Plik regularne wielokąty to takie, które mają równe wszystkie boki i kąty wewnętrzne. Na poniższym rysunku znajduje się zestaw różnych wielokątów, które są figurami płaskimi ograniczonymi zamkniętą krzywą i tylko te, które są podświetlone, spełniają warunki regularności.
Na przykład trójkąt równoboczny jest wielokątem regularnym, ponieważ jego trzy boki mają takie same wymiary, podobnie jak kąty wewnętrzne, każdy o wartości 60º..
Kwadrat jest czworobokiem o czterech bokach o jednakowych wymiarach i wewnętrznych kątach 90º. Za nim znajduje się pięciokąt foremny o pięciu bokach równej wielkości i pięciu kątach wewnętrznych po 108º każdy..
Kiedy wielokąt jest regularny, to słowo jest dodawane do jego specjalnej nazwy, więc mamy regularny sześciokąt, regularny siedmiokąt i tak dalej.
Indeks artykułów
Najważniejsze właściwości wielokątów regularnych można podsumować następująco:
-Boki mierzą tak samo, dlatego są równoboczny.
-Oni są równokątny, ponieważ wszystkie jego kąty wewnętrzne mają tę samą miarę.
-Zawsze mogą być wpisane w obwód, co oznacza, że idealnie pasują do jednego, który jest nazywany ograniczony obwód.
-Dla wielokąta foremnego o n bokach miara kąta wewnętrznego α wynosi:
α = [180 (n-2)] / n
-Możesz narysować n (n-3) / 2 przekątnych z wierzchołków wielokąta, niezależnie od tego, czy jest regularny, czy nie.
-Suma kąty zewnętrzne równa się 360º.
Następnie przedstawiamy główne elementy wielokąta foremnego, zwizualizowane na poniższym rysunku.
Wspólny punkt, który mają dwa kolejne boki, oznaczony jako V na rysunku.
Jest to odcinek, który łączy dwa kolejne wierzchołki wielokąta i jest oznaczony jako ℓ lub L.
Segment, który łączy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta, na rysunku jest oznaczony jako re.
Jest to wspólny środek wpisanego koła i opisanego koła, oznaczony literą O. Można go również postrzegać jako jedyny punkt w równej odległości od obu wierzchołków i punktów środkowych każdego boku..
To radio r okręgu opisanego i pokrywa się z odległością między O a wierzchołkiem.
To się nazywa apothem do promienia obwodu wpisanego w wielokąt, przedstawionego na rysunku za pomocą litery do. Apothem jest prostopadły do jednej strony i łączy go ze środkiem O (czerwony segment na rysunku 3).
Znając promień r i długość boku, apothem oblicza się ze wzoru:
Ponieważ w efekcie apotem jest jedną z odnóg trójkąta prostokątnego (patrz rysunek 3), druga noga ma wartość ℓ / 2 (połowa boku), a przeciwprostokątna promień r wielokąta.
Kiedy twierdzenie Pitagorasa zostanie zastosowane do wspomnianego trójkąta, otrzymamy to równanie, które jest ważne nie tylko dla sześciokąta, ale dla każdego regularnego wielokąta.
Jest to kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem O i którego boki są segmentami łączącymi środek z dwoma kolejnymi wierzchołkami. Jego miara w stopniach sześćdziesiętnych wynosi 360º / n, gdzie n jest liczbą boków wielokąta.
Jest to różnica między promieniem wielokąta a apotemem (patrz rysunek 3). Oznaczając sagittę jako S:
S = r - a
Można to łatwo obliczyć, dodając długości boków. Ponieważ każdy bok ma równą długość L i istnieje n boków, obwód P jest wyrażony jako:
P = n.L
W regularnym wielokącie obszar A jest określony przez iloczyn między półobwodem (połową obwodu) a długością apotemy do.
A = P.a / 2
Ponieważ obwód zależy od liczby boków n, okazuje się, że:
A = (nL). A / 2
Dwa regularne wielokąty mogą mieć ten sam obwód, nawet jeśli nie mają tej samej liczby boków, ponieważ wtedy zależałoby to od długości boków.
W jego książce V Kolekcja, matematyk Pappus z Aleksandrii (290-350), ostatni z wielkich starożytnych matematyków greckich, wykazał, że spośród wszystkich regularnych wielokątów o tym samym obwodzie, ten o największej powierzchni jest tym z największą liczbą boków.
Rysunek 4 przedstawia odpowiednie kąty w regularnym wielokącie, oznaczone greckimi literami α, β i γ.
Wcześniej wspominaliśmy o kącie środkowym, między elementami wielokąta foremnego, jest to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku wielokąta, a boki to segmenty, które łączą środek z dwoma kolejnymi wierzchołkami.
