Plik właściwości równości odnoszą się do relacji między dwoma obiektami matematycznymi, niezależnie od tego, czy są to liczby, czy zmienne. Jest oznaczony symbolem „=”, który zawsze znajduje się pośrodku tych dwóch obiektów. To wyrażenie służy do ustalenia, że dwa obiekty matematyczne reprezentują ten sam obiekt; innymi słowy, że dwa przedmioty to to samo.
Są przypadki, w których użycie równości jest trywialne. Na przykład jasne jest, że 2 = 2. Jednak jeśli chodzi o zmienne, nie jest to już trywialne i ma określone zastosowania. Na przykład, jeśli mamy y = x, az drugiej strony x = 7, możemy wywnioskować, że również y = 7.
Powyższy przykład jest oparty na jednej z właściwości równości, jak wkrótce się przekonamy. Właściwości te są niezbędne do rozwiązywania równań (równości obejmujących zmienne), które stanowią bardzo ważną część matematyki..
Indeks artykułów
Właściwość zwrotna, w przypadku równości, stwierdza, że każda liczba jest sobie równa i jest wyrażona jako b = b dla dowolnej liczby rzeczywistej b.
W szczególnym przypadku równości właściwość ta wydaje się oczywista, ale w innych typach relacji między liczbami tak nie jest. Innymi słowy, nie każda relacja liczb rzeczywistych spełnia tę właściwość. Na przykład taki przypadek relacji „mniejsze niż” (<); ningún número es menor que sí mismo.
Symetryczna własność równości mówi, że jeśli a = b, to b = a. Nie ma znaczenia kolejność zastosowana w zmiennych, zostanie zachowana przez relację równości.
W przypadku dodawania można zaobserwować pewną analogię tej własności z własnością przemienną. Na przykład ze względu na tę właściwość jest równoważne zapisaniu y = 4 lub 4 = y.
Własność przechodnia równości stwierdza, że jeśli a = b i b = c, to a = c. Na przykład 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; dlatego przez własność przechodnią mamy 2 + 7 = 6 + 3.
Prosta aplikacja jest następująca: załóżmy, że Julian ma 14 lat, a Mario jest w tym samym wieku co Rosa. Jeśli Rosa jest w tym samym wieku co Julian, ile lat ma Mario?
W tym scenariuszu właściwość przechodnia jest używana dwukrotnie. Matematycznie jest to interpretowane w ten sposób: niech „a” będzie wiekiem Mario, „b” wiekiem Rosy, a „c” wiekiem Juliana. Wiadomo, że b = c i że c = 14.
Przez własność przechodnią otrzymujemy b = 14; to znaczy Rosa ma 14 lat. Ponieważ a = b i b = 14, ponownie wykorzystując własność przechodnią, otrzymujemy a = 14; to znaczy wiek Mario również ma 14 lat.
Jednolita właściwość polega na tym, że jeśli obie strony równości zostaną dodane lub pomnożone przez tę samą kwotę, równość zostanie zachowana. Na przykład, jeśli 2 = 2, to 2 + 3 = 2 + 3, co jest jasne, ponieważ 5 = 5. Ta właściwość jest najbardziej przydatna podczas rozwiązywania równania.
Na przykład załóżmy, że masz rozwiązać równanie x-2 = 1. Warto pamiętać, że rozwiązywanie równania polega na jawnym określeniu danej zmiennej (lub zmiennych) w oparciu o określoną liczbę lub wcześniej określoną zmienną..
Wracając do równania x-2 = 1, musisz dokładnie określić, ile jest warte x. W tym celu zmienna musi zostać wyczyszczona.
Błędnie nauczono, że w tym przypadku, ponieważ liczba 2 jest ujemna, przechodzi na drugą stronę równości ze znakiem dodatnim. Ale mówienie tego w ten sposób nie jest poprawne.
Zasadniczo to, co robisz, to stosowanie właściwości uniformu, jak zobaczymy poniżej. Chodzi o to, aby wyczyścić „x”; to znaczy zostaw to w spokoju po jednej stronie równania. Zgodnie z konwencją jest zwykle pozostawiony po lewej stronie.
W tym celu liczba do „wyeliminowania” wynosi -2. Można to zrobić dodając 2, ponieważ -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Aby móc to zrobić bez zmiany równości, tę samą operację należy zastosować po drugiej stronie.
To pozwala mu zrealizować jednorodną właściwość: ponieważ x-2 = 1, jeśli liczba 2 zostanie dodana po obu stronach równości, właściwość uniformu mówi, że nie jest zmieniana. Następnie mamy x-2 + 2 = 1 + 2, co jest równoważne stwierdzeniu, że x = 3. Dzięki temu równanie zostanie rozwiązane.
