Plik Transformata Laplace'a W ostatnich latach miał ogromne znaczenie w inżynierii, matematyce i fizyce, między innymi w dziedzinach naukowych, ponieważ oprócz dużego zainteresowania teoretycznego zapewnia prosty sposób rozwiązywania problemów wywodzących się z nauk ścisłych i technicznych..
Pierwotnie transformata Laplace'a została zaprezentowana przez Pierre-Simóna Laplace'a w jego badaniu teorii prawdopodobieństwa i początkowo była traktowana jako obiekt matematyczny o czysto teoretycznym znaczeniu..
Bieżące zastosowania pojawiają się, gdy różni matematycy próbowali formalnie uzasadnić „reguły operacyjne” używane przez Heaviside'a w badaniu równań teorii elektromagnetycznej..
Indeks artykułów
Niech f będzie funkcją zdefiniowaną dla t ≥ 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana następująco:
Mówi się, że transformata Laplace'a istnieje, jeśli poprzednia całka jest zbieżna, w przeciwnym razie mówi się, że transformata Laplace'a nie istnieje.
Ogólnie rzecz biorąc, małe litery są używane do oznaczenia funkcji, która ma zostać przekształcona, a duża litera odpowiada jej przekształceniu. W ten sposób będziemy mieli:
Rozważmy stałą funkcję f (t) = 1. Mamy, że jej transformacja to:
Ilekroć całka jest zbieżna, to znaczy za każdym razem, gdy s> 0. W przeciwnym razie s < 0, la integral diverge.
Niech g (t) = t. Jego transformata Laplace'a jest podana przez
Poprzez integrację przez części i wiedząc, że Ty-św dąży do 0, gdy t dąży do nieskończoności is> 0, razem z poprzednim przykładem mamy:
Przekształcenie może istnieć lub nie, na przykład dla funkcji f (t) = 1 / t całka definiująca jej transformatę Laplace'a nie jest zbieżna, a zatem jej transformacja nie istnieje.
Warunki wystarczające do zagwarantowania, że transformata Laplace'a funkcji f istnieje, są takie, że f jest ciągła w częściach dla t ≥ 0 i jest wykładnicza.
Mówi się, że funkcja jest odcinkowo ciągła dla t ≥ 0, gdy dla dowolnego przedziału [a, b] z a> 0 istnieje skończona liczba punktów tk, gdzie f ma nieciągłości i jest ciągłe w każdym podprzedziale [tk-1,tk].
Z drugiej strony mówi się, że funkcja jest wykładnicza c, jeśli istnieją stałe rzeczywiste M> 0, c i T> 0 takie, że:
Jako przykłady mamy to, że f (t) = tdwa ma rząd wykładniczy, ponieważ | tdwa| < e3t dla wszystkich t> 0.
W sposób formalny mamy następujące twierdzenie
Jeśli f jest częściowo ciągłą funkcją dla t> 0 i wykładniczego rzędu c, to istnieje transformata Laplace'a dla s> c.
Należy zauważyć, że jest to warunek wystarczalności, to znaczy może się zdarzyć, że istnieje funkcja, która nie spełnia tych warunków, a mimo to istnieje jej transformata Laplace'a.
Przykładem tego jest funkcja f (t) = t-1/2 który nie jest odcinkowo ciągły dla t ≥ 0, ale istnieje jego transformata Laplace'a.
W poniższej tabeli przedstawiono przekształcenia Laplace'a najczęściej używanych funkcji.
Transformacja Laplace'a zawdzięcza swoją nazwę Pierre-Simon Laplace, francuskiemu matematykowi i astronomowi teoretycznemu, który urodził się w 1749 roku i zmarł w 1827 roku. Jego sława była taka, że był znany jako Newton Francji.
W 1744 roku Leonard Euler poświęcił swoje studia całkom z formą
jako rozwiązania zwykłych równań różniczkowych, ale szybko porzucił to badanie. Później Joseph Louis Lagrange, który bardzo podziwiał Eulera, również zbadał ten typ całek i powiązał je z teorią prawdopodobieństwa.
W 1782 r. Laplace zaczął badać te całki jako rozwiązania równań różniczkowych, a według historyków w 1785 r. Postanowił przeformułować problem, co później dało początek przekształceniom Laplace'a w dzisiejszym rozumieniu..
