Plik Przekształcenie Fouriera to metoda analitycznej adekwatności zorientowana na funkcje całkowalne należące do rodziny tintegralnie przekształcony. Polega na przedefiniowaniu funkcji fa (t) pod względem Cos (t) i Sen (t).
Tożsamości trygonometryczne tych funkcji, wraz z ich wyprowadzeniem i charakterystyką anty-pierwotną, służą do zdefiniowania transformaty Fouriera poprzez następującą złożoną funkcję:
Co jest prawdą, o ile wyrażenie ma sens, to znaczy, gdy całka niewłaściwa jest zbieżna. Algebraicznie mówi się, że transformata Fouriera jest liniowym homeomorfizmem.
Każda funkcja, nad którą można pracować z transformacją Fouriera, musi mieć wartość null poza zdefiniowanym parametrem.
Indeks artykułów
Transformacja Fouriera spełnia następujące właściwości:
Aby zweryfikować istnienie transformaty Fouriera w funkcji f (t) zdefiniowanej w liczbach rzeczywistych R, muszą zostać spełnione następujące 2 aksjomaty:
Niech M (t) i N (t) będą dowolnymi dwiema funkcjami z określonymi transformatami Fouriera, z dowolnymi stałymi a i b.
fa [a M (t) + b N (t)] (z) = a fa [M (t)] (z) + b fa [N (t)] (z)
Co jest również wspierane przez liniowość całki o tej samej nazwie.
Ma funkcję fa który jest ciągły i całkowalny we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:
I pochodna f (f ') jest ciągły i określony fragmentarycznie R
Przekształcenie Fouriera pochodnej jest zdefiniowane przez całkowanie przez części, za pomocą następującego wyrażenia:
fa [f '(t)] (z) = izfa [f (t)] (z)
W wyprowadzeniach wyższego rzędu zostanie zastosowany w sposób homologiczny, gdzie dla wszystkich n 1 mamy:
fa [fa n'(t)] (z) = (iz)nfa [f (t)] (z)
Ma funkcję fa który jest ciągły i całkowalny we wszystkich liczbach rzeczywistych, gdzie:
ja (d / dz)fa [f (t)] (z) = fa [t. f (t)] (z)
Dla wszystkich θ który należy do zbioru S i T który należy do zbioru S ', mamy:
F [ τdo θ] = i-iay fa [ θ] F [ τdoT ] = i-iax fa [ T]
Z τdo pracując jako operator translacji na wektorze a.
Dla wszystkich θ który należy do zbioru S i T który należy do zbioru S ', mamy:
τdo fa [θ] = fa [i-iax.θ] τdo F [T ] = fa [i-iay . T]
Dla wszystkich do który należy do R
Dla wszystkich θ który należy do zbioru S. T który należy do zbioru S '
λ należeć do R - 0 musisz:
fa [θ (λx)] = (1 / | λ |) fa [θ] (Y /λ)
fa [T (λx)] = (1 / | λ |) fa [T] (y / λ)
tak fa jest funkcją ciągłą i wyraźnie integrowalną, gdzie a> 0. Wtedy:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
Aby zademonstrować ten wynik, możemy przejść do zmiany zmiennej.
Kiedy T → +, to s = w → + ∞
Gdy T → - to s = w → - ∞
Aby zbadać symetrię transformaty Fouriera, należy zweryfikować tożsamość wzoru Parsevala i Plancherela.
Mamy θ i δ, które należą do S. Stamtąd można wywnioskować, że:
Dostaję
1 / (2π)re F [θ ], F [δ] Tożsamość Parsevala
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LdwaRre Formuła Plancherela
Dążąc do podobnych celów, jak w transformacie Laplace'a, splot funkcji odnosi się do iloczynu między ich transformatami Fouriera.
Mamy f i g jako 2 ograniczone, określone i całkowicie integrowalne funkcje:
F (f * g) = F (f). F (g)
Następnie przy zmianie zmiennej
t + s = x; kontynuuje z niewłaściwą podwójną całką
F (f). F (g) = F (f. G)
Dla wszystkich θ który należy do R, F [ θ] spełnia kryteria funkcji ciągłej ograniczonej w Rre.
Również F [ θ] (y) → 0 w C jeśli | y | → ∞
Ta matematyczna koncepcja została przedstawiona przez Josepha B. Fouriera w 1811 r. Podczas opracowywania traktatu o rozprzestrzenianie się ciepła. Szybko został przyjęty przez różne gałęzie nauki i inżynierii.
