Permutacje bez wzorów na powtórzenie, dowód, ćwiczenia, przykłady

ZA permutacja bez powtórzeń n elementów to różne grupy różnych elementów, które można uzyskać nie powtarzając żadnego elementu, a jedynie zmieniając kolejność rozmieszczenia elementów.

Aby znaleźć liczbę permutacji bez powtórzeń, stosuje się następujący wzór: 

Pn = n! 

Który rozszerzony byłby Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Tak więc w poprzednim praktycznym przykładzie byłoby to zastosowane w następujący sposób:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne 4-cyfrowe liczby.

W sumie są to 24 tablice: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Jak widać, w żadnym przypadku nie ma powtórzeń, ponieważ są to 24 różne liczby.

Indeks artykułów

• 1 Demonstracja i wzory
  • 1.1 24 Aranżacje 4 różnych figur
  • 1.2 12 Układy 2 różnych figur
• 2 Przykłady
  • 2.1 Przykład 1
  • 2.2 Przykład 2
• 3 ćwiczenia rozwiązane
  • 3.1 Ćwiczenie 1
  • 3.2 Ćwiczenie 2
  • 3.3 Ćwiczenie 3
• 4 Odnośniki

Demo i formuły

24 Aranżacje 4 różnych figur

Przeanalizujemy dokładniej przykład 24 różnych 4-cyfrowych układów, które można utworzyć za pomocą cyfr liczby 2468. Liczbę aranżacji (24) można określić następująco:

Masz 4 opcje wyboru pierwszej cyfry, pozostawiając 3 opcje wyboru drugiej. Dwie cyfry zostały już ustawione i pozostają 2 opcje wyboru trzeciej cyfry. Ostatnia cyfra ma tylko jedną opcję wyboru.

Dlatego liczbę permutacji, oznaczoną przez P4, uzyskuje się przez iloczyn opcji wyboru na każdej pozycji:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne 4-cyfrowe liczby

Ogólnie rzecz biorąc, liczba permutacji lub odrębnych aranżacji, które można wykonać ze wszystkimi n elementami danego zbioru, to:

Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Wyrażenie n! jest znany jako silnia n i oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych, które znajdują się między liczbą n a liczbą jeden, w tym obie.

12 Układy 2 różnych figur

Teraz załóżmy, że chcesz poznać liczbę permutacji lub liczb dwucyfrowych, które można utworzyć za pomocą cyfr liczby 2468.

W sumie byłoby to 12 układów: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Masz 4 opcje wyboru pierwszej cyfry, pozostawiając 3 cyfry do wybrania drugiej. Dlatego liczbę permutacji 4 cyfr wziętych dwa na dwie, oznaczonych jako 4P2, uzyskuje się jako iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:

4P2 = 4 * 3 = 12 różnych liczb dwucyfrowych

Ogólnie rzecz biorąc, liczba permutacji lub odrębnych układów, które można wykonać za pomocą r elementów n w sumie w danym zbiorze, wynosi:

nPr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]

Powyższe wyrażenie jest obcinane przed odtworzeniem n!. Aby ukończyć n! z tego powinniśmy napisać:

n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1)

Z kolei czynniki, które dodajemy, reprezentują silnię:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

W związku z tym,

n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)!

Stąd

n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = nPr

Przykłady

Przykład 1

Ile różnych kombinacji 5-literowych można skonstruować z literami słowa KEY??

Chcemy znaleźć liczbę różnych kombinacji 5-literowych, które można skonstruować z 5 literami słowa KEY; to znaczy liczba 5-literowych tablic obejmujących wszystkie litery dostępne w słowie KEY.

Liczba 5-literowych słów = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 różnych kombinacji 5-literowych.

Byłyby to: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... łącznie do 120 różnych kombinacji liter.

Przykład 2

Masz 15 ponumerowanych piłek i chcesz wiedzieć, ile różnych grup 3 piłek można zbudować za pomocą 15 ponumerowanych piłek?

Chcesz znaleźć liczbę grup 3 piłek, które można wykonać za pomocą 15 ponumerowanych piłek.

Liczba grup po 3 kulki = 15 P3 = 15! / (15 - 3)!

