Dwa punkty A i A 'mają centralna symetria w odniesieniu do punktu O, kiedy odcinek AA 'przechodzi przez niego i jest jednocześnie środkiem punktu AA'. Punkt O jest nazywany środek symetrii.
Centralna symetria trójkąta ABC względem punktu O to kolejny trójkąt A'B'C ', który ma następujące cechy:
-Homologiczne segmenty mają jednakową długość
-Odpowiednie kąty mają tę samą miarę.
Na rysunku 1 można zobaczyć trójkąt ABC (czerwony) i jego centralną symetrię A'B'C '(zielony) w odniesieniu do środka symetrii O.
Na tej samej figurze uważny obserwator zdałby sobie sprawę, że ten sam wynik uzyskuje się stosując obrót oryginalnego trójkąta, o ile ma on 180º i jest wyśrodkowany w O.
Dlatego symetria środkowa jest równoważna obrotowi o 180º względem środka symetrii.
Indeks artykułów
Centralna symetria ma następujące właściwości:
-Środek symetrii to środek odcinka łączącego punkt z jego symetrią.
-Symetryczny punkt drugiego, który znajduje się w środku symetrii, pokrywa się ze środkiem symetrii.
-Centralna symetria trójkąta jest trójkątem przystającym (równym) do oryginału.
-Obraz według centralnej symetrii koła to kolejny okrąg o równym promieniu.
-Okrąg ma centralną symetrię wokół własnego środka.
-Elipsa ma centralną symetrię wokół swojego środka.
-Segment ma centralną symetrię względem środka.
-Trójkąt równoboczny nie ma centralnej symetrii względem swojego środka, ponieważ jego symetria, chociaż przystająca do pierwszego, daje obrócony trójkąt równoboczny.
-Kwadraty mają centralną symetrię względem swojego środka.
-Pięciokątowi brakuje centralnej symetrii wokół jego środka.
-Regularne wielokąty mają centralną symetrię, gdy mają parzystą liczbę boków.
Kryteria symetrii mają wiele zastosowań w nauce i inżynierii. Centralna symetria występuje w przyrodzie, na przykład kryształki lodu i pajęczyny mają taką symetrię.
Ponadto wiele problemów można łatwo rozwiązać, wykorzystując istnienie symetrii centralnej i innych rodzajów symetrii. Dlatego wygodnie jest szybko zidentyfikować, kiedy to nastąpi.
Mając punkt P o współrzędnych (a, b), musimy znaleźć współrzędne jego symetrycznego P 'względem początku O współrzędnych (0, 0).
Pierwszą rzeczą jest skonstruowanie punktu P ', dla którego jest rysowana prosta przechodząca przez początek O i przez punkt P. Równanie tej prostej to y = (b / a) x.
Teraz nazwijmy (a ', b') współrzędne punktu symetrycznego P '. Punkt P 'musi leżeć na prostej przechodzącej przez O i dlatego jest prawdą: b' = (b / a) a '. Ponadto odległość PO musi być równa OP ', co w formie analitycznej jest zapisane w następujący sposób:
√ (dodwa + bdwa) = √ (a 'dwa + b 'dwa )
W powyższym wyrażeniu należy podstawić b '= [(b / a) .a'] i podnieść obie strony równości do kwadratu, aby wyeliminować pierwiastek kwadratowy: (adwa + bdwa) = [a 'dwa + (bdwa/dodwa).do'dwa]
Wyodrębniając wspólny czynnik i upraszczając, otrzymujemy 'dwa = adwa. To równanie ma dwa rzeczywiste rozwiązania: a '= + a lub a' = -a.
Aby otrzymać b ', używamy ponownie b' = (b / a) a '. Jeśli dodatnie rozwiązanie a 'jest podstawione, dochodzimy do tego, że b' = b. A kiedy zostanie podstawione rozwiązanie ujemne, wtedy b '= -b.