Ponieważ została wprowadzona w dziedzinę teorii prawdopodobieństwa, była mało interesująca dla ówczesnych naukowców i była postrzegana jedynie jako obiekt matematyczny o znaczeniu teoretycznym..
To było w połowie XIX wieku, kiedy angielski inżynier Oliver Heaviside odkrył, że operatory różniczkowe można traktować jako zmienne algebraiczne, dając w ten sposób transformacje Laplace'a ich współczesne zastosowanie..
Oliver Heaviside był angielskim fizykiem, inżynierem elektrykiem i matematykiem, który urodził się w Londynie w 1850 roku i zmarł w 1925 roku. Próbując rozwiązać problemy równań różniczkowych zastosowane w teorii drgań i korzystając z badań Laplace'a, zaczął kształtować współczesne zastosowania transformacji Laplace'a.
Wyniki przedstawione przez Heaviside szybko rozprzestrzeniły się w ówczesnej społeczności naukowej, ale ponieważ jego praca nie była rygorystyczna, szybko został skrytykowany przez bardziej tradycyjnych matematyków..
Jednak użyteczność pracy Heaviside'a w rozwiązywaniu równań w fizyce sprawiła, że jego metody stały się popularne wśród fizyków i inżynierów..
Pomimo tych niepowodzeń i po kilkudziesięciu latach nieudanych prób, na początku XX wieku można było rygorystycznie uzasadnić zasady operacyjne podane przez Heaviside..
Próby te zaowocowały staraniami różnych matematyków, takich jak między innymi Bromwich, Carson, van der Pol..
Wśród właściwości transformaty Laplace'a wyróżniają się:
Niech c1 i c2 będą stałymi, a f (t) i g (t) funkcjami, których transformaty Laplace'a są odpowiednio F (s) i G (s), to mamy:
Ze względu na tę właściwość mówi się, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym.
Przykład
Jeśli zdarzy się, że:
A „a” to dowolna liczba rzeczywista, więc:
Przykład
Ponieważ transformata Laplace'a z cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), to:
tak
Następnie
Przykład
Jeśli f (t) = t ^ 3, to F (s) = 6 / s ^ 4. A zatem transformacja
czy G (s) = 6e-2s/ s ^ 4
tak
A „a” jest wartością niezerową rzeczywistą, musimy to zrobić
Przykład
Ponieważ transformacja f (t) = sin (t) to F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) mamy
Jeśli f, f ', f ",…, f(n) są ciągłe dla t ≥ 0 i mają wykładniczy porządek if(n)(t) jest więc ciągła odcinkowo przez t ≥ 0, więc
tak
Następnie
Jeśli musimy
Następnie
Jeśli musimy
Następnie
Niech f będzie funkcją okresową z okresem T> 0, czyli f (t + T) = f (t), a następnie
Jeśli f jest ciągła w częściach i wykładniczym porządku i
Następnie
Kiedy zastosujemy transformatę Laplace'a do funkcji f (t), otrzymamy F (s), które reprezentuje wspomnianą transformację. W ten sam sposób możemy powiedzieć, że f (t) jest odwrotną transformatą Laplace'a F (s) i jest zapisane jako
Wiemy, że transformaty Laplace'a f (t) = 1 i g (t) = t to F (s) = 1 / s i G (s) = 1 / sdwa odpowiednio, dlatego musimy
Niektóre typowe odwrotne transformaty Laplace'a są następujące
Co więcej, odwrotna transformata Laplace'a jest liniowa, to znaczy prawdą jest, że
Odnaleźć
Aby rozwiązać to ćwiczenie, musimy dopasować funkcję F (s) do jednej z poprzednich tabel. W tym przypadku, jeśli przyjmiemy n + 1 = 5 i wykorzystując właściwość liniowości transformaty odwrotnej, mnożymy i dzielimy przez 4! Dostaję
W przypadku drugiej transformacji odwrotnej stosujemy ułamki częściowe, aby przepisać funkcję F (s), a następnie właściwość liniowości, uzyskując
Jak widać na tych przykładach, często zdarza się, że oceniana funkcja F (s) nie pasuje dokładnie do żadnej z funkcji podanych w tabeli. W takich przypadkach, jak widać, wystarczy przepisać funkcję aż do osiągnięcia odpowiedniej postaci.