Aby obliczyć miarę kąta środkowego α, podziel 360º przez n, czyli liczbę boków. Lub 2π radianów między n:
α = 360º / n
Odpowiednik w radianach:
α = 2π / n
Na rysunku 4 kąt wewnętrzny β to ten, którego wierzchołek pokrywa się z jedną z figur, a jego boki są również bokami figury. Oblicza się go w stopniach sześćdziesiętnych ze wzoru:
β = [180 (n-2)] / n
Lub w radianach przy użyciu:
β = [π (n-2)] / n
Oznaczono je grecką literą γ. Rysunek pokazuje, że γ + β = 180º. W związku z tym:
γ = 180º - β
Suma wszystkich kątów zewnętrznych do wielokąta foremnego wynosi 360º.
Następnie mamy pierwszych 8 wielokątów regularnych. Obserwujemy, że wraz ze wzrostem liczby boków wielokąt coraz bardziej przypomina obwód, w który jest wpisany.
Możemy sobie wyobrazić, że zmniejszając i zmniejszając długość boków oraz zwiększając ich liczbę, otrzymamy obwód.
Regularne wielokąty można znaleźć wszędzie w życiu codziennym, a nawet w przyrodzie. Spójrzmy na kilka przykładów:
Regularne wielokąty, takie jak trójkąty równoboczne, kwadraty i romby, są bogate w oznakowania, które widzimy na autostradach i drogach. Na rysunku 6 widzimy znak stopu w kształcie ośmiokąta.
Niezliczone meble mają na przykład kwadrat jako swoją charakterystyczną figurę geometryczną, podobnie jak wiele stołów, krzeseł i ław jest kwadratowych. Równoległościan to na ogół pudełko o bokach w kształcie prostokąta (który nie jest regularnym wielokątem), ale można je również wykonać jako kwadratowe..
Płytki na podłogach i ścianach, zarówno w domach, jak i na ulicach, mają często kształt regularnych wielokątów..
Parkietaż to powierzchnie pokryte w całości płytkami o różnych kształtach geometrycznych. Za pomocą trójkąta, kwadratu i sześciokąta można tworzyć zwykłe teselacje, takie, które wykorzystują tylko jeden typ figury, aby idealnie pokryć, bez pozostawiania pustych przestrzeni (patrz rysunek 6).
Podobnie budynki wykorzystują regularne wielokąty w elementach takich jak okna i dekoracje..
Zaskakujące jest, że sześciokąt foremny jest wielokątem, który często pojawia się w naturze..
Grzebienie wykonane przez pszczoły do przechowywania miodu mają kształt bardzo zbliżony do regularnego sześciokąta. Jak zauważył Pappus z Aleksandrii, w ten sposób pszczoły optymalizują przestrzeń do przechowywania jak największej ilości miodu..
W skorupie żółwi i płatków śniegu znajdują się również regularne sześciokąty, które również przybierają różne, bardzo piękne kształty geometryczne..
Sześciokąt foremny jest wpisany w półkole o promieniu 6 cm, jak pokazano na rysunku. Jaka jest wartość zacienionego obszaru?
Obszar zacieniowany to różnica między polem półkola o promieniu R = 6 cm a polem całego sześciokąta, regularnego wielokąta sześciobocznego. Będziemy więc potrzebować wzorów na pole każdej z tych liczb.
DO1 = π Rdwa / 2 = π (6 cm)dwa / 2 = 18π cmdwa
Wzór na obliczenie pola powierzchni wielokąta foremnego to:
A = P.a / 2
Gdzie P. to obwód i do jest apotem. Ponieważ obwód jest sumą boków, będziemy potrzebować ich wartości. Dla zwykłego sześciokąta:
P = 6ℓ
W związku z tym:
A = 6ℓa / 2
Aby znaleźć wartość boku ℓ, konieczne jest skonstruowanie figur pomocniczych, które wyjaśnimy poniżej:
Zacznijmy od małego prawego trójkąta po lewej stronie, którego przeciwprostokątna to ℓ. Wewnętrzny kąt sześciokąta jest równy:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º
Promień, który narysowaliśmy na zielono, dzieli ten kąt na pół, dlatego kąt ostry małego trójkąta wynosi 60º. Dzięki dostarczonym informacjom ten trójkąt jest rozwiązany, znajdując jasnoniebieską stronę, która mierzy to samo co apothem:
Przeciwległa noga = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm
Ta wartość to jest podwójne ciemnoniebieskiej nogi dużego trójkąta po prawej stronie, ale z tego trójkąta wiemy, że przeciwprostokątna ma 6 cm, ponieważ jest to promień półkola. Pozostała noga (dół) jest równa ℓ / 2, ponieważ punkt O znajduje się pośrodku boku.
Ponieważ kąty wewnętrzne tego trójkąta nie są znane, możemy podać dla niego twierdzenie Pitagorasa:
36 = 3 ℓdwa + ℓdwa / 4
(13/4) ℓdwa = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Przy tej wartości oblicza się apotem:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Zadzwońmydwa do obszaru sześciokąta foremnego:
= 28,8 cmdwa
DO1 - DOdwa = 18π cmdwa - 28,8 cmdwa = 27,7 cmdwa
Jeszcze bez komentarzy