Plik Podstawowe twierdzenie arytmetyki stwierdza, że każda liczba naturalna większa niż 1 może zostać rozłożona jako iloczyn liczb pierwszych - niektóre można powtórzyć - i ta forma jest unikalna dla tej liczby, chociaż kolejność czynników może być inna.
Przypomnij sobie liczbę pierwszą p Jest to ten, który przyznaje się jako dodatnie dzielniki tylko siebie i 1. Następujące liczby są pierwszymi: 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd., Ponieważ istnieją nieskończoności. Liczba 1 nie jest uważana za liczbę pierwszą, ponieważ ma jeden dzielnik.
Ze swojej strony nazywane są numery, które nie są zgodne z powyższym numery złożone, jako 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Weźmy na przykład liczbę 10 i od razu widzimy, że można ją rozłożyć na iloczyn 2 i 5:
10 = 2 × 5
Zarówno 2, jak i 5 są w rzeczywistości liczbami pierwszymi. Twierdzenie stwierdza, że jest to możliwe dla dowolnej liczby n:
Gdzie str1, pdwa, p3... strr są liczbami pierwszymi i k1, kdwa, k3,... kr są to liczby naturalne. Zatem liczby pierwsze działają jak cegły, z których poprzez pomnożenie zbudowane są liczby naturalne.
Indeks artykułów
Zaczynamy od pokazania, że każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze. Niech będzie liczbą naturalną n> 1, liczbą pierwszą lub złożoną.
Na przykład, jeśli n = 2, można to wyrazić jako: 2 = 1 × 2, co jest liczbą pierwszą. W ten sam sposób postępuj z następującymi liczbami:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Kontynuujemy w ten sposób, rozkładając wszystkie liczby naturalne, aż osiągniemy liczbę n -1. Zobaczmy, czy możemy to zrobić z następującym numerem: n.
Jeśli n jest liczbą pierwszą, możemy ją rozłożyć na n = 1 × n, ale przypuśćmy, że n jest złożone i ma dzielnik d, logicznie mniejszy niż n:
1< d < n.
Jeśli n / d = p1, z P.1 liczba pierwsza, wtedy n zapisujemy jako:
n = p1.re
Jeśli d jest liczbą pierwszą, nie ma nic więcej do zrobienia, ale jeśli nie jest, jest liczba ndwa który jest dzielnikiem di mniejszym niż to: ndwa < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de ndwa przez inną liczbę pierwszą pdwa:
d = pdwa ndwa
To, że podstawiając pierwotną liczbę n, dałoby:
n = p1 .pdwa .ndwa
Teraz przypuśćmy, że ndwa zarówno jest liczbą pierwszą i zapisujemy ją jako iloczyn liczby pierwszej p3, przez twój dzielnik n3, takie, że n3 < ndwa < n1 < n:
ndwa = p3.n3 → n = p1 pdwa p3.n3
Powtarzamy tę procedurę skończoną liczbę razy, aż otrzymamy:
n = p1.pdwa.p3 ... strr
Oznacza to, że można się rozłożyć wszyscy liczby całkowite od 2 do n, jako iloczyn liczb pierwszych.
Sprawdźmy teraz, czy poza kolejnością czynników ten rozkład jest niepowtarzalny. Załóżmy, że n można zapisać na dwa sposoby:
n = p1.pdwa.p3 ... strr = q1.codwa.co3... cos (gdzie r ≤ s)
Oczywiście że1, codwa, co3... są też liczbami pierwszymi. Jak p1 podzielić a (q1.codwa.co3... cos) Następnie s1 jest równe dowolnemu z „q”, to nie ma znaczenia do którego, więc możemy powiedzieć, że p1 = q1. Dzielimy n przez p1 i otrzymujemy:
pdwa.p3 ... strr =.codwa.co3... cos
Powtarzamy procedurę, aż podzielimy wszystko przez pr, wtedy otrzymujemy:
1 = qr + 1... cos
Ale nie można dostać się do czegor + 1... cos = 1, gdy r < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.
