Plik teoria mnogości Jest to gałąź logiki-matematyki odpowiedzialna za badanie relacji między bytami zwanymi zbiorami. Zestawy charakteryzują się tym, że są zbiorem przedmiotów o tym samym charakterze. Obiekty te są elementami zestawu i mogą to być: liczby, litery, figury geometryczne, słowa reprezentujące przedmioty, same przedmioty i inne.
Pod koniec XIX wieku Georg Cantor zaproponował teorię mnogości. Podczas gdy inni wybitni matematycy XX wieku dokonali formalizacji: między innymi Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel..
Diagramy Venna są graficznym sposobem przedstawiania zbioru i składają się z postaci zamkniętej płaszczyzny, w której znajdują się elementy zbioru.
Na przykład na rysunku 1 pokazano dwa zbiory A i B, które mają elementy wspólne, elementy wspólne dla A i B. Tworzą one nowy zbiór zwany zbiorem przecięcia A i B, który jest zapisany w formie symbolicznej jako następuje:
A ∩ B
Indeks artykułów
Zestaw jest pojęciem prymitywnym, ponieważ w geometrii jest pojęciem punktu, linii lub płaszczyzny. Nie ma lepszego sposobu na wyrażenie koncepcji niż wskazanie przykładów:
Zestaw E utworzony z kolorów flagi Hiszpanii. Ten sposób wyrażania zbioru nazywany jest zrozumieniem. Ten sam zestaw E zapisany przez rozszerzenie to:
E = czerwony, żółty
W tym przypadku czerwony i żółty to elementy zestawu E. Należy zaznaczyć, że elementy są wymienione w nawiasach klamrowych i nie są powtarzane. W przypadku flagi hiszpańskiej występują trzy kolorowe paski (czerwony, żółty, czerwony), z których dwa są powtarzane, ale elementy nie są powtarzane, gdy zestaw jest wyrażony..
Załóżmy, że zbiór V utworzony przez pierwsze trzy litery samogłosek:
V = a, e, i
Zbiór potęgowy V, oznaczony przez P (V), jest zbiorem wszystkich zbiorów, które można utworzyć z elementów V:
P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i
Jest to zestaw, w którym jego elementy są policzalne. Przykładami zbiorów skończonych są między innymi litery alfabetu hiszpańskiego, samogłoski hiszpańskie, planety Układu Słonecznego. Liczba elementów skończonego zbioru nazywana jest jego licznością.
Przez nieskończony zbiór rozumie się wszystko, czego liczba jego elementów jest niepoliczalna, ponieważ bez względu na to, jak duża może być liczba jego elementów, zawsze można znaleźć więcej elementów.
Przykładem nieskończonego zbioru jest zbiór liczb naturalnych N, który w postaci ekstensywnej wyraża się następująco:
N = 1, 2, 3, 4, 5,…. Jest oczywiście zbiorem nieskończonym, ponieważ bez względu na to, jak duża może być liczba naturalna, zawsze można znaleźć następną co do wielkości, w niekończącym się procesie. Oczywiście moc nieskończonego zbioru wynosi ∞.
To zestaw, który nie zawiera żadnego elementu. Pusty zestaw V jest oznaczony Ø lub parą kluczy bez elementów wewnątrz:
V = = Ø.
Pusty zbiór jest niepowtarzalny, dlatego powiedzenie „pusty zbiór” musi być niepoprawne, prawidłowa forma to powiedzenie „pusty zbiór”.
Wśród właściwości pustego zbioru mamy to, że jest to podzbiór dowolnego zbioru:
Ø ⊂ A
Ponadto, jeśli zbiór jest podzbiorem zbioru pustego, to siłą rzeczy tym zbiorem będzie próżnia:
A ⊂ Ř ⇔ A = Ř
Zestaw jednostek to dowolny zestaw zawierający pojedynczy element. Na przykład zbiór naturalnych satelitów Ziemi jest zbiorem jednolitym, którego jedynym elementem jest Księżyc. Zbiór B liczb całkowitych mniejszych od 2 i większych od zera ma tylko element 1, dlatego jest zbiorem unitarnym.
Zbiór jest binarny, jeśli ma tylko dwa elementy. Na przykład zbiór X taki, że x jest rozwiązaniem liczby rzeczywistej x ^ 2 = 2. Ten zbiór przez rozszerzenie jest zapisany w ten sposób:
X = -√2, + √2
Zestaw uniwersalny to zestaw zawierający inne zestawy tego samego typu lub natury. Na przykład uniwersalny zbiór liczb naturalnych to zbiór liczb rzeczywistych. Ale liczby rzeczywiste są uniwersalnym zbiorem również liczb całkowitych i wymiernych.
W zespołach można ustanowić różne typy relacji między nimi a ich elementami. Jeśli dwa zbiory A i B mają między sobą dokładnie takie same elementy, ustala się relację równości, oznaczoną następująco:
DO = b
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, ale nie wszystkie elementy B należą do A, to między tymi zbiorami istnieje relacja inkluzji oznaczona w ten sposób:
A ⊂ B, ale B ⊄ A
Powyższe wyrażenie brzmi: A jest podzbiorem B, ale B nie jest podzbiorem A.
Aby wskazać, że niektóre lub niektóre elementy należą do zbioru, używany jest symbol przynależności ∈, na przykład aby powiedzieć, że element lub elementy x należą do zbioru A, jest zapisany symbolicznie w następujący sposób:
x ∈ A
Jeśli element nie należy do zbioru A, relacja ta jest zapisywana w ten sposób:
i ∉ A
Relacja przynależności zachodzi między elementami zbioru i zbioru, z jedynym wyjątkiem zbioru potęgowego, przy czym zbiór potęgowy jest zbiorem lub zbiorem wszystkich możliwych zbiorów, które mogą być utworzone z elementów tego zbioru..