Liczba grup po 3 piłeczki = 15 * 14 * 13 = 2730 grup po 3 kulki

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Sklep owocowy posiada stoisko wystawiennicze składające się z rzędu komór zlokalizowanych w holu wejściowym do lokalu. W jeden dzień warzywniak kupuje do sprzedaży: pomarańcze, banany, ananasy, gruszki i jabłka.

a) Na ile różnych sposobów zamawiania stoiska wystawienniczego?

b) Na ile różnych sposobów należy zamówić stoisko, jeśli oprócz wyżej wymienionych owoców (5) otrzymałeś w tym dniu: mango, brzoskwinie, truskawki i winogrona (4)?

a) Chcemy znaleźć wiele różnych sposobów uporządkowania wszystkich owoców w wyświetlanym rzędzie; to znaczy liczba zestawów 5 owoców, które obejmują wszystkie owoce dostępne do sprzedaży w danym dniu.

Liczba aranżacji stoisk = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji stoisk = 120 sposobów prezentacji stoiska

b) Chcemy znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania wszystkich owoców w wierszu wyświetlania, jeśli dodano 4 dodatkowe pozycje; to znaczy liczba zestawów 9 owoców, które obejmują wszystkie owoce dostępne do sprzedaży w danym dniu.

Liczba aranżacji stoisk = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji stoisk = 362 880 sposobów prezentacji stoiska

Ćwiczenie 2

Mały punkt gastronomiczny ma działkę z wystarczającą ilością miejsca na zaparkowanie 6 pojazdów.

a) Ile różnych sposobów zamawiania pojazdów na działce można wybrać?

b) Załóżmy, że nabyto ciągłą działkę, której wymiary pozwalają na zaparkowanie 10 pojazdów, ile różnych sposobów zamawiania pojazdów można teraz wybrać?

a) Chcemy znaleźć wiele różnych sposobów zamawiania na działce 6 pojazdów, które można pomieścić.

Liczba układów 6 pojazdów = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba układów 6 pojazdów = 720 różnych sposobów zamawiania 6 pojazdów na działce.

b) Chcemy znaleźć ilość różnych sposobów zamawiania na działce 10 pojazdów, które można pomieścić po rozbudowie działki.

Liczba układów 10 pojazdów = P10 = 10!

Liczba układów pojazdu = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba układów 10 pojazdów = 3 628 800 różne sposoby zamawiania 10 pojazdów na działce.

Ćwiczenie 3

Kwiaciarnia ma kwiaty w 6 różnych kolorach, aby tworzyć flagi narodowe, które mają tylko 3 kolory. Jeśli wiadomo, że kolejność kolorów jest ważna we flagach,

a) Ile różnych flag w 3 kolorach można wykonać z 6 dostępnych kolorów?

b) Sprzedawca kupuje kwiaty w 2 dodatkowych kolorach do 6, które już miał, teraz ile różnych flag w 3 kolorach można wykonać?

c) Ponieważ masz 8 kolorów, decydujesz się rozszerzyć swoją ofertę flag, ile różnych flag w 4 kolorach możesz wykonać?

d) Ile z 2 kolorów?

a) Chcemy znaleźć liczbę różnych flag w 3 kolorach, które można wykonać, wybierając spośród 6 dostępnych kolorów.

Liczba flag 3-kolorowych = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Liczba flag 3-kolorowych = 6 * 5 * 4 = 120 flag

b) Chcesz znaleźć liczbę różnych flag w 3 kolorach, które można wykonać, wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 3-kolorowych = 8P3 = 8! / (8-3)!

Liczba flag 3-kolorowych = 8 * 7 * 6 = 336 flag

c) Należy obliczyć liczbę różnych 4-kolorowych flag, które można wykonać, wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 4-kolorowych = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Liczba flag 4-kolorowych = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flag

d) Chcesz określić liczbę różnych flag w 2 kolorach, które można wykonać, wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 2-kolorowych = 8P2 = 8! / (8-2)!

Liczba flag w 2 kolorach = 8 * 7 = 56 flag

Bibliografia

1. Boada, A. (2017). Zastosowanie permutacji z powtórzeniami jako nauczanie eksperymentów. Magazyn Vivat Academia. Odzyskany z researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Prawdopodobieństwo i statystyka. Zastosowania i metody. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Metody statystyczne niestosowane w naukach społecznych. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statystyka. Czwarte wyd. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Prawdopodobieństwo i statystyki dla inżynierów i naukowców. Ósme wydanie. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statystyki stosowane w biznesie i gospodarce. Wydanie trzecie. McGraw-Hill / Interamericana S. A.
7. (2019). Permutacja. Odzyskany z en.wikipedia.org.