jednej strony na drugą są tam poza fazą..
-Energia nie jest transportowana bezpośrednio w węzłach, ponieważ jest to proporcjonalne do kwadratu amplitudy, ale jest uwięziona między węzłami.
-Odległość między sąsiednimi węzłami to połowa długości fali.
-Punkty, w których cięciwa jest zamocowany, są również uważane za węzły..
Fale w stałej strunie to przykłady fal stojących w jednym wymiarze, których opis matematyczny przedstawiliśmy w poprzednich rozdziałach..
Fale stojące można również przedstawić w dwóch i trzech wymiarach, a ich opis matematyczny jest nieco bardziej złożony.
-Lina zamocowana na jednym końcu, która jest oscylowana ręką lub tłokiem na drugim, generuje fale stojące na swojej długości.
-Gra na instrumentach strunowych, takich jak gitara, harfa, skrzypce i fortepian, również tworzy fale stojące, ponieważ mają struny dostosowane do różnych napięć i zamocowane na obu końcach.
Fale stojące powstają również w rurkach z powietrzem, takich jak rurki narządowe..
Fale stojące powstają w konstrukcjach takich jak mosty i budynki. Godnym uwagi przypadkiem był most wiszący Tacoma Narrows w pobliżu miasta Seattle w Stanach Zjednoczonych. Wkrótce po inauguracji w 1940 roku most ten zawalił się z powodu fal stojących wytworzonych wewnątrz przez wiatr..
Częstotliwość wiatru została sparowana z naturalną częstotliwością mostu, tworząc w nim fale stojące, których amplituda wzrastała aż do zawalenia się mostu. Zjawisko to jest znane jako rezonans.
W portach występuje bardzo ciekawe zjawisko zwane seiche, w którym fale morskie wytwarzają duże drgania. Wynika to z faktu, że wody w porcie są dość zamknięte, chociaż wody oceaniczne przenikają od czasu do czasu przez wejście do portu..
Wody portowe poruszają się z własną częstotliwością, podobnie jak wody oceanu. Jeśli obie wody mają równe częstotliwości, rezonans wytwarza dużą falę stojącą, tak jak miało to miejsce w przypadku mostu Tacoma..
Plik sejsy Mogą również występować w jeziorach, zbiornikach, basenach i innych zbiornikach wodnych o ograniczonej powierzchni..
Fale stojące mogą powstawać w akwarium niesionym przez człowieka, jeśli częstotliwość, z jaką osoba chodzi, jest równa częstotliwości kołysania się wody.
Struna gitary ma L = 0,9 mi liniową gęstość masy μ = 0,005 kg / m. Poddawany jest naprężeniu o wartości 72 N, a jego tryb wibracji jest taki sam jak na rysunku, przy amplitudzie 2A = 0,5 cm.
Odnaleźć:
a) Prędkość propagacji
b) Częstotliwość fal
c) Odpowiednie równanie fali stojącej.
Przez:
Jest uzyskiwany;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
Odległość między dwoma sąsiednimi węzłami wynosi λ / 2, dlatego:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = λ / 2
λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Ponieważ v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
Równanie to:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Musimy podstawić wartości:
k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
Amplituda 2A jest już podana w stwierdzeniu:
2A = 0,5 cm = 5 x 10 -3 m.
W związku z tym:
YR = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
Jeszcze bez komentarzy