Ustanowiono go jako główne narzędzie pracy w badaniu równań z pochodnymi cząstkowymi, a nawet porównując je z istniejącym stosunkiem pracy między Transformata Laplace'a i równania różniczkowe zwyczajne.
Służy przede wszystkim do znacznego uproszczenia równań, przy przekształcaniu wyrażeń pochodnych na elementy potęgowe, oznaczając wyrażenia różniczkowe w postaci całkowalnych wielomianów..
W optymalizacji, modulacji i modelowaniu wyników działa jak znormalizowane wyrażenie, będące częstym źródłem informacji inżynierskich po kilku pokoleniach.
Są to szeregi zdefiniowane w kategoriach cosinusów i sinusów; Służą do ułatwienia pracy z ogólnymi funkcjami okresowymi. Po zastosowaniu stanowią część technik rozwiązywania zwykłych i cząstkowych równań różniczkowych..
Szeregi Fouriera są jeszcze bardziej ogólne niż szeregi Taylora, ponieważ rozwijają okresowe nieciągłe funkcje, które nie mają reprezentacji szeregów Taylora..
Aby zrozumieć transformację Fouriera analitycznie, ważne jest, aby przejrzeć inne sposoby, w jakie można znaleźć szereg Fouriera, dopóki nie będziemy mogli zdefiniować szeregu Fouriera w jego złożonej notacji.
Wielokrotnie konieczne jest dostosowanie struktury szeregu Fouriera do funkcji okresowych, których okres wynosi p = 2L> 0 w przedziale [-L, L].
Uwzględniany jest przedział [-π, π], który zapewnia korzyści przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.
Jeśli f jest parzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg cosinusów.
Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg sinusów.
Jeśli mamy funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania rozwijalności szeregu Fouriera, to można ją oznaczyć w przedziale [-t, t] używając jej złożonej notacji:
Przekształcenie Fouriera jest potężnym narzędziem do badania równań różniczkowych cząstkowych typu liniowego o stałych współczynnikach. Odnoszą się one jednakowo do funkcji z nieograniczonymi domenami.
Podobnie jak transformata Laplace'a, transformata Fouriera przekształca pochodną funkcję częściową w zwykłe równanie różniczkowe, które jest znacznie prostsze w obsłudze..
Problem Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia pole częstego stosowania transformaty Fouriera, w której generowana jest funkcja rdzeń cieplny lub rdzeń Dirichleta.
Jeśli chodzi o obliczenia rozwiązania podstawowego, przedstawiono następujące przypadki, w których często znajduje się transformata Fouriera:
-Równanie Laplace'a
-Równanie ciepła
-Równanie Schrödingera
-Równanie falowe
Ogólny powód zastosowania transformaty Fouriera w tej gałęzi wynika głównie z charakterystycznej dekompozycji sygnału jako nieskończonej superpozycji łatwiejszych do leczenia sygnałów.
Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, transformata Fouriera wyraża to w postaci superpozycji fal prostych. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.
Z drugiej strony istnieją przykłady zastosowania transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnałów:
-Problemy z identyfikacją systemu. Założona f i g
-Problem ze spójnością sygnału wyjściowego
-Problemy z filtrowaniem sygnału
Zdefiniuj transformatę Fouriera dla następującego wyrażenia:
Możemy to również przedstawić w następujący sposób:
F (t) = Sen (t) [H.(t + k) - H.(t - k) ]
Prostokątny impuls jest zdefiniowany:
p (t) = H(t + k) - H.(t - k)
Przekształcenie Fouriera jest stosowane do następującego wyrażenia, które przypomina twierdzenie o modulacji.
f (t) = p (t) Sen (t)
Gdzie: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
A transformata Fouriera jest zdefiniowana przez:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Zdefiniuj transformatę Fouriera dla wyrażenia:
Ponieważ f (h) jest funkcją parzystą, można to stwierdzić
Całkowanie przez części jest stosowane przez wybranie zmiennych i ich różniczek w następujący sposób
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (np-godz)dwa v = (np-godz)dwa / dwa
Zastępując masz
Po ocenie zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego
Stosując wcześniejszą wiedzę dotyczącą równań różniczkowych pierwszego rzędu, wyrażenie jest oznaczone jako
Aby otrzymać K, oceniamy
Wreszcie transformata Fouriera wyrażenia jest zdefiniowana jako
Jeszcze bez komentarzy