Głównym zastosowaniem transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych.
Korzystając z właściwości transform pochodnej, jest to jasne
Oraz pochodnych n-1 ocenianych przy t = 0.
Ta właściwość sprawia, że przekształcenie jest bardzo przydatne do rozwiązywania problemów z wartością początkową, w których występują równania różniczkowe o stałych współczynnikach..
Poniższe przykłady pokazują, jak używać transformaty Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych.
Biorąc pod uwagę następujący problem z wartością początkową
Użyj transformaty Laplace'a, aby znaleźć rozwiązanie.
Stosujemy transformatę Laplace'a do każdego elementu równania różniczkowego
Posiadamy własność transformacji pochodnej
Rozwijając wszystkie wyrażenia i usuwając Y (y), zostajemy
Używając ułamków częściowych, aby przepisać prawą stronę równania, otrzymujemy
Wreszcie naszym celem jest znalezienie funkcji y (t), która spełnia równanie różniczkowe. Wynik daje nam zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a
Rozwiązać
Podobnie jak w poprzednim przypadku, stosujemy transformację po obu stronach równania i oddzielamy wyraz za wyrazem.
W ten sposób mamy w rezultacie
Podstawianie podanymi wartościami początkowymi i rozwiązanie Y (s)
Używając prostych ułamków, możemy przepisać równanie w następujący sposób
A zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a daje nam wynik
W tych przykładach można dojść do błędnego wniosku, że ta metoda nie jest dużo lepsza niż tradycyjne metody rozwiązywania równań różniczkowych..
Zaletą transformaty Laplace'a jest to, że nie trzeba używać zmienności parametrów ani martwić się różnymi przypadkami metody nieokreślonych współczynników..
Dodatkowo przy rozwiązywaniu problemów z wartością początkową tą metodą od początku korzystamy z warunków początkowych, więc nie ma potrzeby wykonywania innych obliczeń w celu znalezienia konkretnego rozwiązania.
Transformaty Laplace'a można również użyć do znalezienia rozwiązań równoczesnych równań różniczkowych zwyczajnych, jak pokazuje poniższy przykład.
Uporządkować
Przy warunkach początkowych x (0) = 8 iy (0) = 3.
Jeśli musimy
Następnie
Rozwiązanie daje nam wynik
I stosując odwrotną transformatę Laplace'a, którą mamy
Transformata Laplace'a ma ogromne znaczenie w fizyce, ma głównie zastosowania w mechanice i obwodach elektrycznych.
Prosty obwód elektryczny składa się z następujących elementów
Przełącznik, bateria lub źródło, cewka indukcyjna, rezystor i kondensator. Gdy łącznik jest zamknięty, wytwarzany jest prąd elektryczny oznaczony jako i (t). Ładunek kondensatora jest oznaczony przez q (t).
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, napięcie wytwarzane przez źródło E w obwodzie zamkniętym musi być równe sumie każdego ze spadków napięcia.
Prąd elektryczny i (t) jest powiązany z ładunkiem q (t) na kondensatorze przez i = dq / dt. Z drugiej strony spadek napięcia w każdym z elementów definiuje się następująco:
Spadek napięcia na rezystorze wynosi iR = R (dq / dt)
Spadek napięcia na cewce wynosi L (di / dt) = L (ddwaq / dtdwa)
Spadek napięcia na kondensatorze wynosi q / C
Mając te dane i stosując drugie prawo Kirchhoffa do prostego obwodu zamkniętego, otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu, które opisuje układ i pozwala nam określić wartość q (t).
Cewka indukcyjna, kondensator i rezystor są podłączone do baterii E, jak pokazano na rysunku. Cewka ma 2 henry, kondensator ma 0,02 farady, a rezystancja wynosi 16 omów. W chwili t = 0 obwód jest zamknięty. Znajdź ładunek i prąd w dowolnym momencie t> 0, jeśli E = 300 woltów.
Mamy, że równanie różniczkowe opisujące ten obwód jest następujące
Gdzie warunki początkowe to q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Stosując transformatę Laplace'a, otrzymujemy to
I rozwiązywanie dla Q (t)
Następnie stosując odwrotną transformatę Laplace'a, którą mamy
Jeszcze bez komentarzy