Plik permutacje kołowe są to różne typy grupowania wszystkich elementów zbioru, gdy trzeba je ułożyć w kółko. W tego typu permutacji kolejność ma znaczenie, a elementy nie są powtarzane.
Na przykład załóżmy, że chcesz poznać liczbę różnych tablic cyfr od jednej do czterech, umieszczając każdą liczbę na jednym z wierzchołków rombu. W sumie byłoby to 6 ustaleń:
Nie należy mylić, że cyfra jeden znajduje się w górnej pozycji rombu we wszystkich przypadkach jako pozycja stała. Permutacje kołowe nie są zmieniane przez obrót szyku. Oto jedna lub ta sama permutacja:
Indeks artykułów
Na przykładzie różnych 4-cyfrowych okrągłych tablic umieszczonych na wierzchołkach rombu, liczbę tablic (6) można znaleźć w następujący sposób:
1- Każda z czterech cyfr jest traktowana jako punkt początkowy w dowolnym wierzchołku i przechodzi do następnego wierzchołka. (nie ma znaczenia, czy jest obracany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
2- Pozostały 3 opcje wyboru drugiego wierzchołka, następnie są 2 opcje wyboru trzeciego wierzchołka i oczywiście pozostała tylko jedna opcja wyboru dla czwartego wierzchołka.
3- Zatem liczbę permutacji kołowych, oznaczoną przez (4 - 1) P (4 - 1), uzyskuje się jako iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 różnych 4-cyfrowych tablic kołowych.
Ogólnie rzecz biorąc, liczba permutacji cyklicznych, które można osiągnąć przy użyciu wszystkich n elementów zbioru, wynosi:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)
Zauważ, że (n - 1)! jest znana jako silnia n i jest skrótem iloczynu wszystkich liczb od liczby (n - 1) do liczby jeden, obie uwzględnione.
Na ile różnych sposobów 6 osób musi siedzieć przy okrągłym stole??
Chcesz znaleźć różne sposoby, w jakie 6 osób może siedzieć przy okrągłym stole.
Liczba sposobów siedzenia = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Liczba sposobów siedzenia = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 różnych sposobów
Na ile różnych sposobów 5 osób musi zlokalizować się na wierzchołkach pięciokąta??
Poszukiwana jest liczba sposobów umieszczenia 5 osób w każdym z wierzchołków pięciokąta.
Liczba sposobów zlokalizowania siebie = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Liczba dróg do zlokalizowania = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne drogi
Jubiler nabywa 12 różnych kamieni szlachetnych, aby umieścić je w punktach godzin zegara, który przygotowuje w imieniu królewskiego domu jednego z krajów europejskich.
a) Na ile różnych sposobów układa kamienie na zegarze?
b) Ile różnych kształtów ma, jeśli kamień trafiający na godzinę 12 jest wyjątkowy?
c) Ile różnych kształtów, jeśli kamień z godziny 12 jest niepowtarzalny, a kamienie z pozostałych trzech punktów kardynalnych, godziny 3, 6 i 9; są trzy konkretne kamienie, które można wymieniać, a resztę godzin przypisuje się pozostałym kamieniom?
a) Wymagana jest liczba sposobów zamawiania wszystkich kamieni na obwodzie zegara; to znaczy liczba okrągłych układów obejmujących wszystkie dostępne kamienie.
Liczba układów w zegarze = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Liczba poprawek zegara = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Liczba aranżacji na zegarze = 39976800 różnych kształtów
b) Zastanawia się, ile różnych sposobów zamawiania istnieje, wiedząc, że kamień klamki na godzinie 12 jest wyjątkowy i niezmienny; to znaczy liczba układów kołowych obejmujących pozostałe 11 kamieni.
Liczba układów w zegarze = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Liczba poprawek zegara = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Liczba aranżacji na zegarze = 3 628 800 różnych kształtów
c) Wreszcie, szuka się liczby sposobów uporządkowania wszystkich kamieni, z wyjątkiem kamienia na godzinie 12, który jest nieruchomy, kamieni 3, 6 i 9, które mają 3 kamienie do przypisania między nimi; to znaczy 3! możliwości aranżacyjne oraz ilość układów okrężnych z udziałem pozostałych 8 kamieni.
Liczba układów w zegarze = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!
Liczba układów w zegarze = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Liczba aranżacji na zegarze = 241920 różnych kształtów
Komitet sterujący firmy składa się z 8 członków, którzy spotykają się przy owalnym stole.
a) Ile różnych form aranżacji przy stole ma komisja??
b) Załóżmy, że przewodniczący zasiada u szczytu stołu w jakimkolwiek układzie komitetu, ile różnych form aranżacji ma reszta komitetu??
c) Załóżmy, że wiceprzewodniczący i sekretarz siedzą po bokach prezydenta w dowolnej aranżacji komitetu.?
a) Chcemy znaleźć różne sposoby uporządkowania 12 członków komitetu przy owalnym stole.
Liczba ustaleń komitetów = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Liczba ustaleń komisji = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Liczba ustaleń komitetów = 39976800 różnych form
b) Ponieważ przewodniczący komisji znajduje się na stałym miejscu, poszukuje się różnych sposobów uporządkowania pozostałych 11 członków komisji wokół owalnego stołu.
Liczba ustaleń komitetów = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Liczba ustaleń komisji = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Liczba ustaleń komitetów = 3 628 800 różnych form
c) Prezydent zajmuje stałe stanowisko, a po bokach wiceprezes i sekretarz z dwiema możliwościami rozmieszczenia: wiceprezes po prawej i sekretarz po lewej lub wiceprezes po lewej i sekretarz po prawej. Następnie chcesz znaleźć różne sposoby uporządkowania pozostałych 9 członków komitetu przy owalnym stole i pomnóż je przez 2 formy ustaleń, które mają wiceprzewodniczący i sekretarz..
Liczba ustaleń komitetu = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]
Liczba ustaleń komitetu = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Liczba ustaleń komitetów = 80640 różnych form
Jeszcze bez komentarzy