Pozytywne rozwiązanie daje P 'ten sam punkt P, więc jest odrzucane. Ujemne rozwiązanie zdecydowanie podaje współrzędne punktu symetrycznego:
P ': (-a, -b)
Wymagane jest wykazanie, że odcinek AB i jego centralny symetryczny A'B 'mają tę samą długość.
Zaczynając od współrzędnych punktu A, którymi są (Ax, Ay) i punktu B: (Bx, By), długość odcinka AB jest określona wzorem:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)dwa + (By - Ay)dwa )
Analogicznie, symetryczny odcinek A'B 'będzie miał długość określoną wzorem:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')dwa + (Przez „- Ay”)dwa )
Współrzędne punktu symetrycznego A 'to Ax' = -Ax i Ay '= -Ay. Podobnie te z B 'to Bx' = -Bx i By '= -By. Jeśli te współrzędne zostaną podstawione do równania odległości d (A'B '), otrzymamy:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)dwa + (-By + Ay)dwa) co jest równoznaczne z:
√ ((Bx - Topór)dwa + (By - Ay)dwa) = d (AB)
W ten sposób pokazano, że oba segmenty mają tę samą długość.
Pokaż analitycznie, że centralne symetryczne O okręgu o promieniu R i środku O jest tym samym oryginalnym okręgiem.
Równanie koła o promieniu R i środku O (0,0) to:
xdwa + Ydwa = R.dwa (Równanie obwodu C)
Jeżeli w każdym punkcie P obwodu y współrzędnych (x, y) znajdzie się jego symetryczne P 'współrzędnych (x', y '), równanie obwodu symetrycznego wygląda następująco:
x 'dwa + Y 'dwa = R.dwa (Równanie symetrycznego koła C ')
Teraz odwołujemy się do wyniku przykładu 1, w którym wyciągnięto wniosek, że współrzędne punktu P ', symetryczne do P i o współrzędnych (a, b), to (-a, -b).
Ale w tym ćwiczeniu punkt P ma współrzędne (x, y), więc jego symetryczne P 'będzie miało współrzędne x' = -x i y '= -y. Zastępując to w równaniu koła symetrycznego, mamy:
(-x)dwa + (-Y)dwa = R.dwa
Co jest równoważne z: xdwa+ Ydwa = R.dwa, wyciągając wniosek, że centralna symetria koła w stosunku do jego środka jest samym obwodem.
Pokaż geometrycznie, że centralna symetria zachowuje kąty.
Na płaszczyźnie znajdują się trzy punkty A, B i C. Jego symetrie A ', B' i C 'są skonstruowane w odniesieniu do środka symetrii O, jak pokazano na rysunku 4.
Teraz musimy pokazać, że kąt ∡ABC = β ma taką samą miarę jak kąt ∡A'B'C '= β'.
Ponieważ C i C 'są symetryczne, to OC = OC'. Podobnie OB = OB 'i OA = OA'. Z drugiej strony kąt ∡BOC = ∡B'OC ', ponieważ przeciwstawia im wierzchołek.
Następnie trójkąty BOC i B'OC 'są przystające, ponieważ mają równy kąt między dwoma równymi bokami.
Ponieważ BOC jest przystające do B'OC ', to kąty γ Y γ ' Są równi. Ale te kąty oprócz spełnienia γ = γ ' są wewnętrznymi zamiennikami między prostymi BC i B'C ', co oznacza, że prosta BC jest równoległa do B'C'.
Podobnie BOA jest przystające do B'OA ', z którego to wynika α = α ' . Ale α Y α ' są naprzemiennymi kątami wewnętrznymi między prostymi BA i B'A '', z których wynika, że prosta BA jest równoległa do B'A ''.
Ponieważ kąt ∡ABC = β ma boki równoległe do kąta ∡A'B'C '= β', a także oba są ostre, można wyciągnąć wniosek, że:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Udowodnienie w ten sposób, że centralna symetria zachowuje miarę kątów.
Jeszcze bez komentarzy