Podobnie, jeśli chcesz rozwiązać równanie (1/5) y-1 = 9, możesz postępować, używając właściwości uniform w następujący sposób:
Mówiąc bardziej ogólnie, można sformułować następujące stwierdzenia:
- Jeśli a-b = c-b, to a = c.
- Jeśli x-b = y, to x = y + b.
- Jeśli (1 / a) z = b, to z = a ×
- Jeśli (1 / c) a = (1 / c) b, to a = b.
Właściwość anulowania jest szczególnym przypadkiem właściwości jednolitej, ze szczególnym uwzględnieniem przypadku odejmowania i dzielenia (które w zasadzie odpowiadają również dodawaniu i mnożeniu). Ta właściwość traktuje ten przypadek oddzielnie.
Na przykład, jeśli 7 + 2 = 9, to 7 = 9-2. Lub jeśli 2y = 6, to y = 3 (podzielone przez dwa po obu stronach).
Analogicznie jak w poprzednim przypadku, poprzez właściwość anulowania można ustalić następujące stwierdzenia:
- Jeśli a + b = c + b, to a = c.
- Jeśli x + b = y, to x = y-b.
- Jeśli az = b, to z = b / a.
- Jeśli ca = cb, to a = b.
Jeśli znamy wartość obiektu matematycznego, własność podstawienia stwierdza, że wartość tę można podstawić w dowolnym równaniu lub wyrażeniu. Na przykład, jeśli b = 5 i a = bx, to podstawiając wartość „b” w drugiej równości otrzymujemy, że a = 5x.
Inny przykład jest następujący: jeśli „m” dzieli „n”, a także „n” dzieli „m”, to musi mieć to, że m = n.
Rzeczywiście, powiedzenie, że „m” dzieli „n” (lub równoważnie, że „m” jest dzielnikiem „n”) oznacza, że dzielenie m ÷ n jest dokładne; to znaczy podzielenie „m” przez „n” daje liczbę całkowitą, a nie liczbę dziesiętną. Można to wyrazić mówiąc, że istnieje liczba całkowita „k” taka, że m = k × n.
Ponieważ „n” również dzieli „m”, to istnieje taka liczba całkowita „p”, że n = p × m. Ze względu na własność podstawienia mamy to, że n = p × k × n, a żeby tak się stało, istnieją dwie możliwości: n = 0, w którym to przypadku mielibyśmy tożsamość 0 = 0; lub p × k = 1, stąd tożsamość n = n.
Załóżmy, że „n” jest niezerowe. Wtedy koniecznie p × k = 1; zatem p = 1 i k = 1. Używając ponownie własności podstawienia, podstawiając k = 1 w równości m = k × n (lub równoważnie, p = 1 w n = p × m), w końcu otrzymujemy, że m = n, co chcieliśmy zademonstrować.
Tak jak poprzednio zauważono, że jeśli operacja, taka jak dodawanie, mnożenie, odejmowanie lub dzielenie, jest wykonywana w obu kategoriach równości, jest ona zachowywana w ten sam sposób, w jaki można zastosować inne operacje, które nie zmieniają równości..
Kluczowe jest to, aby zawsze wykonywać to po obu stronach równości i upewnić się wcześniej, że operacja może zostać wykonana. Tak jest w przypadku upoważnienia; to znaczy, jeśli obie strony równania są podniesione do tej samej potęgi, nadal mamy równość.
Na przykład, ponieważ 3 = 3, więc 3dwa= 3dwa (9 = 9). Ogólnie, biorąc pod uwagę liczbę całkowitą „n”, jeśli x = y, to xn= in.
Jest to szczególny przypadek upełnomocnienia i jest stosowany, gdy potęga jest niecałkowitą liczbą wymierną, taką jak ½, która reprezentuje pierwiastek kwadratowy. Ta własność stwierdza, że jeśli ten sam pierwiastek zostanie zastosowany do obu stron równości (jeśli to możliwe), równość zostanie zachowana.
W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, należy tutaj zwrócić uwagę na parzystość pierwiastka, który ma być zastosowany, ponieważ dobrze wiadomo, że pierwiastek parzysty liczby ujemnej nie jest dobrze zdefiniowany.
W przypadku, gdy radykał jest równy, nie ma problemu. Na przykład, jeśli x3= -8, mimo że jest to równość, nie można na przykład zastosować pierwiastka kwadratowego po obu stronach. Jeśli jednak możesz zastosować pierwiastek sześcienny (co jest jeszcze wygodniejsze, jeśli chcesz jawnie poznać wartość x), uzyskując w ten sposób, że x = -2.
Jeszcze bez komentarzy