Załóżmy, że V = a, e, i, jego zestaw mocy to P (V) = a, e, i, a, e, a, i, e, i , a, e, i, w tym przypadku zbiór V staje się elementem zbioru P (V) i można go zapisać:
V ∈ P (V)
Pierwsza właściwość włączenia określa, że każdy zbiór jest zawarty w sobie, lub innymi słowy, że jest podzbiorem samego siebie:
A ⊂ A
Inną właściwością inkluzji jest przechodniość: jeśli A jest podzbiorem B, a B z kolei jest podzbiorem C, to A jest podzbiorem C. W formie symbolicznej relacja przechodniości jest zapisana w następujący sposób:
(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C
Poniżej znajduje się diagram Venna odpowiadający przechodniości włączenia:
Przecięcie to operacja między dwoma zbiorami, która daje początek nowym zbiorom należącym do tego samego zbioru uniwersalnego, co dwa pierwsze. W tym sensie jest to operacja zamknięta.
Symbolicznie operacja przecięcia jest sformułowana w następujący sposób:
A⋂B = x / x∈A ^ x∈B
Przykład jest następujący: zestaw A liter słowa „elementy” i zestaw B liter słowa „powtórzone”, punkt przecięcia między A i B jest zapisany w następujący sposób:
A⋂B = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s. Uniwersalny zbiór U, A, B, a także A⋂B, to zbiór liter alfabetu hiszpańskiego.
Suma dwóch zbiorów jest zbiorem utworzonym przez elementy wspólne dla dwóch zbiorów i elementy nie wspólne z tych dwóch zbiorów. Operacja sumowania między zbiorami jest wyrażona symbolicznie w następujący sposób:
A∪B = x / x∈A v x∈B
Operacja różnicowa zbioru A minus zbiór B jest oznaczona przez A-B. A-B to nowy zbiór utworzony przez wszystkie elementy, które są w A i nie należą do B. Symbolicznie jest napisane tak:
A - B = x / x ∈ A ^ x ∉ B
Różnica symetryczna to operacja między dwoma zbiorami, w której wynikowy zbiór składa się z elementów, które nie są wspólne dla tych dwóch zbiorów. Symetryczna różnica jest przedstawiona symbolicznie w następujący sposób:
A⊕B = x / x∈ (A-B) ^ x∈ (B-A)
Diagram Venna to graficzny sposób przedstawiania zbiorów. Na przykład zestaw C liter w zestawie słów jest reprezentowany w następujący sposób:
Poniżej pokazano na diagramach Venna, że zbiór samogłosek w słowie „zestaw” jest podzbiorem zestawu liter w słowie „zestaw”.
Zestaw Ñ liter alfabetu hiszpańskiego jest zbiorem skończonym, ten zbiór przez rozszerzenie jest zapisany w następujący sposób:
Ñ = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, a jego liczność wynosi 27.
Zestaw V samogłosek w języku hiszpańskim jest podzbiorem zbioru Ñ:
V ⊂ Ñ dlatego jest to zbiór skończony.
Skończony zbiór V w rozbudowanej formie jest napisane tak: V = a, e, i, o, u, a jego liczność wynosi 5.
Biorąc pod uwagę zbiory A = 2, 4, 6, 8 i B = 1, 2, 4, 7, 9 określ A-B i B-A.
A - B to elementy A, które nie znajdują się w B:
A - B = 6, 8
B - A to elementy B, które nie znajdują się w A:
B - A = 1, 7, 9
Napisz w formie symbolicznej, a także jako rozszerzenie zbioru P parzystych liczb naturalnych mniejszych niż 10.
Rozwiązanie: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0
P = 2, 4, 6, 8
Załóżmy, że zbiór A utworzony przez liczby naturalne będące czynnikami 210 i zbiór B utworzony przez pierwsze liczby naturalne mniejsze od 9. Określ przez rozszerzenie oba zbiory i ustal, jaka jest zależność między tymi dwoma zbiorami.
Rozwiązanie: Aby określić elementy zbioru A, musimy zacząć od znalezienia współczynników liczby naturalnej 210:
210 = 2 * 3 * 5 * 7
Następnie zapisujemy zbiór A:
A = 2, 3, 5, 7
Rozważmy teraz zbiór B, w którym liczby pierwsze są mniejsze niż 9. 1 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ nie spełnia definicji liczby pierwszej: „liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa dzielniki, 1 i samą liczbę” . 2 jest parzyste i jednocześnie jest liczbą pierwszą, ponieważ spełnia definicję liczby pierwszej, pozostałe liczby pierwsze mniejsze niż 9 to 3, 5 i 7. Zatem zbiór B to:
B = 2, 3, 5, 7
Dlatego te dwa zestawy są równe: A. = b.
Określ zbiór, którego elementy x różnią się od x.
Rozwiązanie: C = x / x ≠ x
Ponieważ każdy element, liczba lub obiekt jest sobie równy, zbiór C nie może być inny niż zbiór pusty:
C = Ř
Niech zbiór N liczb naturalnych i Z będzie zbiorem liczb całkowitych. Wyznacz N ⋂ Z i N ∪ Z.
Rozwiązanie:
N ⋂ Z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]
N ∪ Z = Z, ponieważ N ⊂ Z.
Jeszcze bez komentarzy