Jak powiedzieliśmy wcześniej, liczby pierwsze reprezentują, jeśli wolisz, atomy tych liczb, ich podstawowe składniki. Zatem fundamentalne twierdzenie arytmetyki ma wiele zastosowań, z których najbardziej oczywiste: możemy łatwiej pracować z dużymi liczbami, jeśli wyrazimy je jako iloczyn mniejszych liczb..
W ten sam sposób możemy znaleźć największą wspólną wielokrotność (LCM) i największy wspólny dzielnik (GCF), procedurę, która pomaga nam łatwiej obliczać sumy ułamków, znajdować pierwiastki dużych liczb lub operować rodnikami, racjonalizować i rozwiązywać problemy aplikacyjne o bardzo zróżnicowanym charakterze.
Ponadto liczby pierwsze są niezwykle zagadkowe. Nie jest w nich jeszcze rozpoznany wzór i nie wiadomo, który będzie następny. Największy do tej pory został znaleziony przez komputery i ma 24,862,048 cyfry, chociaż nowe liczby pierwsze za każdym razem pojawiają się rzadziej.
Cykady, cykady lub cykady, które żyją w północno-wschodniej części Stanów Zjednoczonych, pojawiają się w cyklach 13 lub 17 lat. Obie są liczbami pierwszymi.
W ten sposób cykady unikają zbiegania się z drapieżnikami lub konkurentami, którzy mają inne okresy urodzenia, ani też różne odmiany cykad nie konkurują ze sobą, ponieważ nie pokrywają się one w tym samym roku..
Liczby pierwsze są używane w kryptografii do zachowania tajemnicy danych karty kredytowej podczas dokonywania zakupów przez Internet. W ten sposób dane, które kupujący dociera precyzyjnie do sklepu, nie gubiąc się ani nie wpadając w ręce pozbawionych skrupułów osób..
W jaki sposób? Dane na kartach są zakodowane w liczbie N, którą można wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych. Te liczby pierwsze są kluczem, który ujawniają dane, ale są nieznane publicznie, można je zdekodować tylko w sieci, do której są kierowane.
Rozłożenie liczby na czynniki jest łatwym zadaniem, jeśli liczby są małe (patrz rozwiązane ćwiczenia), ale w tym przypadku jako klucz używane są liczby pierwsze składające się z 100 cyfr, które po ich pomnożeniu dają znacznie większe liczby, których szczegółowy rozkład obejmuje ogromne zadanie.
Rozłóż 1029 na czynniki pierwsze.
1029 jest podzielne przez 3. Jest to znane, ponieważ dodając jego cyfry, suma jest wielokrotnością 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Ponieważ kolejność czynników nie zmienia iloczynu, możemy zacząć od tego:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Z drugiej strony 343 = 73, następnie:
1029 = 3 × 73 = 3 × 7 × 7 × 7
A ponieważ zarówno 3, jak i 7 są liczbami pierwszymi, jest to rozkład 1029.
Uwzględnij trójmian xdwa + 42x + 432.
Trójmian jest przepisywany w postaci (x + a). (x + b) i musimy znaleźć wartości a i b takie, że:
a + b = 42; a.b = 432
Liczba 432 jest rozkładana na czynniki pierwsze, a stamtąd metodą prób i błędów wybierana jest odpowiednia kombinacja, tak że czynniki dodane dają 42.
432 = 24 × 33 = 2 × 33× 23 = 24× 3dwa × 3 =…
Stąd jest kilka możliwości napisania 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72… .
I wszystkie z nich można znaleźć, łącząc iloczyny między czynnikami pierwszymi, ale do rozwiązania proponowanego zadania jedyną odpowiednią kombinacją jest: 432 = 24 × 18, ponieważ 24 + 18 = 42, a następnie:
xdwa + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Jeszcze bez komentarzy